MESURE DE LA POSITION

gorie du nombre ) mais, quand une fois les principes sont posés , le travail de la déduction et de la recherche peut, à la rigueur, se réduire à l'analyse des relations numériques envisagées dans rétendue- Tel est le sens de la méthode qui a pris le nom de géométrie analytique ou application de l'algèbre à la géométrie. Trois axes divergeant d'un point, tracés arbitrairement d'ailleurs , pourvu que ce ne soit pas sur un même plan, correspondent aux trois dimensions* et servent de repères pour la détermination de tous les points possibles (1). Les coordonnées * estimées numériquement à l'aide d'une unité linéaire, font connaître les positions, et tout rapport de position se rat* tache ensuite aux rapports mutuels des divers groupes de nombres qui conviennent à divers points.

Deux difficultés considérables se présentent, l'une propre à l'application de la méthode algébrique, l'autre que toute géométrie doit résoudre.

La première tient à une différence essentielle entre la nature de la direction et celle du nombre. Toute direction à partir d'un point quelconque est susceptible de deux sens opposés , en sorte qu'on pourrait , 3t ce point de vue , compter d'une origine quelconque des coordonnées deux dimensions pour une, et, suivant chacune de ces dimensions qui ne diffèrent que par le sens , des grandeurs linéaires indéfiniment croit' santés ; au contraire, le nombre se compte à partir de

(1) lé fie mentionne ici que le système le plu* Usuel, mate ce çuê ]%tà à en dire rtfttftytidrift égôHtoent t tout attire.

MB8UHE DU CONTINU. 443

l'tinité abstraite , au-dessous de laquelle il n'y a rien , et ne possède que le sens additif. Il en est de même de la quantité, bien que concrète ou appliquée à l'étendue; car si la divisibilité de l'unité arbitraire donne lieu alors à une espèce de sens régressif pour la numération du quantum, il n'est pas moins vrai que cette numération nouvelle se fait à l'aide d'un changement graduel et continuel de l'unité désignée, et non parla sommation indéfinie de la même unité dans un sens nouveau , ce qui est toute autre chose. De là proviennent les valeurs dites négatives que présente le calcul appliqué aux questions géométriques. La difficulté ainsi proposée , et débarrassée des nuages dont l'entourait l'ancienne métaphysique, se laisse résoudre par la considération d'un terme de comparaison autre que l'unité pour les nombres ou quantités engagés dans le calcul. Les nombres négatifs, indispensables dans la géométrie analytique, ne sont intelligibles que comme symboles conventionnels de certaines relations dont la signification apparatt moyennant l'intervention du nombre sous- en tendu dont on doit les soustraire : et géométriquement ceci s'entend d'un choix convenable du système des axes. Mais je n'insisterai pas davantage ici (1).

La seconde difficulté provient aussi d'une différence entre le nombre ou la quantité catégorique, d'une part, et les grandeurs envisagées dans l'étendue et la durée,

(1) Voyez, pour les développements que cette théorie exige, l'appendice IV à la fin du volume.

de l'autre. Ces dernières sont continues , c'est-à-dire que l'une quelconque d'entre elles se divise en autant d'autres grandeurs que l'on veut par l'interposition de limites nouvelles entre ses limites. Mais le nombre et la quantité concrète quelconque (dès que celle-ci est évaluée numériquement; et que le choix d'une unité a été fait) sont des grandeurs discrètes. Toute la question est de savoir comment il est possible de réduire aux lois du nombre les lois du continu , de représenter celles-ci par celles-là, et de n'en faire qu'une seule étude.

Le problème , à son moindre degré , pour ainsi parler , est résolu par l'usage des fractions qui forment un premier trait d'union du nombre et du continu. La fraction, en effet, tient du nombre par ses deux termes, qui sont des nombres , et du continu par sa signification, relative à une unité indéfiniment divisible ; elle diffère du nombre en ce que l'unité abstraite, dont la répétition forme celui-ci, ne saurait sans contradiction être supposée divisée, et du continu, parce qu'elle ne l'exprime jamais tout entier. La fraction est un signe adapté à la représentation d'une ou de plusieurs parties d'un continu divisé en un nombre quelconque de parties égales. L'unité qui symbolise ce continu lui-même est donc un véritable nombre concret, et, de plus , un nombre quelconque (1).

Je dis que les fractions ne s'étendent pas à I'expres-

(1) Voyez à l'appendice Y, lre partie, comment les règles du calcul des fractions se déduisent de ce principe.

sion du continu tout entier, et c'est ici que paraît le second degré du problème. Les grandeurs incommensurables; dont l'existence se révèle au mathématicien dès les premiers pas qu'il fait dans sa science, ne permettent de représenter leurs rapports ni par des nombres^ ni par des fractions; ni même en conséquence par des quantités abstraites; suivant la définition rigoureuse du quantum à laquelle on a souvent le tort de ne pas s'attacher. Que faut-il voir sous ces rapports prétendus? Des relations proposées entre grandeurs données, relations d'une espèce particulière qui présentent ce double caractère : 1° de ne pouvoir être définies sans erreur par une quantité abstraite désignée; quelle qu'elle soit ; 2° de pouvoir être remplacées par une série de quantités abstraites désignées; telles que Terreur indéterminée résultant de leur adoption soit moindre que telles autres quantités; quelque petites qu'on veuille se les proposer.

Ce n'est point procéder exactement que d'admettre ici l'existence de certains rapports implicites dont l'expression peut s'obtenir à tel degré d'approximation qu'on le désire; puisqu'on se contredit en supposant ainsi une mesure commune de ce qui n'a point de commune mesure; et un rapport numérique entre grandeurs définies; précisément; comme n'ayant pas de rapportau sens rigoureusement arithmétique de ce mot. Les grandeurs incommensurables, en effet, sont bien des grandeurs dont le rapport ne saurait être assigné; et cela non pas défait seulement, mais en théoriee tdémonstrativement, sur les principes les plus clairs et les plus arrêtés de la

science. On ne fait donc qu'obéir aux traditions d'une sorte de réalisme mystique» au fond contradictoire, lorsque Ton étend outre mesure, et sans se bien comprendre soi-même , le sens de ces mots nombre^ quantité, rapport, pour admettre l'existence de nombres incommensurables, de quantités incommensurables, de rapports incommensurables. Un rapport incommensurable , suivant ce langage, est un rapport entre deux termes qui n'en ont point, ou je ne sais ce que c'est. Il ne s'ensuit pas de là que les rapports entre des grandeurs géométriques quelconques ne puissent être introduits dans le calcul, et qu'il faille ainsi renoncer à la généralité de l'algèbre , dans les applications. Il suffit de considérer toute quantité dont le rapport à quelque autre est exprimé, et que l'on supposerait n'être pas commensurable avec elle, comme augmentée ou diminuée d'une quantité indéterminée convenable, dont la valeur discrétionnaire soit plus petite que toute valeur assignée de fait, quelque petite que soit celle-ci. Si ces quantités accessoires étaient réellement introduites, il est clair que l'erreur amenée par leur emploi dans les données de l'analyse serait moindre qu'une quantité assignée quelconque et par conséquent assignable de fait : ceci en vertu d'une définition à laquelle on ne peut s'opposer en théorie. D'autre part, on prouverait que les résultats de cette même analyse ne diffèrent . que d'une quantité du même genre, c'est-à-dire inassignable de fait, de ceux qu'on aurait obtenus en soumettant au calcul les quantités proposées comme si elles étaient toutes comtoen-

surables. Il s'ensuit de là qu'on peut opérer sans inconvénient sur les données d'un problème , et n'avoir nul égard à la correction voulue quant aux rapports entre grandeurs incommensurables qui y figurent, pourvu qu'on interprète exactement les solutions, en évitant d'y attacher une signification inacceptable en toute rigueur. Voilà pour les théories ; quant à l'application et aux déterminations numériques, à quelque point de vue qu'on veuille se placer, les approximations seules sont possibles : la pratique réduit à néant les prétentions de ceux qui pensent obtenir, par la vertu des signes, la mesure de ce qui, par hypothèse, n'est pas mesurable (1).

Mais la géométrie se propose un objet plus hardi et plus difficile que celui d'appliquer l'analyse aux grandeurs incommensurables. Il faut serrer de plus près l'expression du continu par le nombre, quand on veut soumettre à ce dernier les rapports quelconques de l'étendue ; car la loi d'un contour figuré, superficiel ou linéaire, que je suppose envisagée dans la relation d'une fonction avec des variables indépendantes, ne se laisse en général pénétrer et approfondir qu'autant que les variations ont lieu par les moindres intervalles possibles. Gomment opérer sur de pareils intervalles, et d'abord comment les concevoir ? voilà le problème.

La synthèse qui nous donne la représentation de létendue exige l'interposition possible des limites ou points* en nombre indéfini, entre des limites ou points

(4) Von» U3* parte de rawwlice v.

donnés. La somme de ces points ne peut nous soumettre un continu effectivement divisé en tous ses composants, puisqu'il y a contradiction à poser une telle dé* composition comme terminée, une telle somme comme effectuée ; et d'ailleurs des limites ajoutées, quelquç soit leur nombre, ne produisent point un intervalle ; d'autre part, un intervalle effectif pris pour unité de mesure; dès qu'il est déterminé, embrasse , si petit soit-il, un nombre indéfini de. nouveaux intervalles plus petits, et par conséquent se trouve impropre à représenter la composition du continu, alors même qu'il n'existerait point de grandeurs incommensurables. Or, entre ces deux procédés imaginaires, la mesure par le point, la mesure par un intervalle dernier, il n'y a place pour aucun autre ; donc le problème, en vertu de sa nature même, exclut toute solution directe. Il y a contradiction, non solution, à se représenter la quantité composée d'éléments sans quantité (les points, les indivisibles , etc.), ou de parties qui ne sont précisément ni rien ni quelque chose (les évanouissants), ou par la répétition d'une infinité d'infiniment petits. Toute répétition actuelle et tout nombre effectif sont finis ; toute quantité déterminée est finie; il n'est donc permis d'accepter de fait, ni un nombre infini ou plus grand que tout nombre assignable , ni une quantité infiniment petite ou moindre que toute quantité assignable , parce que toujours il est possible d'assigner un nombre qui en surpasse un autre et une quantité qui soit contenue dans une autre. Mais si tout ce vocabulaire de Y infini se rapporte à des conventions, à

des fictions, à des symboles erronés en eux-mêmes et portant leur correction avec eux , . on doit s'en expliquer nettement; etbannir de la géométrie les chimères.

Jusqu'ici je n'ai pas traité expressément de l'infini; mais les considérations précédentes n'ont pas, au fond, d'autre objet. Je n'ai pas dû faire une catégorie de l'infini appliqué à la quantité, puisque je démontre que ce terme n'est point recevable sans contradiction, en tant que loi de représentations actuelles. Or, en tant que loi de représentations possibles , Y infini n'est autre chose que indéfini, et la différence de ces deux mots est grande. L'indéfini appartient à la même catégorie que la puissance ou possibilité. L'indéfini mathématique est la série des nombres possibles; comme possibles , et cette série correspond à celle des parties d'un continu que Ton divise. La loi consiste en ce que la représentation de quantités assignables plus grandes et plus petites accompagne la représentation de quantités quelconques actuelles et données. Puisque l'assignable est indéfini , il ne forme donc et ne formera jamais un tout. Il y a contradiction à ce que tout l'assignable soit posé, tout assigné impliquant d'autres assignables. Ainsi l'indéfini ne mène pas à l'infini; mais le supprime.

Je reviens à la géométrie. Le problème que nous avons vu ne point comporter de solution directe se laisse tourner. Une méthode générale et rigoureuse résulte de l'emploi de l'indéfini convenablement symbolisé. Procédons par degrés.

Une fonction donnée et déterminée (comme quantité) est dite la limite d'une fonction qui varie suivant une loi , lorsque la variable s'approche indéfiniment de la constante , sans jamais l'atteindre , mais de manière à pouvoir en différer de moins que d'une quantité assignée, quelque petite que soit celle-ci. Par exemple, les produits de deux facteurs tels que

a . - a, a . - a, ,MI a . — — a,

et ainsi de suite indéfiniment, ont pour limite le produit a% attendu que la différence

peut être rendue moindre que ^ , quelque petite que

soit cette fraction donnée, en disposant de n. C'est encore ainsi que les sommes

fa , a \ fa , a , a\ fa , a . a , , a\

ont la quantité a pour limite.

Dans les cas de ce genre, toute propriété de la fonction variable, si cette propriété est indépendante de n, doit être considérée comme une propriété de la fonction limite : car elle appartient à une fonction , indéterminée en partie, dont on suppose les valeurs aussi peu différentes que Ton veut de la valeur de la limite ; d'où il suit que celle-ci étant prise pour celle-là, Terreur dont on voudrait regarder la substitution comme entachée sera démontrée plus petite qu'une quantité assignée quel-

MMQRB DU COKTUTC. 151

conque, et par conséquent inassignable absolument , et par conséquent nulle.

Nous venons de supposer des fonctions abstraites , numériques. D'ailleurs il s'agissait d'une variable et d'une limite également données, et de propriétés dont le sens devait être clair, soit qu'on les rapportât à l'une ou à l'autre. Considérons maintenant des fonctions concrètes. Tel sera le cas de l'un des exemples cidessus , les produits variables étant des rectangles et le produit limite un carré. Les propriétés arithmétiques et géométriques se suivront corrélativement dans tous les états de la variable , et le passage de celle-ci à sa limite ne présentera aucune difficulté, car le rectangle existe encore dans le carré : la nature de la fonction ne change point. Mais il n'en est pas toujours ainsi.

Le cercle est regardé comme la limite des polygones réguliers inscrits ou circonscrits d'un nombre de côtés indéfiniment croissant. Ici , il faut entendre par ces polygones une série de figures qui tendent à coïncider avec la figure circulaire : et en effet on prouvera que toute quantité assignée" pour marquer une différence de position de l'une avec les autres sur le plan (la flèche, par exemple) peut descendre au-dessous d'une valeur quelconque. Mais la variable et sa limite sont des fonctions essentiellement différentes : notamment, la mesure du périmètre ou de la surface de l'un quelconque des polygones au moyen de l'unité linéaire est une idée clairement définie , et il n'en est plus de même quand il s'agit de la circonférence et du cercle.

On ne laisse pas d'étendre ou de transporter à la limite les propriétés de la variable, et de conclure de la mesure de celle-ci à la mesure de celle-là. Mais, pour la rigueur, il faut se borner à poser la mesure d'une quantité définie par une figure indéfiniment approchée de la proposée, mesure dont V expression générale, dès quelle peut être obtenue indépendamment de la grandeur des éléments variables de la fonction, 'équivaut de fait à la mesure d'ailleurs impossible de la limite.

C'est squs une semblable signification qu'il est permis d'appliquer aux figures rectilignes dont les dimensions ne sont pas commensurables entre elles, les théorèmes concernant la mesure, établis dans l'hypothèse de la commensurabilité. Autrement la méthode des limites encourrait une objection insurmontable, tirée de ce qu'on y supposerait l'existence d'une mesure de ce qui n'en saurait avoir d'intelligible, à parler rigoureusement. Sans forcer la méthode à donner ce qu'elle ne contient point , on n'en traite pas moins les questions avec une entière généralité et une certitude parfaite ; et, l'approximation demeurant indéfinie tant qu'on ne passe pas aux applications numériques , on résout des problèmes qui semblaient d'abord défier l'analyse (1).

Les cas où la variable et la limite sont ainsi données, arithmétiquement ou géométriquement , sont les plus rares. D'autres fois, la solution d'un problème exige la

(1) Voyez la 3e partie de l'appendice V. . ,

détermination de la limite d'une fonction donnée , et cette fonction est un rapport dont les deux termes décroissent indéfiniment. La limite elle-même sera une fonction de variables , si la question est posée d'une manière générale : exemple, le problème des tangentes aux points quelconques d'une courbe donnée par son équation. Le plus souvent, il s'agit de déterminer une fonction dont on ne connaît autre chose que la limitedes rapports des accroissements qu'elle subit aux accroissements de ses variables indépendantes lorsque ceux-ci deviennent indéfiniment petits : exemple, le problème des aires de courbe. Ici nous arrivons à généraliser la méthode de l'indéfini.

Deux quantités , fonctions l'une de l'autre, peuvent diminuer indéfiniment, tandis que leur rapport conserve des valeurs déterminées quelconques , si prolongée que soit la variation des termes décroissants. Soit f(x) une fonction donnée , h un accroissement indéterminé de x. On vérifiera aisément, pour la fonction puissance, par exemple, la relation

dans laquelle 9 (x) est indépendant de h , tandis que ty(x> h) a elle-même une limite lorsque h diminue indéfiniment. Il s'ensuit de là que le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de sa variable , deux quantités indéfiniment petites, a pour limite une fonction de x, et par conséquent une valeur finie et déterminée, en général. D'ailleurs on peut se repré-

senter cette lai par des considérations géométriques directes. Si Ton parvient à rétablir pour toutes les foliotions élémentaires , et c'est ce que Ton fera d'une manière ou d'une autre , eji les parcourant , on ne devra pas en conclure qu'il est permis de spéculer sur des rapports de variables devenues nulles , car cela n'a pas de sens , et la décroissance indéfinie de la quantité s'oppose précisément à ce que le zéro soit jamais atteint ; mais on en conclura :

Que la fonction dérivée d'une autre fonction , et exprimant la limite ci-dessus définie, s'obtient par l'annulation de certains termes dont la diminution est indéfinie comme celle des accroissements de la variable ; d'où il suit que des indéterminées, introduites dans le calcul pour exprimer certaines relations, peuvent ensuite en être éliminées par cette condition posée que leurs valeurs descendent au-dessous de quantités assignées quelconques ; et la forme symbolique de cette méthode est celle-ci : Introduire concurremment dans le calcul des quantités déterminées, soit constantes soit variables, et des indéterminées indéfiniment petites ; considérer les rapports entre ces dernières comme des valeurs en général finies ; les considérer elles-mêmes comme nulles dans tous les termes qui se réduiraient à zéro en même temps qu'elles, si d'ailleurs ces termes sont en nombre déterminé (1) et si l'équation en renferme de finis ; enfin, traiter par les règles ordinaires de l'algèbre les équations

(1) Dans le cas où ce nombre est indéfini, c'est de la limite de la somme, s'il y en a une, qu'il faut s'enquérir.

mesurk du coirrimj. 155

posées entre termes tous indéfiniment petits (car alors le calcul porte sur leurs rapports et aucun d'eux ne doit être négligé).

Je suppose ici un seul ordre de décivissance. Mais il arrive que certains rapports ont zéro pour limite, tandis que d autres tendent vers des quantités détermi* nées et finies au-dessous desquelles ils ne peuvent descendre. Ainsi a peut décroître indéfiniment par rapport à b etc, et de même, en môme temps, b etc

par rapport à d, le rapport- demeurant quelconque.

Si donc une équation contient des termes tels que a x b, c, dy tout à la fois on devra négliger a, b et c d'après ce qui précède ; et si une équation contient des termes tels que a , b et c seulement , on négligera a par la même raison. Dès qu'on a reconnu la possibilité d'introduire dans le calcul des quantités indéfiniment décroissantes (relativement à telles quantités assignées) on est amené à y admettre au même titre les quantités qui décroissent indéfiniment par rapport aux premières; et, par exemple, les puissances entières successives d'une quantité indéfiniment moindre qu'une autre sont indéfiniment moindres les unes que les autres : rien n'est plus clair ni plus élémentaire. De là des indéfiniment petits d'ordres successifs qui découlent les uns des autres par la même loi , et dont la conception n'a rien d'étrange ou de mystérieux. 11 suffit de se faire une juste idée de la continuité et 4e ne pas oublier que l'analyse mathématique roule sur les rapports des quantités , la quantité ne pouvant pas

d'ailleurs être définie autrement que par des rapports.. Sur ces principes , sans hypothèse ni connaissances occultes, on résout le problème direct. du calcul à l'indéfini : Déterminer la fonction limite du rapport de la différence indéfiniment petite d'une fonction donnée à la différence indéfiniment petite d'une variable indépendante. La solution, sans être absolument générale, est du moins' obtenue pour les fonctions connues et usitées, et pour toutes celles qui en sont composées, soit explicites, soit implicites. Il n'en est pas de même du problème inverse : Étant donnée la fonction limite, ou dérivée , déterminer la fonction primitive. Ici les ressources de l'analyse jusqu'à ce jour se sont épuisées à transformer les expressions proposées, dans des cas plus ou moins particuliers, de manière que leur provenance pût être reconnue immédiatement et par le fait.

Indépendamment de la relation analytique établie entre deux fonctions dont Tune dérive de l'autre, il faut signaler et expliquer une loi très simple qui domine cet ordre de conceptions. Toute quantité est la somme de ses parties ou différences. Une variable quelconque se forme de la somme de ses accroissements effectifs entre deux limites quelconques. Cette loi ne dépend pas de la grandeur des différences que l'on considère, et l'application en est indéfiniment prolongée aussi bien que la division de la quantité homogène et continue. Une variable de ce genre est donc composée de la somme d'un nombre indéfini de fois l'une de ses parties aliquotes indéfiniment petite et constante ; «t

toute fonction continue de cette variable arbitraire est composée de la somme indéfinie des différences indéfiniment petites et diverses de ses valeurs consécutives correspondantes aux valeurs de la variable, entre les mêmes limites. Lorsque les accroissements ne sont plus supposés effectifs, et quela condition d'une diminution indéfinie de ces éléments est exprimée conformément à la méthode dont nous avons fixé l'esprit, les différences et les sommes prennent les noms dé différentielles et d'intégrales. La différentielle est l' indéfiniment petit, isolément nul comme on Ta vu. L'intégrale est la limite de la somme dont les parties augmentent de nombre et diminuent de grandeur indéfiniment. La signification de ces mots demeure toujours , car ils sont exacts pour une approximation demandée quelconque, indéfinie, la nature d'une quantité continue consistant précisément dans la représentation de la somme indéfinie de ses parties possibles.

Tel est le vrai sens de la méthode au moyen de laquelle on exprime le continu par le discontinu et les lois de l'étendue par celles du nombre (1).