UNITÉ, PLURALITÉ, TOTALITÉ

Rapports de grandeur et de quantité g memure. — Principe*

de l'arithmétique.

La catégorie de nombre est étroitement unie à celle de relation. Sans doute le nombre n'est qu'une espèce de rapport ; mais les rapports de toute espèce enveloppent des nombres , et la relation même , en général, a un élément numérique.

Les phénomènes viennent à la représentation comme plusieurs , puisqu'ils y viennent en tant que rapports. Or le plusieurs est toujours représenté corrélativement à l'un, et Y un corrélativement au plusieurs. Cette corrélation, abstraction faite de la nature des phénomènes considérés respectivement comme un ou comme plusieurs, donne le nombre en général, c'est-à-dire le tout d'unités. La synthèse de ces deux contraires, unité-, pluralité, est donc la totalité.

C'est le phénomène, toujours composé,, toujours relatif, qui se présente à volonté comme un, comme plusieurs et comme tout. On ne doit pas objecter ici que la composition du phénomène s'oppose à l'existence de véritables unités, en sorteque notre catégorie manquerait par la base. L'un est une abstraction , un produit de l'analyse , lequel n'est point représentable sans le plusieurs; et le plusieurs et Yun ne sont eux* mêmes représentables que dans le tout. Des phénomènes composés quelconques sont des unités dans un

phénomène plus enveloppant qui est leur tout ; et ces unités en tant que telles, c'est-à-dire abstraites, sont rigoureusement identiques ; et ce tout par rapport à ces unités est un nombre abstrait.

Passons du nombre en général au nombre déterminé. La détermination du tout numérique se fait selon la catégorie de relation par le moyea de deux opérations inverses , identification et distinction, qui deviennent ici addition d'unités , soustraction d'unités. Une et une unités jointes, séparées de toutes autres unités possibles, donnent le nombre deux; une et une et une unités, jointes et séparées de même, donnent le nombre trois, et ainsi de suite. La série des nombres est indéfinie , et si nous nous bornions à cette conception élémentaire , les nombres, en s'élevant, ne tarderaient pas à devenir irréprésentables par l'impossibilité où la mémoire et l'imagination se trouveraient de distinguer les uns des autres les groupes ainsi formés. Il n'y aurait donc pas d'arithmétique, au moins comme science.

Mais les nombres, c'est-à-dire les touts déterminés d'unités, sont considérés à leur tour comme ajoutés ou comme soustraits les uns par rapport aux autres : Une somme est identique avec les unités réunies qui la composent ; une somme à laquelle on ajoute , ou de laquelle on retranche une autre somme , est identique, cela fait, avec cette même somme à laquelle on ajoute, ou de laquelle on retranche une à une les unités qui réunies composent l'autre. Exemples : Un et un vaut (un et un) effectué ; un , un et un vaut (un et un) et un , où encore vaut un et (un et un), et ainsi de suite.

Le jugement exprimé de la sorte est analytique, attendu que les termes dont il pose l'identité sont les développements d'une seule et même représentation, en vertu de l'analyse du nombre (1) ; grâce à ce principe un système de numération devient possible , et l'arithmétique existe. On impose des noms à certains groupes d'unités, et il suffît dès lors de composer ces groupes entre eux pour composer les unités dont ils se composent eux-mêmes. Le nombre cent soixantesept , par exemple , auquel trois groupes et trois signes vocaux suffisent , représente tant d'unités prises une à une, de cela seul qu'il représente la somme de trois groupes définis antérieurement.

Tracer la loi conventionnelle de ces groupes d'unités, c'est créer un système de numération , et ce système obtient une perfection telle par l'emploi des signes écrits que le problème de la représentation numérique est résolu sans limites. Dans le système binaire, le plus simple de tous , chacun des groupes est la somme de deux des précédents à partir de l'unité simple ; on convient alors de placer les signes de ces groupes à la gauche des uns des autres, si bien que deux signes diversement combinés expriment tous les nombres possibles en vertu de cette loi de position : le signe 1 représente, suivant la place qu'il occupe, et l'unité simple et tous les groupes binaires, et le signe 0 marque la place des groupes absents. La série indéfinie 1 , 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,

(1) Voyez à U fiû du volume, appendice II, u° 1.

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1100, 1101, 1110, 1111, 10000, etc. , etc., symbolise ainsi la série des nombres. On sait d'ailleurs que l'analyse déduit de la numération toutes les fonctions numériques (1).

Pour épuiser cette catégorie, nous devons rattacher à la loi de nombre les rapports généraux de quantité, grandeur et mesure, qui en dépendent analytiquement.

Le nombre déterminé est un tout eu égard aux unités composantes. Les unités du nombre sont les parties du tout. Le rapport du tout à la partie , du contenant au contenu, est ainsi donné dans la catégorie de nombre ; et quoique ce rapport se présente encore ailleurs et se mêle à divers autres, nulle part on ne le rencontre qu'il n'implique une relation numérique. Les parties sont toujours, moyennant une certaine abstraction , des unités : il y a tant de parties dans un tout.

L'application du nombre aux objets des autres catégories, considérés comme des touts de parties, donne la quantité. La quantité est le tant et répond à la question combien. Il arrive de là que, d'un côté, la quantité est pur nombre ; de l'autre elle est concrète, comme on dit, et se définit par les autres catégories. Cela posé, lorsque Ton peut foire correspondre exactement la quantité numérique à la quantité concrète, on a la mesure de cette dernière. Il faut alors qu'on puisse déterminer comme unité une partie quelconque, et que la simple répétition de cette partie , identique,

(1) Voyez appendice H, n" 1 et 3, la loi de cette déduction.

invariable, reconstitue le tout concret proposé. La mesure est donc la quantité en tant que nombre de parties 'identiques. Le nombre est sa mesure à luimême, et il est la mesure de tout composé dont les éléments sont assimilables à un seul qui se répète.

Le rapport de tout et de partie , de contenant et de contenu , est constamment lié au rapport de grandeur, en sorte que Ton ne peut se représenter le loul que comme grand eu égard à la partie qui est dite petit ; et ces deux termes sont corrélatifs. Ainsi les quantités et les nombres sont des grandeurs parce qu'ils sont des touts, et il est clair que la grandeur se mesure tout autant que se mesurent les quantités dans lesquelles on l'envisage. On a coutume d'appliquer le mot grandeur, et à des touts mesurables, et à des touts non mesurables ou dont aucune partie ne peut jouer le rôle d'unité ; au contraire, on appelle exclusivement quantités les touts dont la mesure est regardée comme possible. Cette différence est importante : il suffît de la signaler comme une définition de mots.

On dit aussi communément, et l'on démontre, qu'un genre de grandeurs susceptibles de mesure est celui dont les éléments se laissent caractériser comme exactement et précisément égau&h d'autres éléments de même nature. En effet, la partie, prise pour unité d'un tout, doit pouvoir être identifiée avec d'autres parties du même tout : c'est la condition de composition et d'existence de la quantité ; et 1 égalité qu'on réclame exprime la possibilité de définir le rapport de grandeur par le rapport de nombre. Au contraire, quand une grandeur

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n'est pas mesurable 7 on peut bien lui reconnaître une intensité et des degrés(ex . : la volonté, les passions, etc. ) ; mais ces degrés , en tant que parties égales et unités de nombres concrets, n'offrent pas une signification claire. Là est une limite infranchissable des sciences mathématiques.

Le principe énoncé plus haut comme le fondement de la numération peut s'énoncer clairement au point de vue du rapport de tout et de partie dans le nombre : Le tout de plusieurs touts est identique avec le tout de leurs parties.

On voit que l'arithmétique est une science purement analytique, une fois posée la synthèse qui doune le nombre (Voyez l'appendice II).