VIII. Composition des mouvements eoneeu

rant en un point. — Mais celte convention n'a toute ton étendue et sa grande importance qu'autant qu'il est permis de faire correspondre à la composition des vitesses la composition des fortes. On veut pouvoir

considérer la force qui agit sur un point quelconque comme la résultante de plusieurs autres forces appliquées dans d'autres directions, et par exemple dans le sens des axes. On se propose réciproquement de déterminer la résultante de forces données. Ce problème est difficile et obscur quand on s'attache à la comparaison directe des forces; et cela doit être, puisque n'étant composées, après tout, que quant à leurs effets, c'est exclusivement dans ceux-ci que la composition doit être étudiée pour être comprise. Si d'ailleurs on demande à l'expérience de faire connaître le principe ou la loi fondamentale de cet ordre de phénomènes , l'expérience montre , dans le fameux parallélogramme , des mouvements composés, non des forces. La question paraît tout à fait claire quand on se borne à envisager des mouvements ; et les lois de la représentation, convenablement analysées, en font connaître la solution concurremment avec l'expérience.

Il faut remarquer d'abord que tout déplacement est relatif. Les points de repère au moyen desquels on juge de la position de divers points et des changements intervenus dans cette position, peuvent participer avec les mobiles eux-mêmes à quelque déplacement commun qui ne modifie en rien celui que Ton considère, mais dont on se rendrait compte en déterminant certains autres repères. Ce n'est pas un postulat que j'énonce, c'est une conséquence immédiate de la représentation du mouvement. En effet, cette représentation porte sur de certains rapports de position, et la

définition de ces rapports dans le temps n'implique ni n'exclut celle d'un rapport commun du même genre entre toutes les positions mentionnées, prises ensemble, et quelque autre position dont il n'était pas question d'abord. Par exemple, si les points A,B,C,etc., subissent des déplacements estimés dans la direction X, on peut à volonté supposer que, dans le même temps, A, B, G, etc. , et les points de X ont ou n'ont pas dans la direction Y quelque autre mouvement qui les déplace tous ensemble. La possibilité quant à la figure est une pure loi de géométrie, et tout à fait élémentaire.

Maintenant, considérons deux différents mouvements d'un même point mécanique de masse m , dans l'unité de temps, suivant deux directions qui divergent sur un plan à partir du point où se trouve d'abord ce mobile. Soient x et y les déplacements correspondants proposés ; il est visible qu'ils ne peuvent avoir lieu simultanément sur les axes donnés par la position de la question. Mais ces axes ne se présentent pas ici comme des systèmes de repères fixes, ou comme des droites de position invariable que le point doit parcourir. Ils marquent seulement deux directions relatives, et l'un peut glisser sur l'autre, parallèlement à luimême, sans que ces directions soient changées. Dans cette dernière hypothèse, les conditions de l'énoncé sont satisfaites, et les deux quantités de mouvement voulues dans l'unité de temps se concilient : il suffît, en effet, que le mobile ait parcouru sur l'axe X la longueur x, tandis que cet axe, au bout du même temps, s'est déplacé de la longueur y sur l'axe Y,

sans cesser de faire avec lai le même angle. On voit que la donnée du double mouvement est claire, positive et identique avec celle d'un mouvement unique qui aurait lieu pendant l'unité de temps, suivant la diagonale du parallélogramme xy.

On a donc, en désignant par s cette diagonale , et par a et ê les angles qu'elle forme avec les deux axes, rectangulaires, par exemple :

x = s cos a, y = s cos é, s = \/x* + y*;

puis multipliant par m les deux termes de chacune de ces équations, on voit quelle relation existe entre un mouvement, dans une direction quelconque, et deux autres mouvements divergents du même point, dans d'autres directions qui sont quelconques aussi pourvu que les formules soient convenablement modifiées. Ces derniers étant assignés, le premier s'ensuit; et, réciproquement, au premier assigné, correspondent tant de systèmes qu'on veut des deux autres.

Cette composition et cette décomposition s'étendent à des mouvements donnés en nombre quelconque et dans des plans différents, pour un même point. La même loi s'applique aux déplacements indéfiniment petits et à leurs relations , et la diagonale s devient alors l'élément d'une trajectoire.

Conformément à notre méthode et à nos définitions, les forces paraissent dans l'analyse définies par la limite des mouvements qu'un mobile acquiert dans l'unité de temps, à un instant donné. D'ailleurs , partout où Ton suppose une force, on suppose une quantité de

ce genre , ou effective , ou en puissance , et réciproquement. Donc la composition des mouvements équivaut à la composition des forces. Ajoutons que celleci n'est rigoureusement intelligible qu'au moyen de la première, car l'idée d'une force résultante réelle que Ton regarderait comme se substituant à des forces données seules, et qui ne peuvent obtenir leurs effets propres, cette idée n'a point un caractère positif.