CHAPITRE IV

Aspects nouveaux de l’espace et du temps

$S 1. — Electromagnétisme et géométrisation.

La théorie de la Relativité générale nous montre que la structure de l’espace-temps peut être liée à certaines circonstances physiques, et déterminer le mouvement accéléré des corps. Plusieurs savants ont essayé de généraliser cette expression des faits naturels, et de géométriser les autres champs de forces. Ceci répond, semble-t-il, à deux intentions principales. La première est de rétablir la symétrie formelle entre les lois de

‘ la gravitation et celle des autres forces. Elle est parfaitement réalisée dans

la mécanique classique, au moins dans les grandes lignes, puisque les différentes forces vérifient des équations semblables et s'ajoutent purement et simplement. Par contre, l’application de l’analyse tensorielle à une multiplicité non-riemannienne, si elle raccorde parfaitement le champ gravifique et le champ électromagnétique, étabht une dissymétrie radicale entre eux, elle les superpose, au lieu de les juxtaposer. C’est contre ceci qu'il s'agit de réagir. Nous retrouvons ici le paradoxe foncier de la théorie relativiste : à peine, en raison des propriétés spéciales de la gravitation, lui a-t-elle fait un sort entièrement distinct, qu’elle s'efforce de remédier à cette singularité et de rétablir l’unité formelle.

Si l’on n'avait égard qu’à cette intention, on la réaliserait facilement, non sans doute à l’échelle des forces, mais, par exemple, à celle des principes d'action. C’est ainsi que Lorentz, Hilbert, Einstein lui-même ont associé dans une même extrémale les diverses formes d’action, par là les diverses lois des phénomènes. Mais il s’agit plutôt d’une unification de surface, possible dans toutes les théories. Il y a déjà longtemps que le principe d'action stationnaire a été généralisé par la définition d'une action, d’une fonction de Lagrange électromagnétiques. C’est d’ailleurs là un procédé très général de l’esprit : les électriciens, pour sauver la loi e = Ri, élargissent indéfiniment le concept de résistance, ils élargissent celui de courant pour simplifier les lois générales du champ, ils étendent les notions simples de l’énergétique aux phénomènes de la chimie-physique. Ces procédés ont une valeur mnémotechnique et heuristique plutôt qu’une valeur philosophique.

D'autre part, il y a quelque artifice à mettre au premier plan l’expres-

sion variationnelle des lois. La gécanétrisation devrait trouver son expression naturelle à l’échelle différent:elle, celle des actions de proche en proche.

Ne nous abusons pas, d’ailleurs, sur l’unification qui peut être introduite. Il y a dans les faits une diversité objective que nulle expression

11: Q A É . / Q} formelle n’éliminera : le rôle du rapport == dans l’action mécanique du m

champ électrostatique est un fait qi l’oppose à celle du champ gravifique, et qui se retrouvera nécessairement dans tout exposé, comme la différence du magnétisme et de l'électricité se reflète dans les équations de Maxwell, comme celle du temps et de l’espace dans la définition de l'intervalle d’univers.

La seconde intention est plus réelle, elle à un intérêt philosophique et physique beaucoup plus considérable. Elle est, d’une part, d'associer à tout champ de forces une altération géométrique de l’espace et du temps, d'autre part d'expliquer par cette altération l’action mécanique du champ en ramenant le principe du mouvement à un principe d'inertie.

Il est à remarquer que le problème a été résolu dans le cas le plus général. En effet, M. Cartan à montré que toute loi de forces pouvait être écrite sous forme géométrique, et qu’elle revenait à définir en termes différentiels et non intégrables l’équipollence des repères métriques attachés aux divers points de l’espace-temps. Il à même montré l’unicité de cette représentation, lorsqu'on assujettit l’espace-temps à n’avoir pas de torsion. Dans ces conditions, il semblerait qu’on eût un cadre précieux pour apprécier les formes théoriques plausibles des diverses forces, et leur composition géométrique. Les physiciens n’ont pas retenu, semble-t-1l, cette indication. Peut-être était-ce, justement, qu’elle s’appliquait indifféremment à toute espèce de forces, mais il en est de même du principe d’action stationnaire, auquel ils sont pourtant fort attachés. En fait, ile ont cherché à géométriser, d’une manière plus spécifique, un champ privilégié, le champ électromagnétique.

Le privilège de ce champ est double. D'une part, on peut dire que les forces physiques, en dehors de la gravitation, se ramènent aux forces électromagnétiques. Pensée assez vague et contestable, si l’on entend par là les forces actuellement étudiées, assujetties aux lois de Maxwell. On voit mal comment l’atome pourrait être construit uniquement à l’aide de charges électriques, ou comment, par exemple, un cristal subsisterait sous le seul effet des forces accoutumées (on sait, par exemple, qu’on introduit pour expliquer le maintien des atomes à des distances fixes une répulsion inversement proportionnelle à la neuvième puissance de la distance).

D'autre part, on admet volontiers que les lois de Maxwell, qui règlent l’équilibre du champ électromagnétique, sont parfaitement vraies. Elles s'expriment de la manière la plus élégante sous forme tensorielle, grâce à l’introduction d’une quatrième dimension, elles sont invariantes dans la transformation de Lorentz. La théorie correspondante ne laisse inexpliqués qu’un très petit nombre de faits. La difficulté la plus grave est évidemment qu’elle ne semble pas applicable à l’intérieur de l’atome, d’où Bohr l’a chassée, non sans quelque scandale. Si elle n’a qu’une valeur statistique, il semble bien difficile de lui conférer une vérité absolue. Peutêtre les lois de Maxwell suivront-elles le sort de celle de Newton.

Ce qui rend malaisée la géométrisation du champ électromagnétique,

EXEMPLE DE GÉOMÉTRISATION 353

c'est le rôle que joue dans l’action mécanique le rapport de la charge à la masse du mobile. Il intervient dans l’équation de Lorentz quadrimen-

ad

: dx! : < L

sionnelle- re #) =euh F;,, il se retrouve dans les extrémales corresas

pondantes, par exemple celle-ci : 3 ((m c+ev'u;)ds=0, il se retrouvera nécessairement dans toute expression de forme géométrique. Or, comme il est difficile d'admettre sans autre raison que la structure de l’espace-temps varie avec le rapport de la charge à la masse, il faut trouver un sens géométrique à ce rapport. Une difficulté accessoire naît du fait que le champ électromagnétique intervient déjà par son tenseur impulsionénergie dans l’expression de la courbure gravifique.

A. — M. H. Weyl s’est attaché à donner aux potentiels v une signification géométrique inspirée de la gravifique einsteinienne. Etant donnée la manière dont le champ dérive des potentiels, l'annulation de ce champ est la condition pour que l'expression »; dx soit une différentielle totale exacte. Reste à trouver un sens géométrique à cette expression : il a pris la longueur d’un vecteur que l’on déplace à travers le champ. Dans la théorie einsteinienne de la gravitation, la connexion affine n’est pas intégrable, mais la connexion métrique l’est : notre étalon de longueur est done variable, mais il est le même en un point donné, quel que soit le chemin suivi pour y arriver. Supposons qu’il n’en soit pas ainsi, et

aie ; posons, / étant la longueur du vecteur déplacé se =oida | Bin “) +0, l d Xx dT; il y a un champ électromagnétique, et un repère transporté par plusieurs chemins cesse d’être congruent à lui-même; en particulier, il peut avoir changé de longueur en revenant à son point de départ. Si le champ est nul, / est intégrable et ne dépend que du lieu. Enfin, si les # sont nuls, [est constant. On peut dire, si l’on veut, que le champ électromagnétique est construit dès que l’on se donne la forme différentielle linéaire géométrique ®, 4x', de même que le champ gravifique est construit dès que l’on se donne la forme quadratique gx; dx'dzx*, Ce n’est là, bien entendu, qu’une manière de parler. ! se

Cette théorie, accueillie à l’origine avec une grande faveur, n’a pas, donné beaucoup de résultats. Elle ne rend pas compte, semble-t-il, du rapport de la charge à la masse, de l’action mécanique du champ; elle ne donne pas de sens géométrique à l'équation FP=JF. Si elle devait être reprise, elle entraînerait à croire qu’il existe en outre une troisième espèce de champ capable de déformer plus radicalement les repères métriques, c’est-à-dire de donner une torsion à l’espace-temps.

Il n’est d’ailleurs pas vraisemblable que le champ agisse mécanique-: ment sur les charges seules, et géométriquement sur tous les objets. D'autre part, on le voit mal agissant d’un côté par ses potentiels, de l’autre, par son tenseur impulsion-énergie. Ajoutons que rien n’oblige à associer / à une unité de longueur spatio-temporelle, plutôt qu’à une unité de masse, ou à toute autre.

Cette tentative curieuse, qui introduit un élément héréditaire dans les grandeurs physiques, n’a done pas grand intérêt actuel. Elle à une assez grande portée philosophique, car elle nous montre la facilité avec laquelle nous admettrions, le cas échéant, l’abandon d’une nouvelle propriété de l'espace et du temps, eë le rôle géométrique d’un nouvel élément physique.

354 ÉSsSAÏ SUR L'ESPACE ET LE TEMPS

Elle a le mérite de souligner la dissymétrie radicale introduite par la Relativité générale entre le champ gravifique nouveau et le champ électromagnétique ancien, dissymétrie qui se manifeste à tous les degrés, et qui ne pourra être levée que par la modification de l’une d'elles. Il est en effet douteux que l’on puisse associer étroitement des théories qui font intervenir des grandeurs de nature différente, sans analyser dans leur infrastructure les rapports de la matière et de l'électricité et il est douteux qu’on puisse, à l’échelle macroscopique, établir une synthèse autre que purement vérbale, ou, si l’on préfère. formelle.

B. — Nous dirons encore un mot d’un autre effort pour géométriser l’électromagnétisme, celui de Kaluza et d’O. Klein dont M. de Broglie a exposé les grandes lignes dans le Journal de Physique (1). Ces auteurs veulent avant tout rendre compte de l’action mécanique du champ, laquelle est représentée en notations ordinaires par l’équation de Lorentz :

d rte (mo) = ey =e}E + += Hi

dt ou en notations quadridimensionnelles : | d ( dæ; dxy Doi do ; MC CCR — CU Rte fil ds\ a ds \oxr sk El

De plus, ils ont cherché à la rattacher à une expression quadratique semblable à celle de la gravitation, capable de remplacer l'expression linéaire L=m,c+eojui. Il est digne de remarque qu’ils y scient arrivés en introduisant une dimension supplémentaire de telle manière qu'ils

aient affaire à un do?=d@?+ds dont les extrémales donnent justement l’équation (1). Cette dimension supplémentaire correspond à la charge, le

d6 e rapport — étant proportionnel à — .

do mo

Posons en effet : do=7,, dæ+2y,55d2t, dx; +yjx dx; dxy (1—4) 16rG avec Yo Tigra Yoi = XYoo Pi, Yix — Ji + Yoo &? Si pl

Il vient : 5 f (oo U°?+2yo5u° Wi+[yo0 à qiox L Gix] ui uk) de = 0. d’où des équations de Lagrange qui donnent y,, 4°+yo; =,

et si le champ de gravitation est nul 9;4 du” =0Do ÉLIRE De do OR 0 k Le eee Nr ne ee Yoo l'équation (1).

C’est là un résultat curieux et qu'il valait sans doute la peine de rappeler. Il établit avec la théorie einsteinienne une analogie beaucoup plus forte que ne le ferait une expression de la forme 5 /(mçcgjui uk + ew;ui) ds=0. Il permet de prévoir une variation de l’espace-temps liée d’une manière holonome à la présence du champ, en particulier une variation du temps liée à la présence du potentiel scalaire.

Malheureusement, on ne peut dire que le gain rationnel soit considérable. Ce que nous pouvons considérer comme intéressant, c’est la possibilité d’associer l’électromagnétisme à une expression différentielle quadratique. Mais l’emploi d’une dimension supplémentaire qui masque

ou, en posant Po=

(1) Février 1927, p. 65.

: } } : ni 4 THÉORIES QUANTIQUES ET GÉOMÉTRISATION 355

l’introduction du rapport £, est évidemment un simple artifice de calcul dont Mach avait déjà signalé l'utilité. Il est bien clair que si nous nous donnons autant de dimensions qu’il y a de variables indépendantes, nous pourrons géométriser n'importe quelle théorie ; il suffira de considérer un espace de configuration adéquat; si le procédé réussit pour la gravitation dans l’espace à quatre dimensions, c’est que ni la masse, ni la charge du corps attiré n’entrent en jeu.

D'autre part, il conviendrait ici encore de trouver un sens onde

aux équations LE =Ju. Il faudrait que les 6; comme les g;; fussent

déterminés par ne géométrique, il faudrait même qu’une loi unique déterminât les y;, et les ÿ;x en bloc, sinon l’association des deux champs aura toujours quelque chose d’assez factice, comme le rapprochement de l’action mécanique et de l’action électromagnétique dans la théorie classique.

Il y a enfin un certain danger, dans toutes ces synthèses formelles, c’est que nous nous éloignons indéfiniment des grandeurs concrètes pour raisonner uniquement sur des grandeurs presque complètement fictives, et cetie enveloppe abstraite dont nous enserrons les phénomènes n’en est pas l’explication la plus rationnelle. Est-il opportun, par ailleurs, de chercher uniquement les analogies, et nous révèlent-elles vraiment les affinités profondes ; ou n’ont-elies au contraire pas plus de portée que la division des variables d’extension et d'action dans les divers ordres de phénomènes physiques, ou encore l’analogie du son et de la lumière, celle de l’électricité et de l’hydrodynamique? La chose est douteuse. Nous essaierons tout à l’heure de montrer d’ailleurs combien il est difficile de dire quelles sont les grandeurs véritablement expérimentales.

$ 2. — Théories quantiques et géométrisation.

Nous voudrions maintenant dire quelques mots sur des théories nouvelles, obscures et difficiles, et dont nous n'’oserions parler si elles n’illustraient pas d’une manière frappante l’ensemble des remarques épistémologiques que nous avons formulées à l’occasion des théories relativistes. Les théories quantiques nous montrent en effet comment l’intelligence des phénomènes passe insensiblement de l’ordre intuitif à l’ordre purement abstrait, comment l’explication physique devient mécanique et tend vers le géométrique. Dans cette extension de la théorie, nous voyons à l’œuvre les procédés mêmes qu’utilisaient les relativistes, la recherche de lois d’un type formel déterminé, l’introduction de variables dont le sens physique n’est pas défini, que nous cherchons à identifier à des grandeurs objectives, anticipant ainsi théoriquement non seulement sur les lois, mais sur la division conceptuelle de l’expérience. Ici encore la solidarité du divers physique et de l’espace se manifeste, et elle entraîne des consé-: quences curieuses. En effet, nous voyons la description intuitive du réel se défaire progressivement : d’une part, poussant l’énergétisme à outrance, nous avons tendance à représenter des phénomènes complexes par des données purement abstraites, assujetties à des lois particulières (énergies où autofonctions de Schrôdinger, matrices de Heisenberg, etc.), les systèmes

matériels ne sont plus que des variables symboliques que l’on peut rattacher par des conventions de langage à des expériences réelles; d'autre part, nous nous demandons si, du point de vue de la science et même objectivement, les phénomènes élémentaires existent individuellement. Nous finissons par douter que la réalité physique ait la moindre affinité avec la réalité sensible.

Qu'en résulte-t-il, touchant l’espace et le temps physiques? C’est que nous doutons de leur ressemblance au sensible. Non seulement nous imaginons des espaces-temps de configuration dont nous pouvons croire à la rigueur qu’ils représentent mieux que l’espace-temps classique la réalité objective, mais nous finissons par nous demander si l’idée même de l’espace n’est pas une fiction purement macroscopique. La théorie relativiste nous a appris que tout ce qui pouvait être donné à priori du concept physique d'espace, c'était une règle de détermination, l’expérience seule pouvant nous instruire de sa structure et de sa forme. Mais cette règle même suppose des instruments, des mètres, des horloges. Or, à l’échelle microscopique, ces notions cessent d’être définies, la notion d’espace suit le même sort. Elle n’aurait donc aucun privilège de réalité, par là même aucune valeur propre d’explication.

L’objection que l’on peut faire à toute géométrisation de l’électromagnétisme, prise en un sens réaliste, c’est qu’elle rattache une propriété de nature universelle de l’espace et du temps à une circonstance particulière, prise comme telle. Par contre, d’autres lois semblent aptes à être géométrisées : ce sont les lois dites de quantification. Elles se manifestent dans toute leur force à l’échelle moléculaire, et elles semblent valoir pour tous les phénomènes, pour tous les échanges d’énergie. Or, nous avons sur ce point le choix entre trois attitudes

Ou bien les lois quantiques traduisent simplement une valeur moyenne des échanges, liées à un mécanisme au fond continu, de nature déterminée, et imaginable.

Ou bien elles expriment un fait absolu et irréductible, ayant son origine dans la structure même de l’espace et du temps.

Ou bien enfin, ceux-ci restant continus, les notions mêmes de position et d’instant pour un point matériel cessent d’être définies en dehors de certains nœuds. [1 s’introduit une indétermination essentielle.

Essayons de montrer, sur des exemples simplifiés, comment les physiciens passent de l’explication concrète à l'explication géométrique. Prenons le cas de la mécanique ondulatoire. On est tenté naturellement d'associer le caractère quantique d’un phénomène à l’existence d’une onde, d’abord parce que le premier principe de Bohr suppose effectivement l'existence d’une onde, ensuite parce que dans une onde nous trouvons d'avance une sorte de quantification, qui se manifeste par exemple dans les phénomènes de résonance. À vrai dire, la notion d’onde elle-même peut être prise plus ou moins concrètement. Chez certains, il s’agit d'ondes réelles, semblables, identiques parfois aux ondes électromagnétiques (celles-ci, il est vrai, sont devenues bien abstraites, depuis que nous ne prenons plus en grande considération l’image d’un milieu élastique; nous admettons cependant qu’elles constituent un fait concret); chez d’autres, il s’agit d’endes tout à fait hypothétiques, voire nécessairement fictives. Chez d’autres enfin, il n’y a plus d’ondulatoire que la forme imposée aux

EXEMPLE DE THÉORIE INTUITIVE ou 357

équations, nous cherchons des expressions symboliques de type ondulatoire, dont il restera à identifier les éléments avec des grandeurs plus où moins directement expérimentales. On peut dire que M. Schrôdinger cherche systématiquement à caractériser les phénomènes quantiques par des équations de Jacobi à forme ondulatoire, comme M. Einstein cherche à caractériser les phénomènes de gravitation par des extrémales à forme géométrique. À vrai dire, les équations de la physique mathématique tournent autour de quelques types d'équations aux dérivées partielles du second ordre, auxquelles nous pouvons attribuer, sans trop d'artifice, un sens géométrique ou ondulatoire.