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la seconde KF PS 0 l’indice inférieur exprimant une opération plus com-

pliquée, fonction des coordonnées, que l’on nomme dérivation covariante Tout cela ne nous apprend rien de nouveau ; si un phénomène est déterminé dans un système de coordonnées, il l’est dans tout autre, et on peut toujours trouver ‘une forme commune aux lois qui le déterminent dans les deux cas, comme on peut toujours trouver un genre commun à deux espèces : il suffit de vider la forme de tout contenu précis (1). Mais il y a à cette expression un intérêt dérivé : les expressions primitives cessent d’être valables quand le changement de, variables introduit des coefficients du ds? qui ne sont pas des constantes, c’est alors qu’il faut les généraliser. Or, les coefficients du «ds? peuvent être variables dans deux cas : parce qu’ils procèdent d’un changement de variables effectué sur un ds? euclidien, parce qu’ils correspondent à des coordonnées prises dans une multiplicité non euclidienne. Si nous voulons transposer sur une telle multiplicité les lois des phénomènes, nous devrons prendre celles-ci non sous la forme simplifiée ‘qui correspond aux coordonnées cartésiennes et au ds? à coefficients constants, mais sous la forme qui correspond aux coordonnées les plus générales. C’est ainsi, comme nous l’avons vu, que la définition du déplacement parallèle ou des géodésiques sur une surface ne peut raisonnablement (il n’y a à cela aucune impossibilité logique) être inspirée de la définition cartésienne, maïs qu’elle doit plutôt reproduire la définition relative aux coordonnées généralisées, toutes ces définitions pouvant rentrer dans le cadre d’une formule csmmune. Pour prendre le cas le plus simple, rien ne nous empêche d'appeler droite sur une surface une courbe vérifiant par rapport à un certain réseau de coordonnées une équation linéaire. Mais cette définition est malheureuse, et il vaut mieux tirer de la droite plane, par abstraction, son caractère de géodésique, qui, lui, se transcrit commodément sous la forme & { ds—0.

. Seulement, il est évident que cette aptitude à inspirer des définitions

(1) Les physiciens distinguent parfois les lois covariantes et les lois invariantes, parce qu’ils explicitent l’expression des lois. Ils diront, par exemple,

que FF = 0 est une loi covariante. En ce sens, la transformation de Lorentz

laisse seule invariantes les équations de Maxwell. Cest là un peu une question de point de vue, et presque de langage.

On distinguera alors deux sens du principe d'équivalence. Jun est très général. Les lois de la nature doivent s'exprimer par des équations covariantes, nous permettant de caractériser les phénomènes dans tous les systèmes de coordonnées. Dans la mesure où nous les écrivons sous forme d’égalités, elles doivent associer des tenseurs de même nature. Cette assertion généralise le fait que les propriétés essentielles des figures géométriques doivent s’exprimer dans tout système de coordonnées, le fait que les équations de la physique sont homogènes, c’est-à-dire n’associent que des grandeurs ayant mêmes dimensions. Elle prend un intérêt particulier quand on convient de traiter les changements de systèmes de référence comme de simples changements de coordonnées spatio-temporelles. — l’autre sens est plus spécial. Les équations doivent être invariantes dans le passage d’un système à un système er translation uniforme, pourvu que les coordonnées physiques adoptées soient de même nature dans les deux.