LA RÉVERSIBILITÉ DES ÉQUATIONS MÉCANIQUES

“æst irréelle? À condition que les lois mêmes des phénomènes ne soient pas bouleversées et que le cours des événements puisse être attribué à l’action des mêmes lois, que l’on imagine appliquées simplement à ‘d’autres conditions initiales. Entendons bien d’ailleurs le mot loi : toute description systématique nous donne, si l’on veut la loi des phénomènes, qui change avec le cours du temps, car les apparences changent pour l'observateur nouveau : la planète tourne en sens rétrograde et non direct. Mais il s’agit des lois qui déterminent à chaque instant le phénomène en fonction des circonstances physiques et dont le type est fourni par les lois différentielles de forces.

Or, il est certain que dans cette rétrogradation, la planète subit exactement la même force que primitivement; il nous suffit d'admettre qu’à un moment donné sa vitesse a changé de signe. Le changement de f en —t détermine immédiatement les nouvelles Conditions initiales et laisse invariante la loi. Le fait est vérifié pour les phénomènes mécaniques normaux : les conditions initiales se réduisent aux vitesses, qui changent simplement de signe avec le temps. Les lois qui déterminent les accélérations ne sont pas altérées puisque dt y figure au carré.

Cette propriété subsiste naturellement sous quelque forme que nous exprimions les lois mécaniques. Dans le parcours inversé, l’action change ‘de signe, mais le coefficient de df n’est pas altéré en elle. C’est là, aux yeux ‘de certains, un fait important et significatif, aussi imposent-ils au ds”, qui remplace la différentielle d'action dans la loi de la gravitation, -de ne comprendre aucun terme en dx dt. Dans certaines équations de la mécanique ondulatoire, qui pourraient remplacer celle de Newton, l’invariance n’est pas respectée, si l’on ne change pas h en —h en même temps que { en —{, ce qui inspire quelque défiance.

Considérons au contraire le type des phénomènes irréversibles, la perte d’énergie par frottement. Si le temps est inversé, tout se passe comme s’il y avait désormais une force accélératrice d’un type para-

dix dx dr 2h!

k dépendant de la viscosité du milieu et dé la surface du mobile. Le changement de dt en —dt modifie la forme même de la loi. Il y aurait donc un moyen, pour l’observateur, de saisir le renversement du temps.

Un cas délicat se présente dans les processus d’émission ou d’absorption. Que deviennent les lois dans le renversement du temps? A vrai dire, nous n’avons pas de lois dirigées du phénomène. L’équation E — Ry exprime une corrélation entre Pénerete et la fréquence d’une radiation, cette énergie étant celle du train d’ondes émis ou absorbé, ou si l’on préfère celle perdue ou gagnée par l’atome. Si l’on inverse le signe du temps, la fréquence ayant pour dimension T-* peut être considérée comme changeant elle aussi de signe, il faut alors changer À en —h pour conserver la loi, puisque l’énergie ne varie pas. Si, au contraire, nous prenons E avec un signe indiquant le sens de l’échange, hR ne doit pas être modifié. D’autre part, c’est un peu par convention que nous changeons y en — . En réalité, nous n’avons pas les lois du rayonnement atomique sous forme complète, nous ignorons quelles sont les conditions initiales qui font que la transformation d’énergies a lieu dans tel ou tel sens, nous ne savons pas définir l’atome excité.

doxal. C’est ce qui résulte, par exemple, d’une équation : m

En résumé, trois hypothèses sont possibles.

Ou bien le phénomène inversé garde ses lois différentielles inchan-— gées ; il suffit de changer le signe du temps dans les conditions initiales. La réversibilité est radicale.

Ou bien les lois différentielles font intervenir le temps, et sont modifiées quand celui-ci change de signe.

Ou bien il faut, en outre, changer le signe de certains autres coefficients.

On comprend aisément par ailleurs comment le même phénomène peut être mécanique à l’échelle microscopique, et être irréversible à l'échelle macroscopique. Le renversement des conditions initiales, qui correspondrait au changement de signe de k, ne se manifeste pas à l'échelle macroscopique, où n’interviennent que des énergies moyennes, ou des grandeurs également non dirigées.

Que signifie au juste la condition de réversibilité imposée aux équations de la mécanique ? Dans une certaine mesure, elle exprime un fait d'expérience. Mais a-t-elle une valeur rationnelle ? Il semble difficile de la rattacher à l’idée que la science ne doit saisir que des équivalences entre les divers moments du devenir. Nous pouvons la rapprocherdu fait qu'un changement de grandeur ou d’orientation absolues de l’espace ne pourrait être objet d'expérience, ou du sentiment suivant lequel le mouvement absolu ne peut être mis en évidence. En tout cas, elle implique que le seul renversement des circonstances initiales d’un phénomène mécanique suffit à le faire évoluer en sens inverse. Si donc il y a irréversibilité, celle-ci est liée à la singularité de la configuration initiale du phénomène, elle est, en quelque sorte, d’origine purement historique. Telle est l’origine d’un paradoxe bien connu et au fond mal éclairci de la théorie statistique : la même apparence énergétique cor-respond à deux configurations symétriques à l’échelle microscopique et mécanique : à chaque système évoluant dans un certain sens devrait donc correspondre, en moyenne, un système extérieurement semblable.. et évoluant en sens inverse.

Nous n’avons pas l'intention d'approfondir ici ce grand problème: qui a tourmenté les philosophes et opposé les écoles en mille discussions. Indiquons-en seulement le sens traditionnel et ce qui, semble-t-il, le+ rend insoluble.

On a souvent confondu deux problèmes différents; et, chose plusgrave, on a confondu les arguments qui s’y rapportent : le monde matériel est-il fini? L’espace est-il fini? Et dans ce dernier cas, on n’a pas: toujours distingué les deux manières dont l’espace peut être fini : comme l'intérieur d’une sphère, parce qu’il est limité par une frontière à dis-tance finie; comme la surface d’une sphère, parce qu’il est fermé sur: lui-même.

À vrai dire, la première distinction n’est pas essentielle pour nous, qui n’admettons plus une sphère des fixes, isolant du vide infini le mondematériel. La frontière de la matière et de l’espace est partout et n’est nulle part. La chose n’aurait de sens que si l’on prétendait localiser un:

milieu gravifique ou électromagnétique, dont l'existence est trop mal déterminée pour qu’il soit possible de poser à son sujet des questions. semblables. Reste donc le problème de la finitude de l’espace pris comme un grand corps. Il se pose dans toutes les théories. Même si nous admettons avec Leibniz, que chaque monade n’est jamais en face que d'elle-même, il revient en un double sens : d’une part comme loi de la représentation sensible du monde physique, d’autre part comme loi de coexistence des monades. La confrontation est seulement moins brutale, et, le développement infini du monde étant rêvé, plutôt qu’enchaîné à notre perception, les difficultés sont moins sensibles au cœur, elles prennent une figure abstraite et comme irréelle, et nous croyons obscurément les avoir résolues parce que nous nous en sentons moins immédiatement accablés.

Nous ne songeons guère à déterminer expérimentalement les propriétés d’ensemble de l’espace. Tout d’abord, si l’espace est infini, nous ne pourrons évidemment jamais en être sûrs. S’il est fini, l'expérience semble aussi impuissante à le mettre en évidence. Sans doute, nous voyons mal quelle hypothèse physique permettrait d'expliquer le retour d’un mobile suivant une direction opposée à celle de son départ. Mais comment pourrions-nous être sûrs de l’identité du mobile (ou de celle d’un rayon lumineux)? D’autre part, le diamètre du monde est assurément assez grand pour que toute expérience de ce genre soit humainement privée de sens.

Restent les arguments a priori. Pouvons-nous déduire la forme de notre univers de principes métaphysiques, intuitifs ou mathématiques ? Considérons les arguments classiques opposés aux diverses hypothèses.

Les arguments contre l’idée d’un espace ouvert, admettant une frontière à distance finie, sont de divers ordres.

I. — Certains disent, dans un langage semi-métaphysique : on ne peut parler sans absurdité d’une frontière entre l’espace et le néant métaphysique, entre une chose qui est et une chose qui n’est pas. A la vérité, le seul sens concret du mot frontière est un sens intuitif, qui ne s'applique, en effet, qu’à la limitation réciproque de deux corps. Mais l'argument n’ajoute rien à l’impossibilité d'imaginer du. dehors l’interruption de l’espace. Par ailleurs. il ne prouve rien contre le fait que tous les points de l’espace puissent être à distance finie, mais simplement qu’il est absurde d’imaginer l’espace limité par une frontière au sens courant du mot.

II. — On dit souvent que la chose n’a pas de sens physique : en effet, comment pourrions-nous mettre en évidence cette frontière ? Imaginons un observateur qui se déplace vers elle. Si ses mètres raccourcissaient progressivement, l’espace serait infini à ses yeux; laissons donc ce cas, supposons que les mètres conservent leur grandeur. Pourrons-nous atteindre la frontière ? La chose n’est pas sûre, car il est possible que le temps se ralentisse indéfiniment à son voisinage, ou encore que l’inertie des corps devienne infinie, En ce cas nous pourrons toujours imaginer que l’espace est infini, mais que l’inertie ou le temps dépendent du monde matériel. Laissons encore cette hypothèse. Que se passera-t-il si nous touchons la frontière ? L'idée même de ce contact n’estelle pas absurde ?

On peut donner autant de variantes que l’on veut de cet argument, en demandant ce que devient chaque loi physique au voisinage de la frontière. Si nous entreprenons de l’expliquer, ce sera en faisant appel à des analogies physiques dont on montrera sur le champ l’absurdité.

I est clair que l’on ne peut démontrer la finitude de l’espace : ici plus que partout ailleurs, l’équivalence du physique et du géométrique est parfaite. Tout au plus pourrait-on dire que l’absence de toute circonstance physique décelable fait présumer l’origine géométrique des phénomènes que nous jugeons caractéristiques. D’ailleurs, à la limite, les deux langages se confondent, comme se confondent en Relativité générale, l'interprétation riemannienne et l’interprétation cayléenne. Il en est de la finitude comme de la courbure de l’espace.

IIT. — On dit enfin que nous ne pouvons nous représenter l’espace fini dans une intuition achevée. La chose n’est pas douteuse, mais elle ne prouve rien. Car nous n’avons d’intuition achevée de rien, et il n’y a pas d'idées claires et distinctes, mais des schémas symboliques simples et

maniables.

Les arguments contre l’existence d’un espace fermé, fini, mais sans frontières sont plus difficiles à trouver; plusieurs philosophes faisant autorité ont vu dans cette idée le moyen d’échapper aux antinomies kantiennes. Aussi ont-ils accueilli avec enthousiasme la thèse d’Einstein attribuant une courbure à l’espace vide, et inclinant à le considérer comme de forme hypersphérique. Il semble qu’ils aient exagéré d’ailleurs, comme plusieurs physiciens, la solidarité de ces deux caractères. Rien n’empêche d’imaginer des espaces fermés à structure localement euclidienne. C’est seulement si nous imposons à l’espace d’être parfaitement homogène et d’être simplement connexe que nous nous trouvons arrêtés; encore faut-il avouer que cette limitation est en grande partie relative aux conditions du langage analytique. Inversement, il est possible d'interpréter le ds* sphérique sur une surface infinie. L’image de l’espace fermé équivaut d’ailleurs à celle que depuis très longtemps on avait invoquée pour le temps : elle correspond à la conception cyclique du devenir. Reste à savoir, et c’est le point important, si elle a une valeur rationnelle.

Algébriquement parlant, la notion de multiplicité fermée est bien définie, mais celle de multiplicité ouverte, finie ou infinie, ne l’est pas moins. Axiomatiquement, nous raisonnons aussi facilement sur les deux espèces de termes. Nous n’avons pas besoin d’introduire l’idée de dimensions supplémentaires, d’un espace supérieur où baignerait notre multiplicité, pas plus que nous ne nous demandons si au delà des valeurs des coordonnées qui définissent le domaine étudié, il n’y en a pas d’autres possibles.

Mais que faut-il dire, à l’égard de l’intuition ? Certes, nous ne pouvons embrasser d’une vue d’ensemble l’espace infini de Newton; certes aussi nous ne pouvons imaginer un domaine fini de cet espace sans entrevoir par là même un domaine qui le prolonge. Mais nous ne pouvons nous représenter une multiplicité fermée que par l’analogie d’une surface, et

celle-ci n’a de sens que si nous nous la représentons baignée dans un espace, euclidien ou non, pour lequel le problème de l’infinitude reste posé dans les termes traditionnels. Loin de nous l’idée d’affirmer que l'univers soit réellement fermé dans un espace à quatre ou six dimensions, mais nous ne saurions, même par allégorie et transposition, nous le représenter autrement; c’est dire que le problème est simplement reculé. Nous ne voyons donc pas en quel sens l’antinomie serait éliminée. Seules des raisons expérimentales ou des raisons esthétiques pourraient nous faire préférer l'hypothèse de l’espace fermé; il ne s’agirait d’ailleurs que de conventions de discours car le conflit entre notre puissance de raisonner et notre puissance d'imaginer ou d’éprouver est au fond de notre nature.

Nous ne pouvons nous représenter l’espace infini comme une donnée achevée, L’imagination s’épuise à embrasser ce vide homogène et démesuré, l’unité sensible de notre intuition se défait et se disperse en ces marches extrêmes de l’univers. Mais nous n’y rencontrons point d’absurdité choquante. Les arguments contre l’espace infini sont donc de type moins direct.

On a parfois soutenu que dans l’espace infini, les actions des masses gravifiques ou celles des corps lumineux devraient être infinies en chaque point. Les premières pourraient à la rigueur s’équilibrer, mais les secondes devraient se superposer. De tels arguments sont peu probants, car nous ignorons la nature exacte des influences en jeu. Il n’est pas absurde de supposer l’équivalent d’une certaine absorption dans le milieu intersidéral. Nous touchons ici aux problèmes cosmologiques les plus obscurs. Une difficulté semblable se présente d’ailleurs si nous admettons un espace fermé, où des corps rayonnent depuis un temps infini. Reste il est vrai l’hypothèse d’un espace vide où n’existeraient que de rares univers, de telle manière que la densité moyenne des masses fût nulle. Mais cette hypothèse est bien choquante : tout d’abord physiquement, parce que notre monde matériel devrait y disperser progressivement et même y avoir dispersé par rayonnement toute son énergie ; ensuite philosophiquement, et nous touchons ici un point curieux. Laissons la forme que Leibniz a donnée à son argument, qui portait en principe contre l’espace absolu, mais qui s’applique mieux à l’espace infini : pourquoi, au milieu d’un espace et d’un temps infinis, le monde auraïitil été créé ici et maintenant? Il porterait aussi bien contre la forme particulière de toute existence, et montre seulement qu’en dernière analyse toute l’expérience repose sur le double irrationnel des lois et des conditions premières. Mais il reste, d’une part, que notre univers se trouverait au centre même de l’infini, que celui-ci s’ordonnerait par rapport à lui, anthropomorphisme singulier ; que d’autre part, dans cette démesure de l'homme centre et sujet de toute connaissance et de l’immensité qui l’encercle, il y a quelque chose d’incompréhensible et presque d’absurde. C’est pourquoi beaucoup d’anciens n’acceptaient qu’un univers fini, qui leur fût proportionné et ami. A ce point de notre réflexion, notre appréhension de l’infini rejoint et affermit le sentiment de son absurdité phy-

sique.

Il y a en faveur de l’infinité de l’espace un argument qui la justifierait à la fois contre l’idée d’un espace limité et celle d’un espace fermé. Nous avons, dira-t-on, une notion dynamique claire, sinon de l’espace achevé, au moins de la manière dont il se développe. Il nous suffit d'imaginer qu’une portion de l’espace, telle que nous la connaissons, soit indéfiniment agrandie en restant semblable à elle-même. Nous avons donc une intuition distincte de l’espace euclidien, dans toute son amplitude, comme nous avons une intuition distincte d’une série convergente simple.

C’est là beaucoup dire. Tout d’abord, nous pourrions seulement conclure à l'intuition d’un espace euclidien comme possible. Aller plus loin serait confondre le possible et le réel, l’essence et l’existence. Ceci rappelle un argument bien connu de Spinoza contre l’idée du mouvement le plus rapide : il est bien certain qu’un point fixe et un levier étant donnés, tout mouvement d’un point détermine un mouvement amplifié d’un autre point, Mais on ne saurait en conclure qu’il n’y a pas de limite des vitesses physiquement possibles, car il faut prouver qu’un tel levier est physiquement possible; en relativité restreinte. il aurait une inertie infinie. En d’autres termes, une imagination abstraite n’équivaut pas à une possibilité physique; pas plus icique dans l’argument ontologique, on ne peut passer de l’essence supposée à lexistence réelle.

On pourrait aussi bien soutenir que l’espace est infini parce que la position d’un point dépend de trois coordonnées numériques, et que les nombres sont par nature infinis. Malheureusement, s’il est possible d'ajouter indéfiniment l’unité à une suite de nombres, rien ne prouve qu’il en soit de même de l'opération physique correspondante, par exemple, du report d’un segment congruent. On prouverait aussi bien que la somme des angles autour d’un point est infinie.

Pouvons-nous dire, d’ailleurs, que nous avons une intuition de l’espace local et de son agrandissement? Aucunement. Nous avons longuement montré toute la complexité de l’espace sensible, et ce qu’il y avait d'illusoire dans l’unité correspondante. Dans l’argument précédent, nous ne songeons en réalité qu’à des figures planes, aperçues visuellement ; or, il est clair que nous ne pouvons agrandir une figure que d’une manière très médiocre : au delà d’une certaine limite, nous concevons, nous n’imaginons plus, et nous en revenons à l’image d’un espace numérique, où les coordonnées peuvent croître indéfiniment. De même, nul ne peut soutenir que nous avons l’idée claire d’un mouvement nous entraînant à l'infini. Nous sommes victimes de notre propre langage, et de l'illusion de,la géométrie pure en tant qu’intuitive. Le seul point solide est que nous pouvons définir, dans l’ordre algébrique, un espace euclidien infini; {a chose n’est pas douteuse, mais ne prouve rien directement touchant la réalité physique.

Nous pouvons seulement observer que dans tous les raisonnements intuitifs qui portent contre l'existence d’une frontière ou d’une fermeture, il se glisse un axiome implicite qui est justement celui de l’agrandissement : de même que nous voulons représenter par des mécanismes à notre échelle les événements de l’ordre microscopique et atomique aussi bien que ceux de l’ordre cosmique, et que l’expérience de Plateau, dans toute sa grossièreté, nous hante lorsqu'il s’agit de comprendre

aussi bien le système solaire que les systèmes électroniques, ainsi nous voulons que l’espace, dans son ensemble, ait son image complète dans un volume particulier. C’est pourquoi nous hésitons à lui attribuer des propriétés de connexion différentes de celles d’un élément local, prenant la notion d’homogénéité en un sens très large et d’ailleurs parfaitement arbitraire : l’espace doit avoir dans toutes ses parties et dans son ensemble mêmes caractères qu’une de ses parties.

On dit parfois, mais à tort, que l’idée d’un espace fini est absurde, et qu’ainsi l’espace est nécessairement infini. On ajoute d’ailleurs que “celle d’un espace infini ne l’est pas moins : ainsi se présente à nous une antinomie célèbre. Certains ont cru pouvoir la résoudre, au moins partiellement, en distinguant des degrés dans l’incompréhensible : l’une des thèses serait contradictoire et absurde, l’autre simplement irreprésentable, la raison humaine serait en conflit avec l’imagination. De là sont nées deux écoles, l’une finitiste, l’autre infinitiste.

Malheureusement cette distinction est un peu illusoire, l’entendement n’étant pas une faculté distincte de l’imagination et de la logique. Entre l’inimaginable et le formellement contradictoire, il n’y a pas de place pour l’absurde à moins que nous ne prenions ce mot, soit en un sens pragmatique : incommode, condamné par l’expérience; soit en un sens sociologique : anormal, hérétique, scandaleux. Nous revenons toujours au fantôme d’une raison législatrice, supérieure à l’intuition et moins vide que la logique.

Si maintenant on essaie de transcrire en termes de concepts ces faits intuitifs, on n’arrivera à une exigence réelle que par sophisme. Dire, les yeux fermés, et n’étant attentif qu’au lien des notions abstraites, « il est absurde de parler d’une frontière entre l’espace et le néant », c’est user d’une expression sur laquelle il est facile de se mettre d’accord, mais comme se mettaient d'accord sur le pouvoir prochain les jacobins et les disciples de M. Le Moine.

Nous dirons donc que l’espace, ne peut être connu comme infini; nous ne pouvons le perser que d’une manière virtuelle, inachevée et confuse. Il ne peut davantage être connu comme fini; et même, peut-on dire, il n’a pas de frontière à distance finie, si l’on donne au mot frontière son sens concret. Mais cette proposition est purement limitative, et n'exclut pas l’existence d’une finitude ayant des conséquences expéri- -mentales semblables.

Nous ne dirons d’ailleurs pas que le problème de l’infinité est un pseudo-problème, mais qu’il est insoluble : dans le plan expérimental, parce que toute expérience est à cet égard inadéquate, fragmentaire, ambiguë; dans le plan logique, parce qu’il est entièrement indéterminé, si ce n’est par un accident de langage; dans le plan intuitif parce que notre structure sensible est obscure et imparfaite; dans le plan rationnel parce que celui-ci n’existe pas (1).

Ajoutons quelques mots touchant l’infinitude ou la finitude du temps. Certes, rien ne nous interdit d'identifier deux valeurs du paramètre temps et de poser { = { + à. Mais il reste à donner un sens à cette convention d'écriture à laquelle se réduit d’abord notre idée d’un temps fermé sur lui-même. Nous avons montré, en parlant de l’irrévérsibilité,

(1) Comme domaine d’exigences précises et eatégoriques.

quelle difficulté il y avait à en tirer des conséquences expérimentales précises et acceptables. Reste l'hypothèse du temps ouvert, à distance finieou infinie du présent. Dans les deux cas, nous nous heurtons à un pro-blème obscur de création. Si le monde coexistait au temps depuis une: durée infinie, tout devrait être en lui accompli, unifié, effacé. Mais l’idée d’une création radicale du monde dans le temps ou conjointement à lui ne nous satisfait guère ; non qu’elle soit absurde logiquement; mais elle est irreprésentable, parce que nous ne nous représentons que le changement, comme Kant l’a montré dans son principe de permanence de la substance; et le démiurge de Platon, faisant du temps une image mobile de l'éternité, n’est guère plus satisfaisant que le mythe de Deucalion. Est-ce à dire que le problème ne corresponde à rien? Aucunement, mais. il nous dépasse.