CaMPJUfauBIIT
Fig. a5. ché et du p^ai>, vertical, 4>n a prolongé E'F' jusqu'en H^ et Ton a dél^^rwoé le point G" , conformément au n^ 3 1 ^ en menant M' G parallèle à E'F, GG" perpendiculaire à AB et égale à il/M".
37. Oii peut construire le même problème, en imaginant que, par Tun des points donnés et chacun des deux autres, oè ait tnéné déût' plans verticaux , et qu*on les ait ensuite rabattue éur'le'^Tau horizontal, en les faisant tourner autouv de& lignes qui joignent les projection^ horizontales des points par lesquels ils passent ( 1 7).
Fig. aô. On prolot^gera les lignes MN etMP jusqu'à ce qu'elles rencontrent leurs projections sur le plan horizontal, ce qui donnera les points E' et F' de la commune section du plan cherché avec celui -cil
On Toit , par ce qui a été dît n® 27 , qu'en menant G'M' perpendiculaire sur F'E', et construisant le triangle rectangle G'M'M*, dans lequel M^M' est égale à M^M, l'angle M'GTtf' mesurera l'inclinaison du plan cherché, sur le phm horiitontaL
38. Corollaire, Il n'est pas moins clair que F'M et E'M sonlj.les distances da point M de l'espace à chacun des points J^. et. E', oà ces droites rencontrent Iç platt horizontal :,on, cionnait donc les trois côtés du triangle formé parole poiot M et ces derniers, et on le oonstrioirao en le, siipposant «rabattu sur Je plan horizontal, après avoir tourné autour de F'E';..il est représenté dans la , ligure , en F'mE'.
On aura donc aussi l'angle F'mE', formé par les^ deux lignes E'M et F'M, lorsq^'elles se trouvent dans
leur situaf jof^ icéell^ . ^
Il est à prqpps de remarquer qu'en pliant le plan de < la figure, suivant l^s lignes E'W, FM' et E'F', les triangles E'W M,. rM'M et Ç'jjaE' «8 réuniront tous par un
Dzs £l£m£K8 db ^réoMÉTRiB. 29
de leurs angles, au point M ; ils formeront alors un té- Fig. 516. traèdre dont cette figure office le déte}of>)>Mïent.
PROBLÈME.' ,
39. Deux plans étant donnés^ troupêr i^angiê qu*ils font entre eux.
On sait que l'angle de deux plans jse mesure par celui de deux perpendiculaires n^enées dans chacun de ces plans y à un même point de leur commune section.
11 ne s'agit donc que de cqnstruire ces lignes \ or elles déterminent un plan perpenidiculaire à l'intersection des plans proposés : il suit de là qu'après avoir trouvé les projections de cette intersection » comme on l'a vu n® 1 3 , il faudra , par un point pris arbitrairement sur cette ligne , lui mener un plaQ perpendiculaire dont on construira les communes sections avec chacun des plans proposés. Ces deux dernières droites se coupant au point par lequel on a mené le plan peirp^iadicnlaire , il sera facile d'en trouver l'angle, par ce qui a été dit au n° précédent, et cet angle mesurera l'inclinaison des plans donnés.
Tel est le procédé générât -qu'on '"peut suivre pour résorodre là question proposée; il ne dèpeiid que des problèmes déjà résolus : cepénfdaut oti peut diminuer le nombi« des lignes qui entrent daiis la construction , en choisissant convenablement le point par lequel on mènera le plan pcrpcndiculaii'e.
Voici le détail d'une construction qui m'a été communiquée par Monge , et qui est une des plus simples qu'on puisse trouver pour^cé cas.
Supposons que les deux plans donnes soient H'J?F*, Fig. ^7. H'GF^, et que la projection de' leui^ commune section sur le plan horizontal soit là iigne JVF-^ je construis dans le plan vertical passant par cetjfè droite, l'inter-
3o 'COMPLÉMENT '
Fig. 117. section des deux plans dbtiiiés , en élevant FF pcrpendiculairemeart sur Fli' et\^le à FF* ; ensaîte pai* un point Mfy pris k Tolonté sur FIEL' , j'élète un plan perpendiculaire à la ligne FH^ (35) : je trouVe ainsi la droite PM' qui est la coiÉimime'aection de oe plan 4t du plan Tertical FFBf. Mais si l'on fait tourner lepi^tasier lUitour de sacMumans aectmi VW areo I0 jHêM kÀrîao^tal, la ligne fM'.'élaot «perpendicakitre sur MfS^, Tiendra toniier iiéeeasairtteént sur H'M' (9)v et le point P ^ trouvera en P' ; le triangle formé par hê trois poînts Uf P, ^\ ne idian^a dans aucune de ses dfmensions, par ce mbav^mént : il sera donc exalsteoiédt représenté par LT'N'^ et Vatngle en F sera celui des dçur plans donnés. •■''''■
PROBLÈME
4ow Unuplém étafié donné j ainsi qu^une'Ugné droite située- dimé Cf pian ^ mmterpar cette droite im second plan fui:Jaeee' 4wee le premier un angle donnée >
On eonstftiira «pi.plàa perpendiculaire à la lignedon* née y et passant par un point pris à Tolonté sur eette ligne ; on en oh«rcfaera l'intersection àTecle plan dMné^ et il faudra -mener dans>le'plan perpendiculaire mie droite qui fasse > a^teo^cAte intersection^ l'angle donné.
U est facile de rettarneci la solution du problème précédent y pour f^pj^t^er à eelui qui nous occupe maintenant. < '
En efiet, les^ données sont alors ^ i*. le plan "BfJEF", 2®. le plan Tertical WBfF- qiii sef trouve ral)attu sur le plan horiaontal. On censtiniira* UN' et le point P', comme" dan» Ici problkiae précédent, et l'on fera sur W l'angle L'P'N' égal 4 l'angle donné ; par le p^iht' N' ainsi déterminé^ m mènera H^G, ensuite on ttrera G¥" , et l'on aura le plan cherché H'GF".
DES ÉLiMENS DB OlfcoMETRIE. 3l
PROBLÈME
4i» Connaissant l^ angle que deux lignes Jbnt entre eUes^ ft Celui que chacune fait apec uns veriiçah menée par leur pojLn^ de renaontfè > trouifer. la pntfeetion du premier angU sur le pian horitantoL
Oa peut omùdérer U poûaidef reiùxiottfe. des dxcntes ■ proposées atec la ¥ertimhf comme k sommet d'une pyramide triangulaire dans laqfuelle bn'.connait lès trois angles que sèa lorëtesfontdevx à. deux ;• cette pyramide a d'ailleurs pour base un plan perpendicidaire àVune de ses arêtes y puisqu'die repose sur le plan horizontal: avec ces données , on peut la dérclopper. . .
En effet, si l'on copçoit que la face DAG' tourne au* Fig. stS. tour de ÂD , pour yenir s'appliquer dans le prolonge* ment dé la face DAJS, il çst aisé de voir que dans ce mouvement le point G'^ né sortira pas du plan horizontal, puisque AD est une verticale, et que par conséquent AG' lui est perpendiculaire : DG sera donc de la même grandeur que DG' ; et dans le triangle rectangle DA6 on connaîtra Fangle ADG, qui est celui que Furie des lignes proposées fait avec la verticale AD, et dont la mesure est donnée. Ohdéterminera par con« séquent les deux côtés AG et DGr; et l'on opérera de même sur le triangle DAJEJ. Ensuite, lorsque A G et DG, ÈlM et DJE seront connu9,<m construira le triangle DEG", dans lequel l'angle i^DG' est égal à celui que les droites proposées font entre elles, et le côté DG' est la même chose que DG. Ayant obtenu la Candeur de ^G*, on voit qu'en faisant tourner le triangle i^DG" autour de DJ&, et le triangle ADG autour de AD, les .points G et G'' doivent se réunir k l'angle G' de la pyramide : on aura donc la base de cette pyramide en décrivant le triangle AG'£ sur les trois cAtés AjE*, AG,etJE:G\
Fig. 98. L'angle £A/Cf' sera ia'pi:i)ection demandée de l'angle
Si l'iiA' des an|Jlee-eoin|MrÎ9 entre la yerticale et les Fig.a8^ lignei pityposées^'éfaît «droit, ADG, par eiemple, la ligne DG- ne reDaontranfcf plus AG^ la construction ei^ degana né« peamîftii^effisotver ^ mais il est aiié-de voir qn'oa j • anpplidQraitr.' ta prenant DG a volonté , abaissant GG' perpendienhirement snr AG' ; car on obtîên* drait E6', en<oDntnifsan€ le triangle GG'£, rectangM en G^ dani leifnal .GG'- est donné, et G£ résulte da triangle EDG ) éAm^ se forme comme le triangle EDG'' de laiJigiÉmTeIati?e au premier cas (*).
'••"''' PROBLÈME
42. Deux lignes droites étant données sur un plan^ par leur point de rencontre^ en mener une troisième qu^ fasse j apec clifia^ne d^ elles ^ un angle donné. Fig. 39. Les trois lignes ^ue nous considérons forment un «^
tr jëdre , lorsqp'on If^s lie p^r. les plans qui les contiennent deux & âeu^ ^. et çp neqt )ë développer en faisant tour-; ner deux de se^^faôes msqu'à ce qu'elles tombent sur IcjS prolongement de ta troisiëme.
Soî|Bnt F^'^ E'AH', H'Af les trois angles donnés ; si Ton prpi)4 f^V Jes. côtés AF et Af, des points F et Jf également iloign^. du son^^^t A > il est aisé de voir que ces deux pointa doivent se confondre, lorsque les plans sont réunis dans leur position naturelle ; mais il n'est paa moins évident (8} q«ie W^ perpendiculaires FF et £/*, abaissépa sur les droites A'E'^t' AIT, autour desquelles se fait Je'dén^^Oppementy'd'éeriront des plans perpen»* dicnlaireskHcefriigiies, et qM ces derniers rencontreront ,
{*) Ce problème a son application en Trigonométrie , pour réduire an plan horizontal ,.Ies angles observés siir des plans inclinés; il peut aossi te lé ton dwfc fêt It ^Fiiffoniiniétrie ^phérique. {Tri^, n^ 6a.)
DB8 élÂMMKê BB flAjlriTHIB. 33
lepUuBlioriionUlfiiivKntEPeirFtlefP«iiitP«|if>ar^ 99. tiendra par conséquent à la oommona section des plans que Boas oonsidérona, et qui sera la^perllcak élerée par ce point. Cest sur cette ligne q«e doivent ae trou- Ter réunis les points F et f : la droite AF' est done la protection horiaontale de têtèt» supénear«. de l'angle trièdre^kiraque cette arite est dans «a^poëtion natu* relie» Le point A étant celui eà elle *enoontre le plan boriaontal , il snffit, pour la déterminer entièrement, d^ parvenir à connaître la hauteur d'un autre de aes points*, maia nous observerons qi%lM points F et f qui lui ap« partiennent , décrivent ohaouMua cerole dans le développement, et que ces oerclea.swt aitués dans les plans engendrés par FF et ïf. Si donc l'on construit l'un de ces cercles , en supposant son plan rabattu sur le plan horizontal , il détermina*a fat hauteur du point de l'espace où se fait la réunion des points F et f.
En conséquence, sur FF, comme rayon, on a décrit le demi-cerclé FF*, et la perpendicul'aire FF*, qui n'est autre chose que la commuiie section des plans verticaux élevés sur FF et/F, donne la hauteur du point cherché au-dessus du plan horizontal.
Si l'on tire FF*, cette ligne sera là projection de l'arête supérieure de Pangle triëdre , sur le plan vei-tical élevé par la ligne FF' : on aura donc les deux projections de cette arête : elle sera par conséquent déterminée.
43. Corollaire. L'angle F^FF est égal à cdui que les deux plans FA£' et E^AET font entre eux , l(M*8qu'Us sont dans leur situation naturelle; car le plan FFF est perpendiculaire à leur commune section A£', et FF' coïncide avec FF, quand les plans F*FF' et FAE' sont relevés.
44* Memarquê. Le problème préeédent cessera d'être CompUm. de la Géom, 6* édit. 3
34 COMpLélAXtiT
Fig* 99» possible, lorsque l'un des trois angles ^donnés sera plu9 grand que la somme des deux autres j la cohitndidtibn indiquée ci-fdessus fait connaître cette impossibilité , parce qu'il arrive alors que lè point F^ tombe hors du cercle décrit sur FF. * •
On peut se peindre facilement ces éxceiptioiis > en se représentant les deux cônes droits décrits par les abgles E'AF et iTAf , quand .ces angles tournent tespectiTWpent autour de leurs côtés A.Ë! et AWt Le problème n^est possible que lorsque ces cônes se coupent on se touchent ; mais cela n'aui^^pMis lieu si l'un émbrà jrsc l'autre tout entier , ou-«r^ leurs bases ,. trop petites ou trop éloignées l'une dé l'autre , ne se rencontrent pin. i..*' f ♦JWpwf. . i . .
4^. On peut.renyçurser la question, et se proposer de trouver le dévelojppenient de l'angle trièdre formé par les deux, droites AE^ AH^ et par une troisième dont AF' serait I^^ projection horizontale , FF'* la projection verticale ; alors il faudra déterminer les angles FAE' et f AH' : voici comment on y parviendra. On prolongera /^F' indéfiniment, puis on décrira sur FF'' un cercle qui fera trouver le point F et AF. Pour obtenir ensuite Af , on mènera. Ff perpendiculaire sur AH', et l'on achèvera le triangle Afî, en observant que son hypoténuse Af est égale à AF.
On voit donc qu'on a tout ce qu'il faut pour la construction d'un angle trièdre, lorsque l'on connaît une de ses faces , la projection sur cette face , de l'arête qui lui est opposée?, çt la hauteur d'un point de celte arête au-dessus de sa projectioni
46. Lemmb. Si , par un point quelconque de l'arête d'un angle dièdre ^ on élève ^ en dehors de cet angle j une perpendiculaire sur chacune de ses faces , V angle com-
DES ikLàMv.îi^ 6:^ [GiàMèvviiE. 35
pris entre ces droites sera, le supplément de celui gui mesure r angle aièare propçsé,.
£n effet, les droites menées comme on rient de le dire y se trouveront dans le plan perpenoiculaiire Ji la commune section des plans propo|sés -^ et si l'on suppose que AE et AF soient les intersections de ceux-ci arec Fie 3o, le premier, il est aise de voir que les angles EAF et eAf sont supplémens l'un de l'autre j car si des quatre angles droits formés autour du point A, op retranche les deux angles droits fAE et FÂe, il resterales deux ancles EAF et eAf, dont la somme vaudra par conséquent deux droits.
théorème: '
47. Sij par le sompietctun angle trièdre et en dehors de cet angle j on mène des droites perpendiculaires à chacuTie de ses faces j les plans qui coAiiennent ces lignes deux à deux formeront lài liiupel angle trièdre j dans lequel les angles des arêtes sefvht sàpplémens dès angles des faces du prunier j et les angles des arêtes de celui-ci seront supplémens de ceux des faces du nouvel angle trièdre,
' Soit Ae la droite perpendiculaire à la face AFdr ; elle Fig. 3f. le sera par conséquent aux lignes AG et AF , menées par son pied dans c« plan : en raisonnant de même pour Af et Ag , respectivement perpendiculaires aux plans AEG et AEF , on formera le tableau suivant :
Af perpendiculaire sur' AEG, Peit sur Wqî
Ag perpendiculaire sur AEF, Test »nr \^-
Mais on voit que chacune des arêtes du premier angle
36 OOIfPLiBfBMT.
fîg* Si* trièdre se troàti répétée deux fois; oa en conelora
->^ ♦ f Af 1
AE perpenikintaire sur { «t >, l'est au plan A%;
AF perpendicqlaire sur { et V , l'est au plan Aeg,
AG perpendiculaire sur { et > , l'est au plan Aef. ■' I Af J
Or , en vertu du lemme précédent, les lignes Ae et Ag font entre elles un angle supplément de celui <{ui mesure l'inclinaison des plans AFG et AEF , auxquels elles sont respectivement perpendiculaires ; il en sera de même dea lignes AE, AG et des plans Afg» Aef: donc les angles des arêtes de l'un des angles trièdres sont les i^upplémens de ceux des faces de l'autre , et vice versd (*).
48* Corollaire U suit de là 4|u'on peut construire le développement 4'tt«^^Mgle trièdre dans lequel on connaît les angles que ses faces font entre elles \ car , si l'on développe un nngle trièdre dont les arêtes fassent , deux à deux , des angles qui soient les supplémens des angles donnés } on ipoi^m, pir leasMoyens indiqués n^* 4^ et 43» troav^ les ^ngks des faces de ce]ui-*ci , qui y d'après
(*) Ceci inéj^ondaax triangles 8pIi^riqàe88applemeiitaires.(7>f^.5o.) On pcnoc ]^(mvef perlîi que la iomtae des angles dièdres d*un angle trièdre esbtoiijouxs ^ a droits et <, 6 droits; car la somme des trois angles dlàdref 4arprejni<HP angl^t^ièdce^AJout^ie & eelledes angles plans dn second formera toujours 6 droits , tandis que celle dois ^ngles plans du dboxième angle trièdre sera^ 4 ^oi^ et |> o. ( Géom . pi6) ^ il resteraf éblic tonjonrs pins de deux droits, et moins' de six pour 1^ anf^* dîMUff dtf pvdliMiani^e crîèdrt.
DBS ^âmsvn o^^niTRxr.. 37
le théorème précédent, seront nesorés* par les Mpplémëns de ceux des arètep de l'angle triMre proposé. Dès qu'on sera paryenu a connAttrftMini<As ces derniers, on pourra développer L'bn^le triëdre auquel ils appartiennent , et trouver la projection de l'une quelconque de ses arêtes sur le plan desl deax àUtfésl'' ' '^
PROBJLÈME.
49* Connaissant dans, un angle ineare, Pangle que forment deux arêtes j et ceux que la face qui les contient fait apec chacune des deux autres j \^ûùverj sur son plan j la projection delà troi^rké ârètè.
La question proposée revient à cèllià^ci : Connaît" sant les angles que deux plan^fi)ût apecle plan horizontal j et les lignes suivant lesquelles *ils le, rencontrent^ trouver la projection de leur commune section.
Soient A£' et Ae^ les coinmunes sections des plans pjg. 3^, proposés, avec le plan horizontal ; G^£T,gVf les angles que chacun des premiers fornie atcxi le troisième \ en tirant , par un point g' pris à Toleiïté s^r e'g', une pa« rallèleà Ae', cette droite ifera (28) la projection d'une ligne horizontale menée dllnê^ 4e plan Aé^f i' la hauteur g'f. =«•.'.
Si l'on eonçoit pareillement! ^ne^ ligne 'horûtontale menée dans le plan A£^F, à la même hauteur , elle renr contrera nécessairement ççUe dont odl vient de parler^ dans un point de la comniune s^tion de3 deux plans proposés *, car elles déterxnjuQent eo^mble un plan parallèle au plan horizontal : .les projections de ces lignes se rencontreront par conséquent dans uA'^oint qui sera la projection de l'un de ceux de la troisième arête.
Or,èn prenant E'K' ^le.a jj'f^^tJoaenantK'F parallèle à £^G% on Irouyera un |KHnti£y*te(qii« «a hauteur G'F au-dessus de sa projection , sera égale à g'f ; et par
38 COMPLiMENT ^
Fig. 3a. conséquent G'CX, parallèle à A£^ sera là projection de la droite horizontale menée dans le. pian AET, à la même bauteur que. la p|:çmière que nous avons construite: O' sera donc la projection d'un point pris sur la commune section despIajDS Ae'f et A£'F^ ou sur la troisième arête. La hauteur du point dont O' est la projection , est donnée par la construction même , puisqu'elle est égale à G'F^ comme celle de tous les points qui répondent au-dessus des droites g'f et G^'F.
PROBLÈME
5o« CortTiaieèantVana un angle trièdre deux faces et Phnsle qu^elles comprennent j construire le développe'' mènitle cet angle trièdre.
Fig. 33. Supposons d'abord qu'on ait rabattu l'une des faces données Â^dans le plan de l'autre A/F; si par un point f, pris à Yolonté sur l'arête commune Af, on élève une perpendiculaîne/f, elfe décrira^ dans le développesâènt; un pl^« perpendiculaire à cette arête. Cest dans ce plan que doit se trouver l'angle qui mesure celui que les faces données font entre elles; faisant donc sarfFy Tangle FT^F* égal à l'angle connu, en prenant /F" égate k-ff, on aura ainsi la' situation du point f à Pégard dé" la ligne /P, lorsqu'il est dans sa position natûinsTIè.^Bfiis il est aise de voir que les trois points^ F" et f^, dêtàthînent'là base de la pyramide formée par l'angle trièdre proposé , et par le plan qu'on a mené perpendiculairemeitt à l'arête A/; de plue , la face qu'on cherche , dëvaiit s'appuyer sur AF, et se réunir avec les triangles À/f et F/T", suivant les lignes Af et FF*, elle ne saurait être que le triangle AFF décrit sur les trois côtés AF, AfelFF/'C*). , .
■ Il <i
■ (*) Ceux de nos lecteurs h qui la Tngonomtîlne sphdrique est familière I reconnaîtront s&ns peine, dans les problèmes prdc«dcns.
DES r.l.iu£NS ]»£ GioM]6TRl£. 3(^
PROBIhÈME.
5i. Les projections d* un point étant connues sur les plans coordonnés j projeter ce. point su^ âr autres plans donnés. •- • ■
. La définition que nous ayons donnée 4es projections, réduit le problème proposé à la x^berche de la rencontre du plan donné, et de la perpedAiculaîre mcBée sur ce plan , par le point qu'on tent projeter de' nouveau ; or il n'y a rien là qu'on ne puisse exécuter à Paide de ce qui précède.
■ Mais ce qui caractérise particulièren^ient la question que nous ayons eu vue, c'est de marquer sur le plan donné le point de rencontre dont on vient de parler y afin qu'en opérant semblablsment sur. plusieurs points de l'espace, on puisse déterminer leurs projections respectives sur ce plan.
Pour cela il faut déterminer la position de cbacune des projections qu'où cberche , par rapport à deux droites prises dans le plan donnée et dont la situation soit connue à l'égard des plans coordonnés, La commune section du plan donné avec le plan boriiontal, et celle qu'il aurait avec un plan vertical perpendiculaire à cette ligne, sont très propres à cet usage : il ne s'agit donc plus que de trouver la distance des projections cbercbées , à cbacune de ces droites. Soient l^'M^" le Fig. 34. )ilan proposé , P^ et P^ les projections du point donné ; celles de la perpendiculaire menée de ce point sur le plan proposé , sont Fp^ sur le plan borizoqtal j et e'^q'' sur le plan vertical perpendiculaire à ilfNV' qu'on sup*
les principales qnestioas de cette Trigonomëtrie, et ce]« leur suffira pour rësouclrc de la même manièie toaies celles qui pourront le présenter.
ào OOMPLSMEKT
^ . .: : .r- .i:> jc: -./.^
Fig. 54* pose ici rabattu snr le plan horizontal après aYoir tpprné autour dé 'N'E' : on aura $['c|^ (35) pour la distance dfi point de rencontre ie la perpendiculaire et. in plan proposé « k Jà droite JS^!
SI maintenant o|i^ conçoi^t ^ue le plan KM'R*' tmime autour de la commune section A/lN'i pour se rabikttre sûr le plan bprizofn tailla ligne N^q'', qui, dans sa P07 sitlon naturelïê^ est perpendiculaire à iXfN^^ Tiendra ae coucher sur Id'Ë' ^ d^()&, il suit que la projection chèr«* chéé sera à une distance de MJSi' égale à "JS'p ; elle se trouTera donc sur pp parallèle à MIH' ; mais cette projection étant danS; le plan yertical élevé sur P'p' > elle sera portée sur cette droite , dans le mouyement supposé f el par conséquent elle tombera en p^
On pourra joindre à la projection qu'on vient de trouver, une autre projection sur le plan vertical passant par IS p , en observant que les hauteurs au-dessus du plan l^'AlM" sont égales aux perpendiculaires , telles que e'^q'' , abaissées de3 points proposés , rapportés dans le plan vertical dont il s'agit , sur N^q''. Or cette droite se trouve couchée sur H'p, lorsqu'on a rabattu le nou-* veau plan de projection sur le plan horizontal : c'est donc par le point p qu'on doit élever pp" perpendiculaire à N'p et égale à e^q".
Les nouveaux plans coordonnés sont le plan 'Î^'M'S'' et un plan perpendiculaire à celui-ci, passant par N'p.
Je me suis un peu étendu sur ce problème , parce qu'il peut entrer comme auxîliiKire dans la solution de beaucoup d'autres.
52. Corollaire /^. En rapportant de cette manière deux points sur le plan propo^ N^J|fN'% on trouvera sur ce plan là {Arojectioni de la droite qu'ils déterr minent
■Xl'?.V:lL-
DES iLiMENS^ DE oioMirRIE. ^l
' 53. Corollaire IL Réclpr^âèÂien^Vlo^ con- Fig. 34.
nitti^ la position d*an point p>r rapjiort aux nou?eaax jiîàns que nous Tenons de consid^ér^ on pc^urra trouYer ses projections sur les plans coordonnés primitifs.
On prendra N^ %ale i N^,' èVéîeYaat qV égale ^PP^y perpendiculairement sâr M*'^"*,' in Mènera e^F parallèle à iMTV', qui, par sa' reiiéôntre aV^ py, doonera la projection cherchée ôurle'pïiàn horizontal BAC : celle-ci étant rapportée sur le plan vertical DAB, à une hauteur PP", égale à E'è'', déterminera la projection P» sur ce dernier plan.
probl'êiàê: '
54. Deux plans étant donnés , ainsi qu'une ligne droite située dans Vun^ mener dans Vautre une ligne qui fasse apec la première un angle donné.
Il est éyident que poui* que cés'^eux lignes fassent entre elle^un angle, il faut qu'elles se rencontrent : et comme elles sont dans deux plans différens, cela ne peut amyer que dansja commune section de ces plans.
Cela posé, on fera sur le premier plan ABC, qui pcontient la ligne donnée G'^, un angle FG'^ égal à l'angle connu ; on concevra que cet angle tourne autour de G JE, jusqu'à ce que son autre côté, G'F, vienne «appliquer sur le second plan CAD; et comme le sommet G' est déjà danîr éé ' j^lan , il tife s'agît que de trouver encore un point qui soit stir la droitéG'F, prise dans cette p^itioQ. .... , n.j
1 -^ ÏS^*^"^ *" ■ ^^' P* *^ P^*'^> »^ perpendicu. laire ^r, le pomt F, dans le mouvemètft* qu'où vient
d indiquer décrira pn. cercle ^hÎ, rançon, era le plan CAD au pomt cherché. Il St aisé d^ y<,ii;ïqua le plan
Fig. 35. les points de rencontre du cercle avec le plan CAD , doivent être placés sur la droite qui est l'intersection de ce plan a^ec celui qui est engendré par EF% et qui contient Je cercle dont il s'agit. On a donc, dans un seul plan, tout ce qu'il faut pour résoudre la question proposée; car on peut, par le problème précédent , trouver dai^s ce plan sa commune section avec CAD, et décrire 1(B cercle engendré par le point F'.
Supposons donc que le plan décrit par J^' soit rabattu sur le plan horizontal ABC ; sa commune section ElEt" avec le plan vertical étant perpendiculaire à E/*^, tombera sur G'£ , et le point E" sera porté en É : voilà déjà un des points de la commune section du plan "E'EY' avec le plan CAD. Pour en trouver un autre, je cherche la hauteur FF" du point correspondant à F' dans le plan CAD \ car ce point étant placé dans la verticale élevée en F', sera aussi dans le plan 'SI'EF\ Prenant FF' égale à FF'', la droite FE sera la*commune section cherchée du plan CAD avec le plan vertical élevé sur jEF' ; le cercle F'Kk, décrit (fu point E comme centre et d'un rayon jBF', la rencontre en K et k : il ne faut plus que rapporter ces points sur le plan ABC, opéra tion suffisamment indiquée dans la figure.
Le problème a deu]^ solutions; car GT', dans le mou* vement qu'on lui suppose, décrit un cône qui doit en général rencontrer deux fois le plan CAD. Il peut arriver aussi que ce plan ne soit que touché par le cône, et enfin qu'il n'en soit pas même atteint.
Il est à propos de remarquer que l'angle DAB est la projection sur le plan vertical, de l'angle F'G'jE situé dans la position qu'jl doit avoir , et que par conséquept on aurait pu énoncer la question suivante :
Connaissant la projection d*un angle j et la position d*un de ses côtés ^ trouver celle de Vautre»
DES ÉLÉMÏNS Dl. oioMirRli:. f\'S
PROBLÈME
55. Les projections d^uné etrok^ ^itùèê dans l^ espace étant données j mener un p&M^pivi.pMse par cette droite j et qui fasse avec le plan mgkMial un angle donné.
Soient P'G' et F'G les fKj^ctions de la droite don- Fig. 30. née ; supposons que le plan cherclié soit JH'M'SH', et qu'on ait sa commune section avec le plan horizontal ; il est évident qu'elle doit passer par le point G^^ où la ligne donnée rencontre celui-ci.
Concevons à présent jqu'on ait mené^ par un point P de la ligne donnée ^ un plan perpendiculaire a cette commune section; les lignes P'E', PE', PT, suivant lesquelles ce nouveau plan rencontre l'horizontal, le plan donné et le plan projetant de la droite donnée , forment un triangle rectangle en P' , dans lequel on connaît 1c côté P'P et l'angle PE'P' : il est donc facile de le construire, ce qui déterminera P'E^ Mais , parce que le plan PE'F est perpendiculaire Ji la ligne G'N', le triangle G'E'F sera rectangle en E' ; on y connaît d'ailleurs les côtés G'P' et P'E' : on pourra donc le construire , et trouver le point E^ , ce qui . donnera la commune section G'N^ du plan horizontal avec le plan cherché ; il ne faudra plus qu'assujettir celui-ci à passer par le point P de la ligne donnée, ce qui sera facile (3i).
La seconde figure de cet article a les mêmes lettres . que la première : elle renferme de plus la construction des triangles rectangles eTP'P et G'P'E'; le premier a pour côté P'P égal à PP", et l'angle e'PP' est le complément de l'angle donné. On décrit ensuite sur G'P', comme diamètre , un cercle dans lequel on prend la corde FE' égale à Fe' ; le triangle P'E'G'. construit ainsi , est le même que le triangle FE'G' de la première figure.
44 COBfPLiMSMT
56. Corollaires Si le plan cherché devait faire l'angle donnée non pas avec le plan horizontal , mais ayec un plan queloonqnef; {l'JBjHMH^it projeter la ligne donnée sur ce plan , ainsi' qrf tf^fcl lH tiiit n^ 62 ; et le problënuf reviendrait alors au pvMrfHt Lorsqu'on aurait trouvé la commune section du plHVonné et du plan cherché, on aurait deux droites qui détermineraient ce dernier.
PROBLÈME
57. Deux droites qui ne se coupent points èttxntdon' nées dans V espacé j trouver leur plus courte distance.
Supposons d'abord, que l'une des droites données soit perpendiculaire au plan horizontal , elle 7 sera reprér Fig. 37. sentée dans un seul point M'; et sur le plan vertical , sa projection sera MM!' perpendiculaire à AB.
On mènera M'P' perpendiculaire à P'H', projection de la deuxième droite donnée sur le plan horizcnital, et ce sera la. j^us courte distancé demandée.
En effet, on a vu, n® 16, que la distance de deox points donnés de l'espace , et sa projection sur le plan horizontal, font partie d'un triangle rectangle, dont la première est l'hypoténuse , et la seconde le côté : il suit doncdelà que cèlIe-ci est plus courte que l'autre. Or M'P' éttnt perpendiculaire sur P'H' , est la plu* courte de toutes les projections horizontales des dis-* tances des point) {^s îMir les deux lignes données; et cette projection n'est autre chose que la distance de deux points placés à la méAib iianteur au-dessus du plan horizontal, -dans l'une et Fautre droite : ainsi, d'après ce qui précède^ il 'est évidetit que cette distance eét là plu» courte q^i pûisflte exister entre les lignes données.
On trouvera leé points o& elle a lieu , en cherchant ,^ sur la ligne KH*, îe point correspondant à P' , et en prenant, ÏMu'ia'^i^àîlèibtîèn" verticale de Vautre droite
DES àvàusma oe oioniTRiE. 4^
donnée , un point M' placé à la même hauteur au-dessus Fîg- 37. du plan horizontal.
Si les droites étaient situées d'une manière quelconque par rapport aux plans coordonnés , on ks projetterait (5a) sur un plan perpendiculaire à l'une d'elles ; et la soli^tion qu'on yient de donner serait alors applicable à ce cas généraL
58. On peut encore tjrouTer la plus courte distance p;». 35. de deux droites M'N' etEF,en menant, par la première, un plan H'G' parallèle à la seconde {Géom. 218)^ puis en abaissant cPun point quelconque de la seconde , une pêrpendlbnlaire £E' sur ce jfiflan ; cette perpendiculaire iest la plus courte distance cherchée y et détermine le plan F£E' qui rencontre la droite M^N' au point P', o& elle s'approche le plus de EF. Voici comment on efiêctue ces opérations.
JBP* ) Fig. 39.
et > sont lesprojections de la première ligne donnée ; £ Jr I
. et scelles d^ la seconde.
E est le point où la première ligne donnée rencontre le plan horizontal ; e^ E'L^, Eh" sont les projections d'ui^e ligne menée par ce poinj(, parall^ement à la seconde ligne donnée , pour déterminer un plan qui soit parallèle lipetfi^ dernière., ,»
On a construit y par le j^qpédé de n** 36, le plan qui passe par la ligne menée, ciT^iessus , et par la première des droites données î ce plaff .içst.Gf.GG'' ^^et comme il est parallèle à la seconde dri^^te, donnée, il jpe s'agit plus que d'abaisser d'un poinf^ quelcpnque de cette dernière , une perpendiculaire sur c^p^fnn : c'^t qe qui a été fait par le point dont les proî^tioi^s son.! O' let O.
46 GOMPIiiMEMT
FIg. 3g. On a cherché > ainsi qu'il a été dit n® a5 » la rencontre de cette perpendiculaire avec le plan G'GG* , et Pon a trouYc N' et W pourries projections.
Afin de connaître le point où la plos courte distance a lieu, on a tiré fhv le point N% parallèlement à MO\ projeetiotr horizontale de la seconde droite , une ligne NT' qui e§t évidemment la projection^ sur le plan horizontal ^ de la reo/contre.du plan G'GG", avec un plan qui lui serait perpendiculaire, et qu'on apurait mené par la deuxième droite donnée , puisqu'elle appartient àjine droite parallèle à celle-ci, et qui passe par le pied de la perpaodiculaire abaissée de cette droite sur* le plan dont il. s'agit, ou autrement , c'est la projection de la droite £'F' de la figure 38.
Le point P' où la ligne NT' rencontre la projection horizontale E'P' de la première ligne donnée , est la projection du point P' de la fig. 38, et par conséquent celle du point où la première droite s'approche le plus qu'il est possible de la seconde. La droite élevée par ce dernier, perpendiculairement au plan G' GG", est la plus courte distance demandée; ses projections sont P'K'^ FK^'parallèles à N'O^ N^O ; et l'on trouvera sa longueur par le n® i6.
THÉORÈME
Sg. La êomme des quarris deê cosinus, dès angles qu' un plan quelconque fait açec trois autres perpendiculaires entre euxj est égale au quarré du rayon,
Fig. 4o. Si , par le point M, on imagine un plan BCD , perpendiculaire à la droite AM, les intersections BN', BN'' et CN'*, de ce plan , avec chacun des pUns coordonnés, seront respectivement perpendiculaires aux projections M'A , M*A et M'A de la ligne AM; et les plans projetans AN'M, AW'M , AN*M appartenans à cette droite, détermineront , par leurs intersections avec le plan
DES iL^MENd DB aioM^TRIE. 4?
BCD et ΀s plans coordonnés, les angles qnMl forme Fîg. 40. avec chacaii des derniers.
Dans les triangles AM'M , AM^M, AM*M , fet lignes Mlf, MM*, MM* réjprésenteroht les' slotts dfes angles MAM', MAM*', m AM*, en pi^enanl AM pour rayon, ou les cosinns des angles AWM , AW*M ; AW*TW[ , dans les triangles ANT\f , AN*M, AN**M , tous rectangles en M ; d'b^i il suit (24) que la sommé des quarrés - des cosinus des angles que fait an plan quélconqtie arec trois autres perpendiculaires entre eux, est égalé au quarré du rayon. ' 60. LxMME. 'Si fon a une figuré fuelàorupie tracée sur un plan incliné , et qvfon la projette sur le plan horixontalj par des perpendiculaires abaissées de tous les points de son contour sur ce plan , l^aire de la projection sera à ceUe de la figure proposée y comane le cosinus de r angle des deux plans est au rayon.
En efiPet, soit un trapèze MNPQ, dont les côtés MN Fig. 4». et PQ soient perpendiculaires à la commune section AC des plans BAC et DAG ; il est aidé de voir que les longueurs des projections M'N' et P'Q' sont à celles des côtes correspondans MN et PQ , comme le cosinus de l'angle M'G'M est au rayon ; car, MM' et NN' étant parallèles, on a
N'M' : NM :: G'M' : G'M :: cos M'GTVL : rayon.
Les triangles P'H'P et Q'H'Q, sont semblaî)les aux triangles N'G'N et M'G'M ; les parties des premiers seront par conséquent dans les mêmes rapports qne celles des seconds. ' '
De plus, il est clair que le trapèze MNPQ et sa projection M'N'P'Q' sont de la même largeur-, \\s doivent donc être dans le rapport des sommes de leurs côtés parallèles , ou , ce qui revient au même , dans celui de leurs longueurs : on a donc
M'NT'Q'': MNPQ :: cos M'G'M : rayon.
Fi9> 4a. Ce que iioos Tesfffes «MUaMb^trapèMi 68«fieiit à imi triangle quelconque. En eStlyMMtle triaagle ABG«tUiié clans un pliua*<iilimié<«étoiAf4a' oom -lectiea af«ft le
pbo lioriMAIil<é6lt«'41' \i9b¥mk mène AD ç* €B . fmpemKoolftfiM hfdeVIè'lîeiiê ;Jèl <|u*op tive par le point B, la dntfte I)ll*pil¥rii^1e^S^'e6(é A€, il est éTÎdent qve le triangle' AlC- ^tstévàdài^ ta paralléiegfàmme ^ tolal DAGE , cal* il^lAWfirl V^ et l'autre même base et même hauteur ; et cette d^mière figure, ayant ses côtés perw pendiculaires à la oommttiie section G'H' y sera dans le cas du raisonnement qœ nous ayons ûiit pour le tfapèzeMTQPQdelafig. 4i.
Toute figure pouvant être partagée en trapëses et en triangles^ il s'ensuit que la proposition du lemme èrt générale , comme le porte son énoncé.
6i. Corollaire, Il suit du théorème et du lemme pré« cèdent f que si Von projette une figure plane quelconquej êur trêiê plana perpendiculaires entre eux ^ la somme des tfuarris' de^ aires de ses projections est égale au quarrè de Faire de la figure proposée.
Pour démontrer cette vérité, soient S l'aire de la figure proposée , S', S", S^ celles de ^es projections ; en nommant A^ IVngle que le plan qui la contient fait avec le premier des plans coordonnés , A' celui qu'il fait avec le second , A* celui qu'il fait avec le troisième y et R le rajoi\d|^s tahles trigonométriques , on aura
S : S' : ST : S^ :: R : cos A' : cos A" : oos A^
et en prenant les quarrés ,
S* : ff" : *s^ : sr» :: r» : cos A'* : cos a*» : cos a'^- ;
d'où l'on tirera
S* : S^+S'^'+S"' :: R* : cos A'* + cos A^*4- cos A** ;
mais par le théorème cité , les deux derniers termes de
DES ^LAimis ^&«ioMiTAiE. 49
oelte proportion iontégAux entre ^Mx:,!! en sera donc Fig. 4^. de mÂrne des deax premet».
On ne saurait oonceroir enGéom^llE^ le qoarré d'une aire , puisque cela supposerait qaatm di|i|eDsioos ; mais il faut entendre ici que oetle aire et ees profections sont entre elles dans des rapports de 'lignes teiies, que le qnarré de la première est égjkl k la somiotordes quarrés des trob autres. Il suit de là quO le quarré du nombre d'unités de l'aire de la figure propo^^ est égal à la somme des c[uarrés de chaque nombre d'.unités pareilles contenues dans ses projections.
62. Remarque, On. peut arriver immédiatement h un tbéorëme sur les tétraèdres rectangulaires, qui n'est qu'un cas particulier de la proposition précédente. '
En effet 9 soit A6CD une pyramide t)riangnlaire dont Fig» 43, trois faces soient perpendienlaires entre elles j il suit de cette hypothèse que les triangles DAC, DAB et BAC, qui forment ces faces , sont les projections du triangle hypoténusal BDC : mais à cause que AD est perpendiculaire sur le plan BAC y on a
y } d'oi l'on tire , en qaarrant , DAB =^521^'
