LA VALEUR D'ASSIMILATION FORMELLE

vrai dire, il ne faut pas nous méprendre sur la symétrie spatio-temporelle des expressions, qui n’est que relative. Les termes rectangles sont exclus, les gi sont fonctions de l’espace seul, et il suffit de prendre les équations d’Euler de l’extrémale pour voir reparaître des différences entre le rôle du temps et celui de l’espace qui correspondent à celles qui se présentent dans la théorie classique, La dynamique de la relativité restreinte est d’ailleurs parfaitement symétrisée. La loi générale de la gravitation est, elle, parfaitement symétrique. Mais l’équation de Laplace peut être rattachée à une équation des ondes qui ne l’est pas moins.

Si maintenant nous mettons en évidence, dans l'interprétation géométrique, non pas les gix mais les composantes de la connexion affine, autrement dit la manière dont un repère métrique se transporte parallèlement le long de la trajectoire d’un mobile, loi d'Einstein ou loi de Newton ont des mérites analogues. En effet, M. Cartan a montré comment on pouvait géométriser la seconde d’une manière simple et directe, comme d’ailleurs une loi de forces quelconque (1). La gravitation einsteinienne n’est as plus foncièrement apte à l’expression « géométrique » que ne l’est celle de Newton ; la différence ne dépend que du langage géométrique adopté. Elle ne serait significative que si nous avions des raisons de croire que telle forme des équations de la mécanique est particulièrement objective : si nous attribuons à la courbure de l’espace-temps un sens absolu et semiintuitif, la définition du ds? est logiquement première par rapport à celle du déplacement parallèle ; si nous inclinons vers un réalisme énergétique à la manière d’Ostwald, nous mettrons plus volontiers en évidence les expressions de la dynamique analytique, le devenir sera considéré comme un ensemble de temps propres qui cherchent à être stationnaires, la nature ne sera plus qu'un effort pour résoudre des équations hamiltoniennes. Mais ce ne sont là que des fictions, et rien ne nous autorise à déclarer objective telle forme du langage, et à départager, de ce point de vue, les lois physiques possibles. On peut dire, si l’on veut, que la mécanique classique atteint son maximum de simplicité au niveau des forces, la mécanique de la relativité restreinte au niveau des énergies et des moments, celle de la relativité générale au niveau de l’action et des principes de variation. Mais il ne faut voir là que des accidents d’expression.

Enfin, dès que nous sortons du cas privilégié et fictif du corps unique, il faut avouer que la théorie relativiste perd beaucoup de sa simplicité formelle. Alors qu’il est facile d’écrire, sinon de résoudre, les équations différentielles du mouvement dans le cas de Newton, quel que soit le nombre des corps interagissants, nous n’avons aucune méthode générale pour construire le ds? correspondant ; il faut procéder actuellement d’une manière empirique ; encore le problème des deux corps n’est-il résolu que dans des cas très particuliers, et par des expressions extrêmement compliquées et peu utilisables : que l’on considère, dans un cas pourtant très simple, l’expression du ds? de Chazy. À cet égard, on ne peut dire que la théorie relativiste constitue un progrès formel, loin de là.

Reste le fait que l'application de la loi de gravitation est indépendante de la nature du phénomène, onde ou mouvement, sur lequel elle agit, alors que la théorie ancienne ne s'applique naturellement qu'aux mouvements de masses matérielles. C’est ainsi que la dérivation des rayons lumineux est

(1) II a même montré l’univocité de cette géométrisation, si l’on impose à l’espace d’être sans torsion.

330 ESSAI SUR L'ÉSPACÉ ÊT LE TÉMPS

vrévue indépendamment de toute hypothèse sur la nature de la lumière. Mais ceci n’a qu'un intérêt pratique restreint, si l'hypothèse des photons est admise, car il est normal de les assujettir à la loi commune des masses matérielles ; et nous ne sommes évidemment pas dispensés par là de réfléchir sur la structure de la matière ou des radiations; la chose serait importante si nous raisonnions d’un point de vue strictement énergétique, ce qui n est pas le cas, en général, pour les physiciens relativistes.

En tout cas, la définition d’un ds? suppose que le corps gravifique est assimilable à un point matériel, sans que nous puissions le démontrer comme dans l’ancienne théorie dans le cas d’une sphère homogène. Quant à la loi fondamentale de la gravitation, elle est indépendante de toute hypothèse sur la nature de l’énergie, mais il en est de même pour l'équation de Laplace-Poisson, où la densité » peut être aisément généralisée.

Considérons maintenant le lien de la gravitation et des autres types de forces. Dans la théorie ancienne, la symétrie était à peu près parfaite toute la différence entre l'attraction gravifique et l'attraction électrostatique était condensée dans ce fait que les forces sont proportionnelles aux masses dans le premier cas, aux charges dans le second. Avec la Relativité restreinte, quelques difficultés apparaissaient, en ce sens que la loi de gravitation ne se présente plus comme invariante, la transformation du potentiel et de la force n’étant pas donnée directement, à l’inverse de ce qui avait lieu pour le champ électromagnétique. Il restait, en un mot, à mettre le champ gravifique sous forme tensorielle.

La théorie de la Relativité générale semble introduire d'abord un élément de symétrie nouveau, puisqu'elle admet la propagation du champ gravifique par ondes de vitesse c, comme pour le champ électromagnétique. Mais, cette conséquence est en réalité une adjonction, somme nous l’avons vu, et rien n'empêche d'introduire dans la théorie ancienne des ondes gravifiques : seul le raisonnement de Laplace s’y oppose, mais il repose, d’après Poincaré (1), sur des hypothèses assez arbitraires, et n'arrête assurément personne; il vaudrait également, observons-le, dans l’interprétation géométrique. Cette loi de propagation commune aux deux ordres de phénomènes, devrait conduire, au premier abord, à marquer plus fortement encore la symétrie formelle de leurs expressions. Or, il faut en convenir, cette symétrie est entièrement détruite dans la gravifique einsteinienne, Le champ de gravitation et le champ électromagnétique sont de nature toute différente. Certes le raccord est possible, par l'emploi de l’analyse tensorielle sur une multiplicité riemannienne; mais le principe en est tout autre, et la composition des effets ne se réduit pas à une addition de forces. L'énergie de gravitation s’ajoutait aux autres formes d'énergie, étant au fond de même nature. Elle est maintenant de nature très différente, et c’est seulement par un aïtifice que nous définirons une énergie de gravitation (qui n’est

w + CI £ :

pas un tenseur) # de telle manière que l’énergie totale se conserve dans

ete EM B : c v y HR l'univers. Les équations tensorielles (T Fe +E s )=0 s’écriront alors, sous

n p) forme dégénérée, — HAE DU VA Re nn pr PAPAS : 8 fn LR ANSE cs désignant la dérivation ordi-

naire, alors que l’indice inférieur adjoint y désigne dans la première équa-

(1) Voir aussi CHazy, La théorie de la Relativité, t, II, p. 132,

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