X. Équilibre d'un nombre quelconque de »um

•aneeg en un peint.— -Des mouvements quelconques donnés dans un point se composent en un mouvement unique dans une direction déterminée, soit par la loi du parallélogramme, soit par l'addition ou la soustraction sur une droite à compter de ce point. Dans le cas de l'équilibre, la résultante est nulle, et l'un quelconque des mouvements donnés est égal et opposé à

là résultante de toutes les autres. Les puissances sont alors réductibles à deux de diverses manières.

En rapportant les mouvements donnés, tels que Q, à trois axes rectangulaires , on reconnaît que leur somme, estimée dans le sens de chacun d'eux , doit être nulle pour l'équilibre ; car on a

R= v/(SQcosa)*^(SQcosg)*+(SQcosy)*;

d'où, si B = 0, nécessairement :

SQcosa=0, SQcosê=0, SQcosy^O.

(<*> €? Y* sont les angles de Q avec les trois axes.) Soit 8s un déplacement quelconque arbitraire du

point mobile que nous supposons entièrement libre;

Sx, Sy, Sz les projections de ce déplacement sur les

axes. On peut déduire des trois équations précédentes

celle-ci :

SQcosa.&r + SQcosê. %-4-SQcosy. Sz—Q.

Réciproquement cette équation implique les trois autres, parce que 8x> Sy9 Sz sont arbitraires; elle exprime donc une condition nécessaire et suffisante de l'équilibre. Or, lesquantités cos <x. Sx, cos 6. Syy cos y. Sz sont les projections de Sx}Sy et Sz sur la direction de Q, et leur somme est la projection de Ss sur la même direction. Ainsi, désignant par Sq cette dernière, on peut écrire simplement :

SQty = 0.

Cette équation signifie que la somme des moments virtuels est nulle dans l'équilibre du point. Ii faut entendre par moment vi r luel le produit d'un mouvement donné en

puissance dans un point, par le déplacement indéfiniment petit que ce point subit dans le sens proposé de ce mouvement, à la suite d'une variation arbitraire de sa position. Lorsque la somme de ces produits est nulle, les mouvements demeurent en puissance. Il y a équilibre.

On étend ce principe au cas où le point n'est pas libre, mais est assujetti à se mouvoir sur une ligne ou sur une surface. Seulement les variations 8x, fy, h ne sont plus alors complètement arbitraires; le déplacement du point reste quelconque dans la limite des positions que l'hypothèse permet, c'est-à-dire que ses coordonnées doivent satisfaire à des équations de condition.

XL Définition d'un système mécanique. — Passons de la considération du point mécanique à celle d'un système de points. Donner un tel système, c'est assigner les conditions de figure auxquelles les points sont assujettis dans le cours de leurs mouvements, qui dès lors ne sont plus indépendants les uns des autres. Lorsque toutes les distances sont invariables, le système est un solide.

Il faut poser ici deux principes indispensables.

1° Un mouvement étant donné dans l'un des points d'un solide, et suivant une certaine direction, on peut, sans modifier l'état d'équilibre ou de mouvement de ce corps, le rapporter à l'un quelconque des points situés sur cette direction, pourvu que ce point fesse partie du système invariablement lié. Cette proposition est analytiquement évidente, parce que les points

du solide qui demeurent constamment placés en ligne droite sont solidaires dans tout mouvement que les puissances données comportent dans le sens de cette ligne.

2° Lorsqu'un point ou deux points d'un système sont fixes relativement aux points de repère auxquels l'ensemble du système est rapporté dans toutes ses positions, un mouvement donné en puissance, dans une direction qui ne rencontre pas ce point, ou Taxe de ces points, tend à faire tourner le solide autour de ce point ou autour de cet axe, et dans le sens où ce mouvement est donné. Il y a lieu de chercher la mesure d'un effort de ce genre en le comparant à ceux qui lui font équilibre. Ici le principe est synthétique, attendu qu'on ne voit point à priori la raison de cette transformation d'une puissance donnée dont l'effet propre est impossible. C'est donc à l'expérience qu'il faut en demander la confirmation. Toutefois si l'on considère la puissance dans des temps indéfiniment décroissants, on reconnaît que le premier effet qui lui appartiendrait en elle-même diffère de moins en moins de celui que l'expérience fait connaître, parce que la tangente et l'arc tendent à se confondre. On peut donc se rendre compte du résultat jusqu'à un certain point, par la division indéfinie des moments du mouvement, surtout si l'on entend qu'il s'agit d'effets sensibles plutôt que rigoureusement abstraits.

XII. Composition et équilibre des mouvements parallèles envisagés en divers points d'un solide*

— Eu s' appuyant sur le premier principe et sur la loi

574 APPENDICE VHI.

des mouvements concourants , on peut prouver que deux mouvements de directions parallèles, donnés dans deux points d'un solide, équivalente un mouvement égal à leur somme, s'ils sont de même sens, et considéré parallèlement aux premiers , dans ce sens, au point où l'intervalle des directions est partagé en parties réciproquement proportionnelles aux quantités données. Si les directions sont de sens contraires et les mouvements inégaux, on assigne encore une résultante parallèle : elle est égale à la différence des quantités données , et son point d'application se détermine par la même loi , sur la même ligne, mais en dehors de l'intervalle, et du côté de la plus grande puissance, dont elle suit le sens. Enfin, si les directions sont contraires et les mouvements égaux, le cas est irréductible. On peut dès lors composer un nombre quelconque de mouvements parallèles et les réduire soit à un seul , soit du moins à deux, égaux parallèles et de sens contraires, en deux points différents. On obtient les conditions d'équilibre en exprimant analytiquement la réduction de tous les mouvements à deux mouvements égaux et de sens contraires au même point, ce qui implique trois équations en général.

XIII. Composition et équilibre 4M forces quelconques dons le même eos.— En introduisant dans le système donné des systèmes accessoires de puissances qui soient séparément en équilibre, et en vertu des mêmes principes d'ailleurs, on considère, au lieu d'un nombre quelconque de mouvements de directions quelconques en divers points d'un solide, le système

suivant : toutes les puissances s'appliquent, sans changer de direction, à un seul point (soit l'origine des coordonnées , invariablement liée au système) , et elles y représentent un mouvement déterminé unique, que Ton peut décomposer dans le sens des trois axes; il s'y joint des couples de mouvements égaux parallèles et de sens contraires en nombre égal à celui des puissances données ; ces couples se réduisent, par le même procédé, h un couple unique du même genre, et Ton peut substituer à ce dernier trois couples situés dans les plans coordonnés. De l'expression analytique de ces résultats, on déduit les conditions générales d'équilibre au nombre dé six équations. Quant à la nature du mouvement résultant, lorsqu'il n'y a pas équilibre, on ne s'en rend compte en général qu'autant que l'un des points du plan où sont situées les directions des deux mouvements égaux et parallèles finalement obtenus est regardé comme fixe par rapport aux autres points du solide, quoique entraîné avec ceux-ci dans un mouvement commun.

Les conditions d'équilibre elles-mêmes ne s'interprètent, et leur sens concret ne parait clairement qu'au moyen du principe de rotation énoncé ci-dessus, un ou deux points du solide étant supposée fixes. De fait, dans les applications, tantôt on a à considérer des points matériellement fixés, comme dans les machines, tantôt il s'en établit de relativement tels. Les grands mouvements de la nature offrent à l'observation deux phénomènes distincts, l'un de translation, estimé par le déplacement du centre de masse par

exemple, l'autre de rotation autour d'un axe passant par ce centre. Ce double mouvement des corps est le plus ordinaire dans tous les cas.

Les équations de l'équilibre d'un solide établissent d'abord que le mouvement de translation est nul, et on en a trois de ce chef, par Temploi des axes coordonnés. Les trois autres expriment que la somme des moments est nulle séparément pour chacun des axes, ou que la somme des moments qui tendent à faire tourner en un sens quelconque est égale à la somme de ceux qui tendent à faire tourner en sens contraire. Un moment, par rapport à un axe, est le produit d'une puissance par la plus courte distance de sa direction à cet axe. Cette définition est purement nominale eu égard au premier énoncé. Dans le second, elle implique une proposition. On voit bien que les mouvements considérés à l'origine des coordonnés, et qui doivent se détruire pour l'équilibre, sont relatifs à la translation possible de ce point. 11 s'agit de reconnaître de même que les produits appelés moments servent de mesure à des puissances de rotation.