XIV. Cas du levier $ mesure de la rotation

Considérons la loi de composition de deux puissances sur un solide où nous supposerons maintenant un point iixe : c'est le levier. Attachons-nous au cas le plus simple, celui d'une base rigide, inextensible et sans masse, dont l'un des points est fixe, et aux extrémités de laquelle nous envisageons deux masses avec des vitesses en puissance, soient deux mouvements Q et Q'; les distances de leurs directions au point fixe

sont a et a\ II faut et il suffit pour l'équilibre : 1° que les directions des mouvements soient planes et de même sens par rapport à un axe mené dans leur plan par le point fixe ; 2b que les deux mouvements soient inversement proportionnels aux deux bras de levier, d'où aQ = a'Q'. Ces conditions se déduisent aisément des ' principes et de la méthode indiqués ci-dessus pour l'établissement des équations générales de l'équilibre (no 11-13).

Les produits égaux, aQ, a'Q', sont les moments par rapport au point fixe, ou encore par rapport à un axe perpendiculaire au plan des deux directions et mené par le point fixe. Or, nous admettons que Q et Q' représentent, en partie du moins, des puissances de ro- 1alion(voy.n°U); enlantquecesquantitésdonnéesont trait à la translation, c'est dans le point fixe qu'on les envisagera, par suite de la transformation du système des puissances, nécessaire à rétablissement des conditions d'équilibre (n°13), et elles y demeureront sans effet. Il est donc permis de voir dans l'équation aQ = a'Q' une condition exclusivement relative à l'impossibilité delà rotation. Mais les directions de Q et de Q' sont de même sens, et par conséquent de sens contraires, eu égard à la rotation qui pourrait se produire dans le levier. Les puissances de rotation en sens contraires doivent être supposées égales puisque l'équilibre est donné; donc enfin les moments égaux qui correspondent à ces puissances égales peuvent servir à les mesurer, et cette mesure s'étend conventionnelle-

ment aux forces mêmes pour une partie de leurs effets,

L'équation aQ=û'Q'est d'ailleurs applicable au cas d'unlevier quelconque. Si malntenantnous remarquons que les dislances a el d sont proportionnelles aux déplacements indéfiniment petits Sq, 8q', que subiraient les points d'application des puissances Q et Q' dans les directions respectives de ces mêmes puissances, à la suite d'un déplacement arbitraire compatible avec la condition du levier, nous pouvons prendre pour condition d'équilibre cette nouvelle équation : QSq = Q'Sq'. C'est une extension du principe des moments virtuels, établi ci-dessus pour l'équilibre d'un point.

XV. Condition générale d'équilibre d'un système quelconque. — Sans recourir à d'autres principes,et seulementen substituant aux puissances quelconques de mouvement, dans un système donné, des poids qu'on applique à un levier et dont on détermine convenablement les déplacements virtuels par rapport au point fixe de ce dernier, on démontre l'entière généralité du principe des moments virtuels. La condition nécessaire et suffisante de l'équilibre d'an système quelconque est donc l'équation SQ8q = 0, qui exprime la réduction à zéro de la somme des mouvements donnes dans les divers points, multipliés par les déplacements indéfiniment petits que ces points subiraient dans les directions respectives de ces mêmes mouvements, à la suite d'un déplacement arbitraire introduit dans le Système. Il faut toutefois que le déplacement soit compatible avec la nature du système proposé, en sorte que les équations qui déterminent ce dernier doivent se joindre à la condition fondamen-

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taie. Celle-ci, en rapportant à trois axes coordonnés les mouvements situés dans les divers points, ainsi que les déplacements indéfiniment petits arbitraires qui leur correspondent, devient :

SXfe -h SYty + SZfc = 0.