SI

FORMULES DES PRESSIONS PRINCIPALES EXERCÉES A l'iNTÉRIEUR DES MILIEUX ÉLASTIQUES, SOLIDES, FLUIDES OU PULVÉRULENTS, DONT LA CONSTITUTION EST LA MÊME EN TOUT SENS.

5. Tous les corps assez peu écartés d'un état d'équilibre primitif sont Diiâiâtions prinri .

,, . s « f » 1 • , y ,w ' # pales en chaque point

élastiques^ c est-à-dire tels, que la pression exercée a travers un élément plan <*'«" ^^^^ déformé quelconque pris à leur intérieur ne dépend que des déformatiom éprouvées par la matière dans une très-jyetite étendue autour de l'élément plan. Quelque compliqués que soient les déplacements des diverses particules du corps, pourvu qu'on les suppose graduellement variables d'une particule aux particules voisines, les déformations dont il s'agit se réduisent toujours, comme on sait, aux trois dilatations, dites pincipales, des fibres ou lignes matérielles qui, primitivement parallèles à trois directions rectangulaires, se trouvent encore rectangulaires après les déplacemenls.

On peut démontrer bien simplement cette importante proposition, due à Cauchy. Il suffit, pour cela, d'observer que la continuité supposée des mouvements entraîne, comme conséquences presque évidentes, les propositions que je vais énoncer et qui constituent elles-mêmes d'intéressants théorèmes de cinématique.

1"^ Un ensemble de points matériels très-rapprochés et dessinant une surface dans l'état primitif, continuent à former une surface à toute époque.

2** Deux de ces surfaces matérielles, choisies primitivement très-voisines l'une de l'autre dans toute leur étendue, restent également 1res- voisines et ont par suite leurs éléments plans sensiblement égaux et parallèles chacun à chacun.

S^ Un triple système de surfaces matérielles, tracées à l'origine dans le

corps^ le découpe à toute époque en une infinité de parallélipipèdes élémentaires^ dont chacun éprouve d'un instant à l'autre des variations dans les longueurs et dans les inclinaisons respectives de ses arêtes, mais sans que celles-ci cessent jamais d'êlre sensiblement égales et parallèles quatre à quatre.

4** Par suite, deux éléments matériels quelconques de surface ou de ligne, très-voisins l'un de l'autre, et sensiblement égaux et parallèles dans l'état primitif, ne cessent jamais d'être sensiblement plans ou rectilignes, égaux et parallèles.

S** Le mode de déformation éprouvé par le corps dans un petit espace autour d'un quelconque de ses points est complètement déterminé, si l'on connail à chaque instant les accroissements reçus, à partir de l'état primitif, par les inclinaisons respectives de trois arêtes concourantes d'un élément de volume parallélipipède contenant ce point, et aussi les trois dilatations éprouvées par ces arêtes, c'est-à-dire les rapports respectifs de leurs augmentations de longueur aux longueurs primitives : en effet, l'élément de volume parallélipipède, dont l'état primitif est supposé donné en outre, pourra être entièrement construit à l'époque considérée, et tous les points matériels qu'il contient s'y trouveront situés, sans la moindre indétermination, de manière que leurs distances à chaque face, mesurées dans le sens de l'arête non parallèle à cette face, aient crû proportionnellement à leurs valeurs primitives également données.

6 ' Tout élément plan matériel primitivement limité par un contour ellip-" tique, et tout petit volume ayant initialement la forme d'un ellipsoïde, ne cessent pas d'être, soit une ellipse, soit un ellipsoïde, dont les diamètres conjugués sont constamment formés par les mêmes lignes matérielles. Considérons, en effet, un parallélipipède élémentaire ayant deux ou trois arêtes parallèles, dans l'état primitif, à un système de diamètres conjugués de l'ellipse ou de l'ellipsoïde dont il s'agit, et appelons c)^., ùy, ou ôx, <)y, <)z, les dilatations de ces arêtes à une époque quelconque /. Menons, parle point matériel primitivement placé au centre de l'ellipse ou de l'ellipsoïde, un système d'axes des X, y, ou des a?, y, z, qui restent constamment parallèles à ces arrêtes. Les coordonnées as', ;y', 5' d'un point matériel quelconque, voisin de l'ori-

DES MASSIFS PULVERULENTS. 13

giDe^ égaleront^ à une époque aussi quelconque^ leurs valeurs primitives X, y, z augmentées des accroissements respectifs a?à,, yày, ^<),, et Ton aura

si donc le point (x, y), ou (a?, y, 2:), est pris sur l'ellipse ou sur Fellipsoïde

a 6 ar o' c

le point (a?', y') ou (a?', y', z') se trouvera sur Tellipse ou sur Fellipsoïde

7"^ Le cas particulier le plus intéressant de la proposition précédente s'obtient en supposant l'élément plan et l'élément de volume considérés circulaire ou sphérique dans l'état primitif^ c'est-à-dire tels, qu'ils aient, dans cet état, tous leurs systèmes de diamètres conjugués rectangulaires : quelle que soit, à une autre époque donnée, l'orienlation du système, généralement unique, des axes de l'ellipse ou de l'ellipsoïde, les lignes matérielles dirigées suivant ces axes auront été rectangulaires dans l'état primitif, et les déformations totales éprouvées à cette époque par la matière comprise à l'intérieur de l'ellipse ou de l'ellipsoïde considérés, se trouveront parfaitement symétriques de part et d'autre des mêmes axes, s'il s'agit de l'ellipse, ou de part et d'autres des trois plans diamétraux, dits principaux^ qui contiennent deux d'entre eux, s'il s'agit de l'ellipsoïde. En nous bornant à ce dernier cas de l'ellipsoïde, nous pourrons dire que les couches de matière parallèles à chacun des trois éléments plans principaux n'auront pas glissé les unes devant les autres, vu que les fibres matérielles qui les traversaient normalement leur seront encore perpendiculaires. Les déformations éprouvées se réduisent ainsi aux trois dilatations reçues par ces trois systèmes de fibres, c'est-àdire, plus simplement, par les trois dimensions du parallélipipède matériel et rectangle construit sur trois arêtes parallèles aux axes considérés.

J'appellerai d„ d^, d, ces dilatations principales.

ExDretsionadesfor. fi. Je flie bomeraî à l'étude de corps d'élasticité constante, c'est-à-dire

ces élastiques pnnci- ^ ^

&o^4*ou"déi«T constitués, dans l'état primitif, de la même manière par rapport à tous les eue ronstonte. ^lémcuts plaus matéricls qui se croisent en un même point. Si l'on considère en particulier, parmi ces éléments plans, les trois qui sont rectangulaires à Tépoque ^ comme avant les déplacements, les pressions Fi, F,, F5 qu'ils supporteront sous l'unilé de surface actuelle, à cette époque ?, ne pourront que leur être normales par raison de symétrie : ce sont ces trois pressions, rectangulaires entre elles et normales aux éléments plans qu'elles sollicitent, qu'on appelle pressions principales : nous les regarderons, suivant l'usage, coDime positives quand ce seront des tractions, comme négatives quand ce seTonl des pressions proprement dites. D'ailleurs, pour des raisons encore évidentes de symétrie, si c),, c)^, <i^ représentent les dilatations des fibres respectivement parallèles à F,, Fj, F3, F, sera une fonction de à,, c)^, àj, symétrique par rapport à 0)2,^3; Fj sera la même fonction de <)2, c),, c), , enfin F,, la même fonction de â„ â^, c)^.

En général, les déformations principales df, d,, d, sont assez petites pour que les fonctions F,, Fj, F3 puissent être développées, par la formule de Maclaurin, en séries très-rapidement convergentes procédant suivant leurs puissances entières et positives. Nous nous occuperons spécialement de la pression moyenne — ^ (F, + F^ + F3), que nous appellerons/?, et des trois demi-différences ^(Fj — F3), ^(F3 — F,), ^ (F, — Fj). Ces quatre quantités deviendront évidemment des séries très-rapidement convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de d^, d^, d,.

La première, p, sera symétrique par rapport à c),, d^, 0)3 et aura, jusqu'aux termes du troisième degré exclusivement, un développement de la forme

— A — B (D, ^ D, -4- D5) — (C -^ 2D) (Dî h- Dj H- Dj) — (B ^ 2C — 2D) (DjOj -4- DjS, -f- DjD,),

OÙ Â, B, G, D désigneront quatre coefficients dépendant de la nature du corps et de l'état primitif. On peut abréger cette expression en y introduisant la dilatation cubique 0, c'est-à-dire l'accroissement reçu par l'unité de volume de l'élément matériel rectangulaire dont les trois dimensions ont grandi dans les rapports respectifs de 4 à 1 -f- à,, de 4 à 1 + c)t, de 1 à

1 + d,. La valeur de d est ainsi l'excès, sur l'unité, du produit (1 + à,) (i + df) (1 + ds), et l'on peut, en négligeant le terme ^i^A qui est du troisième ordre de petitesse, écrire

(4) Ô = (Di -4- D, -4- D,) -<- (DjDg -4- OjD, -4- D|D,).

L'expression précédente de />, changée de signe, devient \

(2). — p ou - (F, -♦• F, -4- Fj) = A ^ Be -+- Ce' -♦■ D [(D, — D,)* -+- {h — ^i)* h- (î>i — ^tf]-

Le développement de ^ (F, — F,) peut s'obtenir en substituant aux deux variables â^, âj les expressions équivalentes l(\+ (iz) + ^(^j — ^0 et ^ (diiH- <)3) — ^(^j — ^s) : on peut, en d'autres termes, Tordonner suivant les puissances de â, , âj + as, d^ — ^3. Gomme d'ailleurs le changement de â, en ^3 et de ^3 en â, transforme F, en F3 et F3 en F,, cette série devra simplement changer de signe quand, d, et d, + d, conservant les mêmes valeurs, âj — ^3 prendra signe contraire, La série ne contient donc que les termes affectés des puissances impaires de ^a — ^3 ; ^He est le produit du facteur âj — ^3 par un autre facteur ordonné suivant les puissances entières et positives de (),, âj + ^3, (^i — c)»)*. Cet autre facteur, étant ainsi symétrique par rapport à \y ^3, contient, jusqu'aux termes du troisième degré exclusivement, sept termes, dont le premier est constant, et dont les six autres sont respectivement affectés de c)^ + <)^, â,, <il + <)?, â, (c), + ^3), âi()3, àf. Si A', B', C, D', B'', C", D" désignent des coefficients spécifiques comme A, B, C, D, ce facteur pourra s'écrire

A' -4- B' (D, + h) -*- (C -+- 2D') (Dî H- D}) -4- (B' -4- 2C' — 2D') V, -4- (B' ^ B") .\ H. (B' ^. 20' — 2D' -4- C") D, (D, -4- h) H- (C -4- 2D' ^ C" -4- D") ;>;,

ou, plus simplement,

A' ^ B'e -♦- C'o* -4- D' [(D, — Dj)« -4- (;)s — J),)« -4- (D, — :»,)«] -4- {B" -4- C"e) D, -4- D" Dj.

En vue d'abréger, je poserai dans ce paragraphe

de manière à avoir notamment, pour l'expression de ^ (F, — F,) et pour les expressions analogues de ^ (F3 — F,) et de \ (F, — F,), les formules

L(F, F,) = [K' + (B" -f- C" 9) J, + D"Ja (i)t ~h), j(F. - F,) = [K' H- (B" + C"») î, -H D"Ja (D, - 0.) , i(F, -F,)= [K' + (B" + C"e) J, + D"JÎ] (D,- 50.

En ajoutant membre à membre ces trois égalités, il vient

= D" [Dî (D, — \) + Dî (0, - 0,) H- ;)î (D. - \)], OU

relation qui ne peut être toujours vérifiée [comme, par exemple, dans le cas où c)i = 0, sans qu'aucune des quantités c)^, c)., c)^ — (\ s'annule] qu'autant que le coefficient D" est nul. Les formules ci-dessus, en y joignant celle (2) de la pression moyenne, se réduisent donc à celles-ci

- (F. - FO = [K' ^- (B" ^ C'tf) D3] (D, - D,),

- (F, H- F, -+- F,) ou -p=K.

Ce que deriennent 7. Lcs résultats précédcuts s'appllqucut à tout corps d'élasticité constante,

ces expressions : , \» r\ \ c^ * • n \

10 Quand le corps OU tsotvope, commc dit Cauchy. Specifions-les actuellement pour les trois cas d'un solide^ d'un fluide et d'une mcisse pulvérulente^ en supposant les parties variables, F^ — A, Fj — A, F3 — A, des forces principales, assez peu considérables pour que leurs expressions soient réductibles aux formes simples qu'elles ont quand elles sont près de s'annuler.

DES MASSIFS PULVERULEINTS. 17

La partie commune, — /?, des trois pressions (ou plutôt tractions) F,, Fa, F3, représente Feffort qui tend à dilater ou à comprimer le corps, non celui qui tend à le déformer. Ce dernier effort est au contraire représenté par leurs différences respectives F, — F3, F3 — Fi, F^ — F«, et il est d^autant plus faible, en comparaison des déformations produites c), — à^, ^3 — ^1,^1 — <)i, que le corps a moins de rigidité.

Occupons-nous d'abord des solides^ ou milieux cohérents proprement dits, c'est-à-dire des corps dont les déformations àg — ^3, ()5 — ()o ^1 — <^* ne deviennent jamais sensibles qu'aulanl que les efforts Fj — F3, F3 — F,, F, — Fa le deviennent eux-mêmes. Les rapports

Dj — ^5 Dj — Dj Dj — \

.j(F.-F3) ^(F,-FO ^(F.-F,)

n'y croissent donc pas au delà de toute limite lorsque leurs dénominateurs diminuent jusqu'à zéro, et les rapports inverses, exprimés, d'après les trois premières formules (4), par

K' -f- (B" -4- C"0) D,, K' -4- (B" ^ C"e) ;),, K' -♦- (B" h- Ce) D,,

n'y deviennent pas nuls quand F,, Fj, F3 se réduisent à leur partie primitive A, ou que ai, c)^, 0)3 décroissent jusqu'à zéro. D'après l'expression (3) de K', ces rapports se réduisent alors à la constante A\ Celle-ci ayant donc une grandeur finie, les formules (4), pour des valeurs assez peu considérables de Fj — A, Fa — A, F3 — A et par suite de <),, c)^, ^3, deviennent à fort peu près

— p ou - (F, -H F, -f- Fj) = A -^ B8 = A -♦- B (D, ^ D, -4- D3).

On en déduit aisément les valeurs de Fi, F^, F3, en observant qu'on a, par exemple,

i8 SUR L'ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ

si Ton pose^ afin d^arriver aux notations de Lamé;

on obtient ainsi les formules connues

(5). . . . F, = A -♦- AO-4- 2fA:)|, F, = A H- ifl -4- 2fiDt, Fj == A h- ;e -4- SfADj.

30 Quand le corps 8. Les milioux non cohérents sont au contraire ceux chez lesquels des

est fluide et quand il

est puiréruient déformations finies ^^ — ^3, <)s — <)m ^1 — ^4 peuvent être produites par des efforts Fa — F3, F3 — F,, F, — Fa infiniment petits. Ces milieux sont de deux espèces^ suivant que de telles déformations^ sous des efforts insensibles^ n'y sont réalisables qu'aulant que la pression moyenne p est infiniment petite^ ou suivant qu'elles peuvent même s'effectuer quand la pression p est finie. Le second cas est offert par les fluides, milieux^ dénués de régidité^ chez lesquels on a constamment (au moins à l'état statique) Fa — F3 = 0, F3 — F| = 0, F, — Fa = 0, et où par suite, si l'on suppose assez peu considérables, comme il a été dit, les différences F, — A, P, — A, F3 — A, on a

F, = F, = Fj = — p = A -4- Bo :

ces formules se déduiraient de celles (5) qui conviennent aux corps solides, eu supposant nul le coefficient de rigidité /x.

Le premier cas comprend les corps pulvérulents que j'étudierai dans ce Mémoire. On peut les définir des milieux élastiques intermédiaires, qui, sous pression, sont doués de rigidité comme les solides, tandis qu'tV^ deviennent fluides dès quon cesse de les comprimer.

Quelque faibles que soient les efforts Fa — F3, F3 — F|, F, — Fa, mais pourvu que la pression moyenne p devienne suffisamment petite, les dilatations d,, c)a, \ peuvent y avoir des valeurs quelconques, que nous supposerons toutefois petites et comprises entre certaines limites d'élasticité. Or l'expression (4) de p devient égale à zéro, quelles que soient lès différences <)« — \> \ — ^o si l'on y choisit convenablement ou, par exemple, l'une des trois dilatations â,, c)a, â». Les formules (4) montrent donc que,

DES MASSIFS PULVÉRULENTS. i9

pour des valeurs arbitraires de â, — ^3, ^3 — d,, les quatre expressions

peuvent être nulles dans les milieux dont il s'agit^ ou^ plus exactement^ peuvent être nulles en supposant qu'on y comprenne les termes, d'un ordre de petitesse en <),, <)t, (i^ supérieur au second, qui les rendraient exactes. La différence des deux dernières étant (B" + C"e) (<), — ^3), on voit que l'annulation de ces quatre expressions revient à poser, sauf erreurs du troisième ordre de petitesse,

(0) • . K = 0, K' =a 0, B" -4- C"e = une quantité du second ordre en D^, t\, D^.

Nous aurons à considérer les trois équations simultanées (6), non pas pour nous borner aux cas où elles seront satisfaites, mais pour tirer de leur forme même diverses conséquences, relatives aux cas voisins où la pression moyenne />, sans devenir trop grande, ne sera plus égale à zéro. Elles devront être vérifiées, non-seulement par des valeurs finies de c)„()j,â3, mais encore par des valeurs nulles de d,, d^, d,; car, en admettant, comme je le ferai, qu'on ait choisi pour état primitif un état où /> == 0, on peut, sans que les pressions F,, F„ F3 cessent d'être insensibles, ne produire que des dilatations linéaires aussi petites qu'on voudra. Or, qu^nd on fait di = 0, ()i = 0, ^3 = 0, ces équations se réduisent, d'après les expressions (3) de K, K', à

Par suite, les équations (6) deviennent en général

IBo -♦- C0« -f^ D- [(D, — h)* H- (y, — D.)« -f- (Di — D,)«] « , W9 ^ C'«« -f- D' [(D, -. D,)« -f- (D, — ;i,y ^ (D, - \Y\ = 0, G^é= une quantité du second ordre en Do ^s, h-

On ne peut les vérifier que de deux manières : ou bien en posant 6 = 0, ou bien sans poser 6 = 0. Examinons successivement ces deux cas.

Si les équations (8) se résolvent en posant 6 = 0, les deux premières.

dans lesquelles les petites différences ^^ — d^, <i^ — <), doivent rester arbitraires^ ne seront satisfaites qu'autant qu'on aura

Mais alors les formules générales (4) prennent des formes très-simples, quand on se borne, comme il a été dit, à n'étudier que des valeurs assez peu considérables des parties variables F^ — A, F^ — A, F3 — A des pressions. Pour toutes ces valeurs, la dilatation cubique d, qui s'annulerait en même temps qu'elles, est en général irès-petite par rapport aux trois termes principaux c),, c),, <)3, dont elle vaut à fort peu près la somme algébrique et qui, différant l'une de l'autre de quantités quelconques, sont loin de s'annuler. D'ailleurs, les expressions (4) de — p et, par exemple, de ^ (F^ — Fà), sont déjà réduites, par les conditions (7) et (9), à

— p = Ba ^ CôS - (F, — F5) = (B' -f. Ce -^ C"D|) e (\ — D3).

La dilatation e étant très-petite par rapport aux différences âj — <i^y âj — <), , un terme affecté de f est négligeable vis-à-vis d'un terme affecté de e, vis-àvis même d'un autre terme affecté de e (\ — 0)3), et l'on peut supprimer, à plus forte raison, un terme affecté, soit de ec), (à^ — (i^), soit surtout de e' (\ — ()3). Les termes qui ont en coefficient C, C, C disparaissent donc, et il vient simplement

- p = »«» r (F, - F5) = B'fl (D, - D.) ,

OU bien, si l'on pose. B = X, B' = — wX,

- p = >0 , - (F, -. F,) = fw p (D, - \) .

On aurait des valeurs analogues pour les demi -différences j (Fs — F|), ^ (Fj — Fa) : ces valeurs, substituées dans les expressions identiques de F,, Fj, F3, dont la première est

donnent, en observant que la somme d, + ^i + <^7^y ou 9 y est négligeable en comparaison de â, , c),, ^3, les formules définitives :

( avec la condition \ -f- J), -♦- Dj ou e = 0.

Supposons actuellement que les équations (8) se résolvent sans poser e = 0, mais dans Fhypothèse que 6 y varie, à partir de zéro, d'une manière continue, à mesure que les deux différences \ — (i^, (i^ — c), , d'abord nulles, prennent des valeurs croissantes. Les équations dont il s'agit se vérifiant quand la pression moyenne p égale zéro, il est clair que la dilatation cubique ne peut pas y avoir de valeurs bien sensibles et qu'elle y est tout au plus de l'ordre des carrés ou des produits de c),, ôj,, ^3, (si même il est physiquement admissible qu'elle puisse être finie). C'est du reste ce que montre la première relation (8), où B est l'inverse de ce qu'on appelle coefficient de compressibilité, et de laquelle on tire

6 = -- I Ce» H- D [(D, - Ds)* -4. (d, — dO«-*-(d, -;)»)•]}.■

Ainsi e est seulement du second ordre de petitesse en d|, d,, d, : par suite, ô* disparait, comme se trouvant du quatrième ordre, des deux premières équations (8). De plus, au degré d'approximation auquel on se borne, la troisième équation (8) est vérifiée quel que soit le coefficient fini C'^ Les relations (8), ainsi réduites à

(44) BO + D [(D, — D,)*+ (D5- D,)* + (04-D.)«]=O, B'O + D' [(Î),-D,)« ^- (^^^\Y + Oi-î)t)*]=0,

donnent par l'élimination de 0, en appelant — m le rapport ^,

02) B' = — »iB, D' = — mD.

Les formules générales (k) conduiront encore, dans le cas que nous examinons, aux mêmes relations (10) que dans le précédent, du moins tant qu'on supposera les parties variables, F^ — A, Fj — A, F» — A, des pres-

sioQS^ assez petites pour que la dilatation cubique 6 ne cesse pas d'être du second ordre de petitesse en c)^, âj, 0)3. Les conditions (7) et (12), si on néglige d'ailleurs dans une même formule, devant e, les termes affectés de ô*, eà,, 6\y6<i^, changent en effet les relations (4) en celles-ci

( ~p==Bfl.*.D[(D,-Dj)«-4-(D3-c\)»H-(D»-.\)«]:

les trois premières, combinées avec la condition approchée d'incompressibilité (), + ^a + âj = 0, donnent bien les relations (4 0).

Les formules (10) conviennent par conséquent à tous les milieux élastiques pulvérulents soumis à des pressions modérées. Elles diffèrent des formules (5), caractéristiques des corps solides, efi ce que, d'une part, la dilatation cubique 6 y est négligeable en comparaison des dilatations linéaires â,, \, \ dont elle vaut sensiblement la somme algébrique, tandis que, d'autre part, le coe^cient de rigidité [i, au lieu d'être constant, y prend la forme mp, c'est-àdire devient proportionnel à la pression moyenne exercée au point considéré.

Les relations qui existent, dans ces deux espèces de corps, entre les actions déformalrices F, — F5, F3 — F, , F, — F, et les déformations produites dj — c)3, ^3 — <)|,()i — <)j, se déduisent immédiatement des formules (5) ou (10), et sont les suivantes :

^(F.-F.) 1(F.-F.) 1(F.-F,) >(-«e corps est solide).

), - 3, \ — }, D, — d( ' mp (s'il est pulTérvIent).

DES MASSIFS PULVERULENTS. 25