INTRODUCTION

i. Les milieux pulvérulents, tels qu^un amas de sable sec ou même de Éaoiubre.|.mite et

, équilibre d'élaslicilé

terre fraichemeat remuée, dont les diverses parties n éprouvent, à glisser jic^« «««if» puivérules unes sur les autres, d^autre résistance que leur frottement mutuel, sont susceptibles de plusieurs modes distincts d'équilibre.

Le seul qui ait été étudié jusqu'ici est Y équilibre-limite qu'ils présentent lorsqu'ils sont sur le point de s'ébouler et que les frottements y atteignent par suite les valeurs les plus grandes qu'ils soient capables de recevoir. Dés 1856, Macquorn-Rankine avait trouvé les lois de cet équilibre pour le cas d'un massif pesant, limité supérieurement par un talus plan, et dans lequel

(*) Plusieurs des résultats que contient ce Mémoire ont été résumés dans une note insérée aux Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris (t. LXXVII, p. 1521, 29 décembre 1873).

4 SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICIÏÉ

on admet que Vétat cboulenx s'établît à la fois de la même manière sur toute retendue d'un plan quelconque parallèle au talus supérieur (*)• Plus récemment, M. Maurice Levy a retrouvé de son côté la même solution, spécifiée pour Téquilibre-limite qui se produit quand un mur de soutènement commence à se renverser; il a montré d'ailleurs que cette solution n'est admissible qu'autant qu'elle satisfait à une condition spéciale à la face postérieure du mur, condition déjà considérée par Poncélet dans l'ancienne théorie, et qui consiste en ce que la poussée éprouvée par cette face, au moment où la rupture devient imminente, doit avoir précisément une inclinaison telle, que le massif soit sur le point de glisser contre le mur (**); de plus, il a fait voir que la nouvelle théorie comprend tout ce qu'il y a d'acceptable dans l'ancienne de Coulomb (***). Enfin, M. de Saint- Venant (*'') a indiqué une méthode approchée pour déduire de la solution précédente une infinité d'autres solutions voisines, et c'est en la suivant que j'ai pu, soit obtenir celles-ci dans le cas où l'inclinaison du mur sur la verticale est inférieure à une certaine valeur-limite, soit démontrer leur impossibilité dans le cas contraire où l'inclinaison dont il s'agit dépasserait la même valeur-limite ('). Le Mémoire actuel se termine par une exposition simplifiée de ces divers

{*) On ihe slability ofloose Earlhy aux Transactions philosophiques de la Société royale de Londres (i856-i857). Sa ihcorie a été exposée géométriquement dans les Annales des ponts et chaussées (novembre 1872, p. 242). par M. Flamant, ingénieur des ponts et chaussées.

{**) M. Levy n'avait donné d'abord l'expression de la poussée que pour le cas particulier où la face postérieure du mur est verticale et où le talus supérieur a sur 1 horizon rincljnaison maxima ^ : M. de Saint-Venant a remarqué que la même analyse conduisait à des formules simples dans une infinité d'autres cas, notamment dans celui d'un terre-plein horizontal soutenu par un mur ayant un fruit intérieur égal à tg. (^ — |)- Voir relativement à ces deux cas particuliers, au Compte rendu du 21 juin 1869 (t. LXVIH, p. 1456), un article où M. Maurice Levy dit aussi avoir puisé la première idée de son Mémoire dans un remarquable travail (Traité de la stabilité des constructions, Brunswick, 1857) de M. le Docteur Scheffler, qui avait considéré Téquilibre-limite d'un massif dont la surface supérieure est horizontale.

Ç**) Le Mémoire de M. Levy a paru in extenso au Journal de Mathématiques de M. Liouville (t. XVin,1875;pp. 241 à 300).

('*) Au n° 7 d'un Mémoire inséré aux Comptes rendus des 7 et 14 février 1870 (t. LXX, pp. 229 et 281). Voir aussi au Compte rendu de la première de ces séances (p. 217), le Rapport approbalif de M. de Saint-Venant sur le Mémoire de M. Levy.

n Compte rendu j même tome, p. 751, numéro du 4 avril 1870, qui contient également (p. 717) un article de M. de Saint-Venant sur le même sujet.

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résultais^ étendus même à des cas où les surfaces limitant le massif sont courbes, et précédés de considérations qui démontrent le fait de la production presque instantanée de Tétai ébouleux dans une grande partie des massifs au moment de leur rupture. Ce fait, implicitement admis par Rankine et par M. Levy, n'est pas du tout évident.

Mais il y a un autre genre d'équilibre également important à considérer : c'est celui que présente une masse sablonneuse en repos, soutenue par un mur assez ferme pour n'éprouver aucun ébranlement. Dans cet état, le frottement mutuel des couches est généralement moindre que dans le précédent, tout comme, à l'intérieur d'un solide en équilibre d'élasticité, les tensions restent partout inférieures à celles qui altéreraient d'une manière permanente la structure du corps : les particules sont donc moins retenues par leurs actions mutuelles que dans le cas où le mur de soutènement les fuirait en cédant sous leur pression, et elles exercent sur ce dernier une poussée supérieure à celle qu'indiquent les formules de Rankine.

C'est surtout ce genre d'équilibre que je me propose d'étudier ici : je l'appelle équilibre d'élasticité, car je considère les pressions qui s'y trouvent effectivement exercées comme dépendant des petites déformations qu'éprouverait la masse, supposée d'abord homogène et sans poids, si elle devenait ensuite pesante conmie elle l'est en effet.

2. Est-il aussi difficile qu'on l'a cru jusqu'ici de trouver les vraies for- liel^^^di^^^p^'J^fiJ^;; mules des pressions, à l'intérieur d'un milieu pulvérulent en équilibre fntSl^^^^^^ stable? Je ne le pense pas, et, sauf les réserves nécessaires en attendant le contrôle de l'expérience, qui, dès à présent d'accord avec une partie des résultats théoriques, n'a pas encore donné sa réponse sur d'autres, les réflexions suivantes me paraissent de nature à le démontrer.

Les corps dont il s'agit tiennent le milieu entre les solides et les fluides : tandis que les solides et les fluides, soumis à des pressions variables depuis zéro jusqu'à de grandes valeurs, opposent à une même déformation qu'on leur fait subir une résistance constante, finie pour les premiers, nulle pour les seconds, les milieux pulvérulents, au contraire, résistent aux changements de forme avec une énergie d'autant plus grande qu'ils supportent dans

tous les sens une pression moyenne plus considérable : fluides tant qu'on ne les comprime pas, ils deviennent^ en quelque sorte ^ solides sous pression. Leur coefficient d'élasticité de glissement, ou coefficient de rigidité (/* de Lamé), au lieu d'être constant comme chez les solides, nul comme chez les fluides, parait proportionnel à la pression moyenne p.

C'est ce que je déduis en eflel des expressions par lesquelles on représente, dans les corps isotropes, la moyenne des forces élastiques principales (c'est-à-dire la pression moyenne p changée de signe) et aussi les diflerences respectives de ces trois forces , en fonction des trois dilatations principales dj, d^, ^3. En tenant compte, dans tous les résultats, des termes affectés des carrés et des produits deux à deux de c),, Da, ^3, puis exprimant que le milieu considéré, pour des valeurs finies de d<, ()j, àj, cesse d'admettre des forces élastiques tangentielles de grandeur sensible dès que la pression moyenne p est nulle , je trouve que les composantes appelées par Lamé N,, Nj, N3, T,, T,, T3 y ont pour valeurs (tant qu'elles ne dépassent pas certaines limites) :

I d\) dw\ ^ I dw du\ „, [du dv \

m est un coefficient positif et constant assez considérable, et u, v, w, fonctions des coordonnées primitives a?, y, z, désignent les composantes du déplacement moléculaire. De plus, la même analyse prouve que la dilatation cubique est en même temps négligeable en comparaison des trois dilatations linéaires dont elle égale sensiblement la somme algébrique, ou qu'on peut admettre la relation d'incompressibilité

du dv dw dx dy dz

Si l'on joint celle-ci aux trois équations qui expriment l'équilibre de translation d'un élément de volume rectangulaire, on aura les quatre équations

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indéfinies nécessaires pour déterminer^ dans chaque cas^ les déplacements u^ t;^ ti; et la pression moyenne />.

Quant aux conditions spéciales aux surfaces4mites, elles reviennent :

1° Pour les surfaces libres^ à exprimer que la pression exercée par le massif sur sa couche superficielle est nulle (car on fait abstraction de la pression atmosphérique^ appliquée tout autour de chaque grain de sable et qui nHnflue pas sur les actions mutuelles de ces grains);

2** Pour les parois fixes (ou faces postérieures des murs de soutènement) à y poser u = 0, r = 0, te; = lorsqu'elles sont rugueuses au point d'immobiliser la couche adjacente du massif^ comme il arrive toujours dans la pratique^ et qu'on admet en outre l'existence d'un état primitif^ compatible avec cette immobilité^ dans lequel les déplacements u^ v, w sont partout nuls et le milieu homogène sans pesanteur : si la paroi était^ au contraire, infiniment polie, la composante normale du déplacement et les composantes tangentielles de la poussée s'y annuleraient.

Je me borne à considérer ces deux espèces opposées de parois et j'observe d'ailleurs que les conditions simples ainsi posées ne sont malheureusement pas applicables aux cas de la pratique. En eiïet, les particules adjacentes à des parois rugueuses, par exemple, se trouvent bien immobilisées, mais pas, en général , dans les positions correspondantes à l'état dit naturel ou* primitif; de sorte que les déplacements te, v, m; y sont plutôt égaux à des fonctions déterminées, quoique inconnues, de ar, y, :2r, qu'à zéro. On verra au § VIII comment, dans l'étude de l'équilibre définitif que prennent des massifs placés dans des conditions données, j'ai pu suppléer par une condition de stabilité à la connaissance des relations spéciales aux parois, et comment aussi le même genre de solution, étendu au cas de murs plus ou moins fermes et qu'on ne peut pas supposer absolument immobiles, parait conduire d'une manière rationnelle aux résultats que l'ingénieur demande à la théorie de la poussée des terres.

3. Les intégrations sont faciles quand le massif pesant, limité supérieu- l*»' î^^^îri^y"?

^ 1 r 7 I pour un niassit limite

rement par un plan faisant avec l'horizon un angle donné w, est indéfini dans iXfu%7«Tm«i»?" tous les autres sens. Une telle masse pulvérulente peut présenter une double ••«"*

infinité de modes d'équilibre^ suivant les valeurs qu'on attribue à deux constantes arbitraires c, &, introduites par l'intégration.

Un système quelconque de droites parallèles^ situées dans un plan vertical perpendiculaire au plan du talus supérieur^ s'y change^ par suite des petites déformations éprouvées, en une famille de coniques concentriques, semblables et semblablement placées, dont les axes ont les directions des bissectrices des quatre angles que forme une verticale avec le profil du talus supérieur. Ces coniques deviennent des arcs de cercle de très-grand rayon pour les lignes parallèles au talus. Elles se réduisent toutes à de simples droites parallèles quand l'une des deux constantes arbitraires, c, est nulle. Alors les différentes parties du massif éprouvent les mêmes déformations : il y a notamment deux systèmes primitivement rectangulaires de droites matérielles qui ne sont ni contractées, ni dilatées, et qui, sans cesser d'être droites et respectivement parallèles, éprouvent de simples glissements les unes par rapport aux autres. J'appelle s l'inclinaison d'un système de ces lignes sur la verticale, inclinaison qu'on peut supposer comprise entre qp ~> et qui suffit, comme on va voir, pour caractériser parfaitement les divers modes réalisables d'équilibre du massif.

Limiie d cia>>tic.tc 4. Obscrvous, cu effet, qu'après avoir intégré les équations différentielles

de la roalière puivé- i ■• • 11 i • •

ruicnto.Exten.ioii du problèmc , Il rcstc à tenir compte des limites d élasticité que présente

des résultais obtenus * ' ■ * *

flemLs?fs^^mHe^^^^^^ uécessairemcnt la matière pulvérulente considérée. De même qu'en traitant plans. ^^ Félasticité des solides soumis à des forces données, on exprime que la plus grande dilatation linéaire en chaque point doit rester inférieure à la valeur pour laquelle les déformations commenceraient à avoir une partie permanente sensible, de même il faut exprimer ici que la plus grande dilatation linéaire éprouvée aux divers points du massif atteint tout au plus la valeur maxima qui ne peut être dépassée sans qu'un éboulement soit à craindre. Les corps pulvérulents sont dénués de cohésion, c'est-à-dire incapables d'exercer des pressions négatives (ou tractions) y et la dilatation la plus grande, à l'élat élastique, doit par ce seul fait y rester toujours inférieure au rapport 5^* La limite d'élasticité, étant ainsi moindre que ^y peut être mise sous la forme — y ou y désigne un angle, caractéristique de chaque espèce de

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matière, que Texpérience sera appelée à déterminer enire 0® et 90°, et qui n'est autre que l'angle dit de frottement ou de terre coulante. D'ailleurs, aux points d'un massif, soumis à des déformations planes, où la plus grande dilatation devient égale à ^^ la plus grande inclinaison qu'y prenne une pression par rapport au prolongement de la normale à l'élément plan sur lequel elle s'exerce vaut précisément y, et Ton retrouve l'équation caractéristique de l'équilibre-limite, que M, Rankine(*) a donnée le premier en la déduisant de cette propriété même prise pour définition des masses inconsistantes : elle se présente ici comme résultant du fait général de l'imperfection d'élasticité de tous les corps que l'on déforme.

Une première conséquence de la nouvelle condition imposée à l'équilibre est de faire annuler la constante c dont il a été parlé plus haut, et par conséquent de réduire tous les modes réalisables d'équilibre du massif indéfini à ceux qui dépendent d'un seul paramètre, fonction de l'autre constante arbitraire & : je prends pour ce paramèlre, comme il a été dit précédemment, l'inclinaison e, sur la verticale, d'un des systèmes des lignes matérielles du massif qui ne sont ni contractées, ni dilatées. En outre, l'angle e doit vérifier l'inégalité

siri ^ «

cos*(« — î2f > -— rsin * »

La direction du système considéré de lignes invariables, arbitraire quand l'inclinaison w du talus sur l'horizon est nulle, se trouve donc astreinte à tomber dans l'intérieur d'un angle de plus en plus petit à mesure que cette inclinaison croît en valeur absolue ; elle devient même unique lorsque a) = 2by^ et elle cesse d'exister ou d'être réelle si w sort de l'intervalle compris entre ces valeurs extrêmes ± y.

Ainsi sont expliquées :

1^ L'impossibilité, pour un massif pulvérulent, de se soutenir sous un angle supérieur à celui de terre coulante;

2"" La diminution de la stabilité de son équilibre à mesure que la déclivité du talus augmente, ou, ce qui revient au même, la réduction de plus en plus

(*) Mémoire déjà cité On the stability oftoose Earth, form. 34.

grande du champ dans Télendue duquel le paramètre angulaire e^ caractéristique des modes d^équilibre^ peut varier sans que la masse inconsistante passe à Tétat ébouleux.

D'ailleurs^ ces divers modes d'équilibre ^ quoique obtenus pour des massifs latéralement indéflniS; s'appliquent à des massifs limités d'un côté par un mur, toutes les fois que les formules qui les représentent vérifient d'ellesmêmes les conditions spéciales à sa face postérieure. Je démontre par exemple qu'un de ces modes, et un seul, convient au cas d'un massif terminé supérieurement par un talus plan et latéralement par un mur également plan, soit quand ce mur se trouve, ou infiniment rugueux, ou intlniment poli, et que l'état naturel est supposé avoir existé d'abord, soit dans le cas ordinaire où l'équilibre s'est définitivement réglé de manière à donner à la structure intérieure du massif la plus grande stabilité compatible avec le degré de résistance du mur, soit enfin quand celui-ci est maintenu contre le massif au moyen d'une force connue, plus ou moins gravide, comprise entre celle qui serait à peine suffisante pour soutenir les terres et celle* qui les ferait refluer par écrasement au-dessus du talus supérieur. Les lois très-simples qui régissent, dans ces différents cas, les déformations élastiques éprouvées par le massif et la poussée qu'il exerce, se trouvent exposées aux §§ V, VII et VIII.

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