POINT, ESPACE, ÉTENDUE

Analyse des trois dimensions. — Principes de la géométrie.

Rien en soi n'est donné à la connaissance. Cetle vérité a été reconnue tout spécialement en ce qui concerne l'espace et le temps (§§vin et ix). L'espace et le temps se présentent donc à nous comme rapporte, ou ensembles de rapports, qu'il s'agit d'analyser.

Ces rapports n'appartiennent pas exclusivement à la catégorie du nombre ou de la quantité abstraite : ils en subissent l'application comme quelque chose de primitivement étranger : le nombre est relatif à l'unité, mais toute quantité concrète, de l'ordre du temps et de l'espace, n'admet sitôt telle unité pour mesure

qu'elle n'en admette autant qu'on veut, différentes les unes des autres ; le nombre est discret, tandis que la quantité d'espace ou de temps nous offre un caractère propre , original, irréductible : la continuité.

Ces rapports ne sont pas non plus de simples cas particuliers de la qualité, attendu que, touchant une qualité quelconque, les questions, où et quand peuvent se poser. Ajoutons qu'ils s'appliquent aux phénomènes en général, indépendamment de tout devenir de ces mêmes phénomènes, et que le changement les a pour conditions, non pour conséquences. Il y a donc de certaines synthèses propres aux phénomènes en tant que soumis à des rapports de position dans l'espace et dans le temps.

Où etquand sont des synthèses vagues de la position; ils impliquent deux formes corrélatives : certaines limites des phénomènes, certains intervalles des phénomènes.

Si nous tentons de nous représenter la limite sans l'intervalle, quelque marche que nous suivions pour y parvenir, encore faudra-t-il distinguer cette limite, qui ne saurait subsister sans rapport à rien ; or la limite, déterminée de position, exige d'autres limites posées, et nous ramène inévitablement à un intervalle quelconque.

Si au contraire nous voulons nous représenter l'intervalle sans la limite, ou nous devrons pour cela reculer de plus en plus des limites antérieurement posées, ce qui n'a pas de fin, et nous n'atteindrons paa la représentation cherchée j ou nous ne poserons sous

les noms d'espace et de temps que des abstractions de l'intervalle illimité, qui n'auront plus rien du où ni du quand,ne seront pas directement accessibles, et en un mot, ne s'obtiendront , ne se définiront que par la négation de la limite même dont il fallait éviter l'emploi.

Ainsi la détermination de position, dans le sens le plus général, se fait par la synthèse de deux formes négatives Tune de l'autre, l'une et l'autre indispensables , et toujours indissolubles : la limite et Tintervalle.

Les positions d'espace et de temps, réunies ci-dessus, se distinguent radicalement en ce que le où> signe de la première, concerne les rapports d'extériorité, et le quand, signe de la seconde, les rapports de succèssivité. Ces deux ordres de rapports forment deux catégories différentes. Je réserverai dans la suite le nom de position aux premiers, en appliquant aux autres le nom de succession.

Commençons par l'analyse de la position.

La limite élémentaire de position, celle dont tout intervalle est nié par abstraction et par hypothèse, est le point. Entre deux points quelconques nous nous représentons un intervalle. Dans cet intervalle un point peut être fixé. Les points posés, pris deux à deux, comprennent entre eux de nouveaux intervalles quelconques : nous ne pouvons poser ni deux points qui se touchent sans se confondre , ni deux points qui ne se touchent pas et entre lesquels il ne soit possible d'en poser autant d'autres qu'il nous plaira. Telle est

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la loi de continuité. L'intervalle ne se compose pas de points en nombre donné, mais il admet la possibilité d'en établir arbitrairement cl indéfiniment.

Nous faisons abstraction de lout rapport de distance entre les points ainsi posés, de tout rapport de quantité entre les intervalles. Mais indépendamment de Tordre de contenance alors écarté, nous nous représentons ici une loi propre des positions respectives des points imaginés, lorsqu'il n'y a pas d'intervalle de deux points dans lequel nous ne supposions d'autres points, et qu'en même temps d'autres points possibles demeurent en dehors de cette série. Cette loi a le nom àe figure y ei dans le cas présent , où les limites sont des points pris deux à deux, la figure est Y étendue linéaire, la ligne.

La ligne en général est donc la synthèse de l'interposition des points possibles entre deux points quelconques, et procédant des uns aux autres suivant une certaine loi» C'est ainsi que le nombre est la synthèse de l'un et du multiple : Yun correspond au point, le multiple à Y intervalle, Y étendue au nombre ou au tout; mais Yun est partie du nombre et le point n'e^t pas partie de Yétendue, différence très grave d'où nous verrons naître les difficultés relatives à la mesure de deux étendues quelconques par la même unité. (Voyez § xxxii.)

Considérons maintenant deux étendues linéaires distinctes; nous pouvons les prendre elles-mêmes, une fois formées, pour des limites d'ordre nouveau entre lesquelles se place un autre genre d'intervalle, celui

que nous érigeons en continu par l'interposition d'un nombre indéfini de lignes entre les deux premières, suivant une certaine loi. Nous obtenons ainsi la surface, nouvelle sorte de figure qui sera complètement limitée lorsque les limites linéaires quelconques se joindront pour ne former qu'un périmètre.

La surface en général est la synthèse de l'interposition des lignes possibles entre deux étendues linéaires quelconques, et procédant des unes aux autres suivant une certaine loi.

Enfin deux étendues superficielles distinctes comprennent un nouvel intervalle, qui nous apparaît continu par la représentation d'un nombre indéfini de surfaces interposées entre les premières suivant une certaine loi. Nous parvenons ainsi à l'intervalle complet et définitif, au delà duquel il ne s'en trouve plus que d'au 1res semblables, qui reculent les limites du premier suivant une loi identique. Cet intervalle est le volume ou étendue en général, étendue complètement limitée quand les limites superficielles quelconques se joignent et ne forment qu'une périphérie. Les limites du volume se réduisentdeprocheen proche à des points, si l'on remonte aux définitions de la surface et de la ligne ; mais on ne saurait envisager ces points directe* ment sans les supposer indéfinis (Je nombre , et de plus liés par une loi : cette loi c'est la surface, à laquelle on se trouve ainsi ramené, et dont les limites propres exigent une autre loi qui est la ligne. Au reste, notre analyse aurait pu suivre cette marche et descendre de la synthèse la pl«6 générale aux synthèses partielles ; et

c'est ainsi que procèdent ordinairement les géomètres; mais alors la loi de continuité aurait été supposée et non développée.

Le volume en général est donc la synthèse de l'interposition des surfaces possibles entre deux étendues superficielles quelconques, ou mieux, comme dans ce cas l'intervalle se remplit et cesse d'être figuré, tracé suivant une loi, la synthèse de l'interposition des points possibles dans un ordre quelconque entre des points régis par la loi de surface.

Généralement nous poserons Yétendue comme la synthèse du point et de l'espace, si , d'une part, nous remarquons que les limites quelconques aboutissent au point; si, de l'autre, nous usons du droit de déterminer le sens des mots pour affecter le mot espace à la représentation de l'intervalle quelconque, abstraction faite de la limite, et le mot étendue à l'espace limité ou synthèse de l'intervalle et de la limite.

Les définitions précédentes renferment quelque vague, et la représentation des trois dimensions n'en ressort pas nette. Ce vice qu'il faut corriger maintenant était peut-être inévitable : il y a un effort d'abstraction à présenter l'analyse des rapports fondamentaux de position, ou figure, en écartant les rapports de grandeur, de quantité, de tout et de partie, qui s'y joignent constamment. La géométrie implique ces derniers aussi bien que les autres, et les principes de cette science ne peuvent être bien compris que dans l'ensemble. 11 nous reste donc à restituer à la génération

des rapports fondamentaux de l'étendue les éléments que nous en avons distraits.

Les intervalles linéaires graduellement déterminés par l'interposition de limites nouvelles entre des limites données, sont toujours des contenants et des contenus, des touts et des parties ; la ligne se compose de lignes, et sa continuité, sous ce point de vue, est une divisibilité indéfinie. On entrevoit donc la possibilité de mesurer la ligne, qui prend alors le nom de /ongueur, en la comparant comme multiple à quelqu'une de ses parties prise pour unité : la longueur est quantité et nombre. Mais il faut, pour obtenir celte mesure, établir une relation constante entre la ligne qui primitivement se définit par une loi de position ou défigures, et celte même ligne envisagée maintenant sous un rapport de quantité. Cette relation est tout d'abord donnée dans la proposition synthétique qui identifie le droit et le plus court, entre deux points, dans une ligne unique.

La ligne droite est ce\\e dont les points se suivent en se couvrant, ou encore dont les points ne laissent entre eux aucun intervalle superficieL Ces définitions équivalentes ont été proposées sous plusieurs formes ; elles ne deviennent fécondes pour la géométrie que lorsque la représentation du droit, qu'elles signalent, se joint à celle de [unique donné et du plus court ; d'où cette proposition, dont on a tort de faire une définition nominale : la droite est la ligne de moindre longueur entre deux quelconques de ses points; d'où encore l'axiome :

Deux points limitent toujours une droite et une seule.

Nous possédons avec la droite, et la notion de direction, qui seule figure clairement la première dimension de Tétendue? et la notion de distance, intimement liée à celle dedirection. Au moyen de la droite, etd'elle seule, se déterminent les éléments des autres lignes : ce qui d'un point à l'autre d'une ligne change suivant une loi, et modifie la figure, c'est la direction ; ce qui permet de définir la position d'un point avec exactitude, c'est la distance ; enfin la longueur ne peut que rarement se mesurer sans recourir à la droite (cas d'égale courbure), et, même alors, on se la représente rectifiée.

Passons à l'interposition des lignes possibles entre deux lignes données. La loi qui engendre alors une surface implique des rapports de quantité, non moins que défigure. L'étendue superficielle çst contenante et contenue, elle a des parties, et sa continuité par interposition de limites est aussi une divisibilité indéfinie. Or il se trouve ici, comme pour les* points interposés entre deux points, une loi élémentaire quiunit les deux sortes de rapports.

Le plan, la plus simple des surfaces, est celle dont les lignes se suivent en se couvrant, ou ne laissent entre elles aucun intervalle de volume. Il est vrai que l'on croit définir le plan une surface telle que deux quelconques de ses points étant joints par une droite, cette droite s'y trouve située tout entière. Mais l'existence d'une telle surface ne peut jamais s'établir que sur une représentation immédiate ; or la représentation du plan comme réglé et celle du plan dans lequel les li-

gnes quelconques se suivent et se couvrent sans intervalle de volume, sont une seule et même chose. Le plan consiste donc en une intuition du droit et de la direction, non plus par la ligne entre des points, mais par la surface entre des lignes. Cette propriété de position du plan se joint à une propriété de quantité par ce principe, analogue à la définition vulgaire de la droite : La surface plane est la surface de moindre étendue entre deux quelconques de ses lignes termi' nées aux mêmes points. Il s'agit donc ici d'un jugement synthétique, et c'est assez dire que la proposition n'est ni démontrée ni démontrable à On ne démontre pas mieux que trois points, non en ligne droite, ou deux droites qui se coupent, déterminent un plan ; c est-à-dire que par ces trois points ou par ces deux droites, on peut faire passer un plan, et Ton n'en peut faire passer qu'un ; car les démonstrations proposées ne sont au fond qu'un appel à l'intuition,

La loi du plan s'emploie à la détermination exacte des surfaces, comme la loi de la droite à la détermina-' tion exacte des lignes. C'est par le plan que se jugent la direction d'une surface et ses variations (plans tangents). C'est au plan, comme système de repères, que se rapportent le plus généralement les distances qui déterminent les positions des points d'une surface ou d'une ligne non plane ; et c'est en la supposant décomposée en éléments plans, même alors qu'elle n'est pas développable, que nous nous représentons la quantité d'une étendue superficielle.

Une première dimension de l'étendue nous a été

donnée distinctement dans la représentation de la droite ou direction simple ; le plan nous apporte le» deux autres. Deux droites qui, à partir d'un point commun, s'étendent en divergeant, c'est-à-dire suivant des directions différentes, marquent en effet deux dimensions dans un plan, longueur et largeur; et toute droite dirigée hors du plan des deux autres à partir du mêmepoin t marque la troisième, hauteur ou profondeur*

Pour acbever ce que nous avons à dire des principes propres de la géométrie, irréductibles et indémontrables, il nous reste à parler de la mesure dé la direction et de la notion de similitude.

L'angle est la figure formée par deux droites qui divergent à partir d'un point. Entre deux telles droites, etsur leur plan, on peut s'en représenter tant d'autres que l'on veut, toutes dirigées de la commune origine ; et chacune de celles-ci forme avec l'une quelconque des précédentes un nouvel angle. Or, d'une part, 1er angles qui ont un côté commun établissent des rapports de direction de diverses droites comparativement à une même droite donnée; de l'autre, ils se présentent respectivement comme contenants et contenus, de sorte qu'au rapport de direction (figure* po« sition), un rapport d'écartement plus ou moins grand [quantité) vient se joindre, et la mesure de la direction est possible. Il ne s'agit que de trouver la double unité de cette mesure, à savoir, une direction relative da deux droites, déterminée, unique, jointe à Une qutui* tité d'écartement déterminée et unique. Or la ptrpen* dicularité satisfait le mieux à cette condition, parce

que d'un point donné sur une droite on peut mener une autre droite tellement dirigée quelle forme avec la première des angles égaux de part et d'autre. Dès que cette proposition est admise, il est aisé de démontrer que la direction perpendiculaire est unique, tous les angles droits égaux, et la somme de deux angles adjacents constante. Mais on voit que la proposition fondamentale de la perpendicularité est un jugemnet synthétique, et je n'en ferais pjis même la remarque après ce qui précède, si ce n'était qu'on prétend la démontrer, et que les écoliers sont tenus d'en apporter la preuve, nécessairement plus obscure que k le sujet, si brève qu'on la fasse.

Passons de la divergence à l'égalité de direction : c'est le parallélisme. Deux droites sont ou ne sont pas parallèles selon que, coupées par une certaine transversale donnée, elles ont par rapport à celle-ci la même direction sur un même plan ou des directions différentes. Au rapport de position ainsi déterminé se joint un rapport de distance, car il faut poser que deux droites parallèles diffèrent de deux droites non parallèles, sur un plan, en ce que celles-ci suffisamment prolongées se rencontrent toujours, et les premières non. Or, la définition se généralisant au moyen du principe, on peut prouver que deux parallèles sont partout équidistantes, en sorte que toute la théorie revient à ceci : Uéquidistance et l'identité de direction appartiennent à un seul et même groupe de deux droites sur un plan. On est libre d'ailleurs de prendre la définition pour principe, et ré-

ciproquement ; on est libre de varier la forme du principe; mais la synthèse primitive et indémontrable de la position et de la quantité demeure toujours. Ainsi s'expliquent les longs et inutiles efforts que plusieurs géomètres ont faits pour démontrer la théorie des parallèles sans postulat. Ils n'apercevaient pas les postulats analogues renfermés dans la thèse de la perpendicularité,[dans les déû ni lions de la droite et du plan, et dans l'axiome qui fixe un rapport de quantité entre cette ligne et cette surface et toutes autres lignes ou surfaces qui partagent leurs limites. Enfin l'attention semble ne s'être jamais portée sur certain principe aussi nécessaire que mal énoncé, sans lequel on ne parviendrait point à faire, avec des lois de position d'un côté et des lois de quantité de l'autre, une seule et même géométrie : Deux étendues déterminées sont égales lorsque, placées l'une sur l'autre, elles coïncident. Je trouve dans cette proposition plus qu'une définition nominale, car ce sont choses distinctes, quoique si étroitement unies, que la coïncidence des éléments de figure, obtenue par superposition, et l'égalité des étendues que ces éléments limitent.

La notion de similitude enveloppe aussi deux lois très distinctes : une de quantité : l'égalité des rapports numériques des couples de droites qui joignent des points homologues dans les figures semblables ; une de position ou de figure : l'existence même de ces points homologues, l'ordre dans lequel ils s'enchatnent, et l'identité des directions relatives des éléments linéaires envisagés de part et d'autre. Aussi, les propositions

qui établissent la dépendance réciproque de ces lois (dans les triangles où les conditions de similitude sont très simplifiées) s'appuient sur les propriétés des parallèles j et celles-ci impliquent le postulat, dans lequel les relations de figure et de quantité sont déjà unies comme nous l'avons vu.

Il s'ensuit de nos définitions, ou plutôt de notre analyse première, que la ligne est limitée ou terminée par le point, la furface par la ligne, et le volume par la surface. Si de la génération synthétique de ces diverses .Fonctions de la limite et de l'intervalle, nous tentions de foire disparaître un des deux éléments indispensables ; la représentation d'une limite quelconque, nous serions seulement rejetés dans cette synthèse confuse où la limite s'éloigne, et se dissimule sans s'évanouir. Lors donc qu'une ligne ou une surface sont posées indéfinies, c'est plutôt indéfiniment prolongées qu'il convient de les nommer; et le prolongement n'est rien de plus que l'extension d'une loi définie au delà des premières limites qui ont servi à sa définition, et vers d'autres limites présentant les mêmes rapports que les précédentes. Gardons-nous de confondre cet indéfini, c'est-à-dire cette possibilité de prolonger chaque fonction selon sa loi propre, avec Yinfini que certains auteurs font intervenir et qui, non seulement n'est point une représentation, mais encore exclut toute représentation possible (1).

(i) Voyez à l'appendice m, a la fia du volpme, divers développements de détail sur le mode habituel d'explication des éléments de la géométrie.

Tels sont les principes de la géométrie , science qu'on pourrait appeler V analyse de l'étendue. Ces pria? cipes sont des jugements synthétiques à priori, parce que les représentations propres à la catégorie de position, à savoir les lois de figure, ne se déterminent exactement que par l'application des rapports de distance, lesquels en tant que mesurés appartiennent à la catégorie de la quantité ou du nombre. Ainsi la géométrie procède de synthèses données entre les éléments de deux catégories; mais elle n'en suit pas moins une marche analytique, en cela semblable aux autres sciences, qui toutes se proposent uniquement de développer le contenu de leurs données premières. Ajoutons que, indépendamment des jugements synthétiques que nous avons signalés et qu'on a coutume de désigner sous le nom d'axiomes, la géométrie a des axiomes d'une autre nature qu'elle emprunte à la ca« tégorie de quantité, et qui sont analytiques comme tout ce qui se rapporte exclusivement au nombre* L'arithmétique est pure analyse, une fois le nombre posé, parce que son objet est renfermé dans une catégorie unique, et qu'il lui est donné de pouvoir foire abstraction de toute représentation étrangère. >

L'analyse de la catégorie de position a été pour nous celle des principes de la géométrie, et c'est la marche la plus exacte que nous ayons pu suivre. Toute autre définition de cet ordre de rapports, avec une abstraction convenable , est d'ailleurs impossible ; mais on peut signaler los synthèses de l'étendue avec d'autres catégories, et se rapprocher par là de cette notion

complexe de l'espace habituellement présente à la pensée:

Avec la catégorie dénombre: Nous avons déjà vu l'étendue paraître comme quantité; cette circonstance, non plus que les rapports fondamentaux d'intervalle et de limite, ne sont suffisamment indiqués dans la définition vague de Leibniz : V espace est un ordre des coexistants.

. Avec la catégorie de qualité : La limite, l'intervalle et l'étendue sont constamment applicables aux représentés de l'intuition (imagination, sensation); et c'est en cela que Kant a pu définir l'espace une forme de la sensibilité. Ces représentés immédiats sont les attributs de certains sujets, et par conséquent des qualités. Mais j'ajouterai que les phénomènes de tout ordre, tant représentatifs que représentés, et quelque abstraits qu'on les suppose d'abord, se rapportent finalement, d'attribut en attribut, comme qualités, à des sujets (ensembles de phénomènes) donnés sous les lois de l'étendue. Il n'y a donc pas un phénomène à propos duquel, indirectement au moins, une question de lieu ne puisse être posée. Toute la différence à cet égard consiste en ce que les qualités de forme sensible sont aussi des quantités , et comportent par elles-mêmes la limite et l'intervalle, tandis que les qualités de forme intelligible, n5 'ayant point de parties, ne s'assujettissent à ces sortes de rapports qu'au moyen d'autres phénomènes auxquels elles sont jointes, et sans qu'il soit possible de les déterminer de position directement et précisément. Il n'en est pas moins vrai qu'elles sont

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toutes localisées de quelque manière, et la représentation est toujours impuissante à envisager un phénomène quel qu'il soit sans le placer quelque part.

Enfin , avec les catégories du temps et du devenir : Lorsque le sujet du changement est donné d'une manière expresse et directe sous des rapports de position, nous voyons paraître le mouvement dont l'analyse nous occupera d'une manière spéciale. C'est au point de vue de la synthèse du devenir et de l'étendue (sans égard à la catégorie de causalité), que Descartes a identifié Y espace à la matière; et, après lui, Spinoza l'a considéré comme l'un des deux attributs de la substance unique.