ESSAI SUR LA PERSPECTIVE

III. Tout le monde sait que la lumière se propage en ligne droite, et que les objets ne dei^iennent yisîbles que par les rayons qu'ils nous renvoient. C'est TensemMé «lé ces rayons qui détermine les images des corps.

Ainsi nous apercevons le contour du quadrilatère Fig. 76. ABCD ,' parce que chacun de ses points renvoie un rayon lumineux à notre œil. Il est aisé de voir que l'ensemble de ces rayons est la pyramide formée par les lignes menées des différens points de l'objet à notre ceilC).

Représentons cette pyramide par OABG, le sommet O désignant la position de l'œil. Il est évident que tous les points situés sur les faces adjacentes à ce sommet, se trouvent sur quelqu'une des lignes tirées des difierens. points du contour ABCD : les images des premiers points doivent donc se confondre avec celles des seconds ; et par conséquent si la pyramide était coupée

■ {^) Nons avons suppose Tobjei blanc ou colore, mais non pas noir, car alors on ne le voit que par l'absence des rayons de lumière; ainsi, pour le cas de la figure, il serait vrai de dire que la pyramide est dëtermine'e par l'absence des rayons dans l'espace occupé par les côtés du quadrilatère.

Nous sommes d'ailleurs obligés de faire abstraction des dreonstances physiques de la vue ; mais ceux de nos lecteurs qui en sont instruits sentiront aisément que l'application de la méthode n'en e&i pas moins rigoureuse.

DES £l£ms)98 de o£6m£trie. log

par un plan ou par une surface quelconque, le contour Fîg* 7^* qui résulterait èfi cette intersection aurait pour l'œil la même forme que le quadrilatère ABGD.

Il n'est donc pas nécessaire de présenter à nos yeux l'objet lui-même, pour que nous éprouvions la sensation qu'il ferait naître en nous par l'organe de la vue ; il suffît (le déterminer un assemblage de rayons disposés respectivement comme le seraient ceux qui iraient des dtférens points de l'objet à notre oeil.

De là Tient la possibilité de représenter les corps sur . un tableau ; car si l'on conçoit que la pyramide formée par l'ensemble des rayons menèi de différens points du corps à notre œil, soit coupée par un plan , il en résultera une image propre h faire naître la sensation* du contour du corps et de la disposition respective de ses di£férentes parties C^).

Il suit de ce qui précède, que la détermination de cette image dépend uniquement de la recbercbe des intersections des lignes menées de l'œil aux divers points remarquables de l'objet , avec le plan ou la surface sur laquelle il doit être représenté.

Les positions respectives de l'œil , du tableau et de . l'objet doivent être déterminées , pour que l'image la. soit. La connaissance de la forme réelle et des dimensions du corps qu'on veut représenter, donnera les projections des points remarquables qui déterminent son contour et la situation des parties qui le composent. Le problème sera donc réduit à trouver , sur le tableau ,

{*) Il est évident qu'on formerait encore une perspective de Tobjct, en supposant que les rayons visuels fussent prolonge au-delà pour aller rencontrer le tahleau placé derrière : Timage serait alors pins grande que Tôbjet. On ponrrait aus^i placer le tableau derrière l'œil, la pyramide étant prolongée au-delà de son sommet : Timage serait jienVersée.

lia €OMFLiMSNT

Pimage de chacun de ce5 points, c'est-à-dire la rencontre d'une ligne droite donnée , avec un plan ou une surface aussi donnée.

Je Tais parcourir les différens cas de cette question , sans néanmoins entrer dans les détails qui sortent des bornes que je me suis prescrites.

PROBLEME

' 112. Trouver sur un tableau pUm^ situé d'une ma"

nière quelconque, Vapparence ou la perspecUi^e dun point donné dans V espace.

On prendra les projections verticales des points pro« posés , sur un plan perpendiculaire à la commune sec* tion du tableau avec le plan horizontal.

Fig. 77. Soient donc T'AT" le Ubleau , O' et O" les projections de l'œil O , P' et F* celles du point P à mettre en perspective ; O'P' et 0"P" seront les projections du rayon TÎsuel OP.

La rencontre p de cette ligne et du tableau déterminera l'apparence cherchée ; mais comme ce point doit être construit sur le tableau , les projections p' et p'' ne suffisent pas ; il faut appliquer ici le procédé du n** 5i ,

' . k l'aide duquel on trouvera les distances Ap et Ap' de ce même point à deux lignes AT" et AT' perpendiculaires entre elles dans le tableau* La seconde , qui est l'intersection du tableau avec le plan horizontal sur lequel les objets reposent , est nommée, en perspectife, ligne de terre.

Il suffit alors d'abaisser p j? perpendiculaire sur AT', pour avoir la distance du point p à la droite AT". Gela est évident en concevant le plan vertical pp/) , parallèle k T"AB ; il est d'ailleurs aise dé voir que Ap' est la distance du point cherché à la ligne de terre AT'.

1 13. Quand le tableau est perpendiculaire sur le plan«

DES £l£mSKS VB oioMÉTRIB. III

horizontal , comme ^e mawfue T'At", alors les projec- Fig. 77. tbiisO'P' et O'T" déterminent elles-mêmes, par lear rencontre avec les lignes T'A et t^'A > les distances Aq' et Aq^'i de la perspective q à chacune de ces droites.

114. Nous avons pris pour exemple une pyramide Fig. 7g, dont les quatre angles trièdres ont leurs sommets projetés à l'extrémité des rajons menés des points O' et O"

La construction de la perspective de Pan de ces sommets est désignée par les mêmes lettres que dans la figure 77,

11 5. Dans le cas où le tableau est droit, on simpliGe pig. ^s. beaucoup la construction, en prenant le plan même du tableau pour plan coordonne vertical. L'œil étant supposé derrière le tableau, a sa projection horizontale

en O' ; celle du point proposé est en P', et p est la pers- .pective de ce point.

1 16. Remarques, Si l'objet à représenter est terminé par des lignes droites et par Aos plans , on construira son image en cherchant les perspectives des sommets des angles polyèdres qui le terminent; et il ne sera besoin pour cela que de répéter le procédé qui vient d'être indiqué. Deux points détermineront une ligne droite » et les faces de l'objet proposé seront formées d'un certain nombre de ces lignes.

Quand l'objet est terminé par des surfaces courbes, il ne présente alors aucun point particulier à saisir pour déterminer sa forme *, il faut préalablement trouver son contour apparent.

Le contour apparent n'est autre chose que la courbe qui sépare, sur un corps, la partie qn'on voit de celle qu'on ne voit pas ; et il est évidemment formé par l'ensemble des points dans lesquels le rayon visuel ne fait que toucher la surface du corps. Si l'on conçoit une sur-

112 COFMFLBaCfiMT ^

face conique aynnt son sommet placé dansFceil, et qui euTeloppc le corps proposé , en le touchant, la courbe des contacts sera précisément celle du contour apparent.

Si l'on coupe ce cône par des plans menés par l'œil, -suivant une loi établie à volonté , cbacun d'eux formera dans le corps proposé , une section qui sera touchée par deux des droites génératrices du cône. De là résulte une niétbode générale pour construire le contour apparent d'une surface courbe.

On imaginera cette surface coupée par une suite de Fig. 77. plans verticaux , tels que OCyP'P , passant tous par l'œil ; on construira, sur le plan vertical, la projection P"X' de chacune des sections, et l'on mènera du point O*, une tangente OT" à cette courbe. Ayant les projections du rayon visuel, on trouvera, comme dans le problème précédent, la perspective du point P situé sur la limite visible de l'objet proposé, ou sur son contour apparent.

On voit que cette méthode tient de près à celle qu'on a donnée pour trouver les intersections des surfaces courbes : il est donc aisé de prévoir qu'elle peut » comme cette dernière, se réduire à des procédés plus simples pour le cas de certaines surfaces , en rapprochant le système des plans coupans de celui de la génération de ces surfaces ; mais n*ayant pas le dessein d'écrire un Traité complet de perspective, je ne dois pas entrer dans CCS détails.

117. Remarqite, Il y a encore un genre de pers|)ec* tive d'un grand usage. On suppose alors que l'œil est placé à une distance infinie de Tobjet : par là les rayons visuels peuvent être regardés comme parallèles entre eux ; et ayant désigné par une droite quelconque la di*> rection suivant laquelle les corps doivent être vus, îl ne

DES ÉlÉMENS de oioMBTRfE. I 1 3

s^agîtplas , pour mettre des points en perspective, que de mener par ces points y des lignes parallèles à la ligne donnée j et de troa?er leur rencontre a^ec le tableau.

On voit encore que » dans cette hypothèse , le contour apparent d'un corps est déterminé par des tangentes à sa surface , qui sont parallèles entre elles ^ et dont l'ensemble forme un cjlindre.

Pour déterminer ces tangentes ^ on choisit les plans coupans yerticaux et parallèles à la ligne donnée ; et les tangentes av>x projections yerticales des sections doivent être menées parallèlement à la projection de la ligne donnée qui marque la direction du rayon visuel.

Cette perspective est une espèce de projection qu'on pourrait employer pour résoudre les questions du genre de celles que j'ai traitées dans la première et la seconde partie de cet Ouvrage ; car rien n'oblige à projeter par des perpendiculaires , et dans un grand nombre de cas les solutions deviennent plus simples j lorsqu'on projette par des lignes obliques.

Je vais encore donner quelques propositions qui servent de fondement à une méthode de perspective fort répandue , et qyi s'applique avec beaucoup de facilité aux corps terminés par des plans et des lignes droites.

THÉORÈME

1 18. Si If on mène par Vœilj une paraUèU à une droite située d'une manière quelconque par rapport au tableau^ le point où cette parallèle rencontre le tableau appar^ tient à la perspective de la droite proposée.

£n effet , toutes les lignes menées de l'œil aux différens points de la droite proposée forment un plan qui , par sa rencontre avec le tableau , détermine la perspective de cotte droite ; mais la ligne OO^ étant parallèle Fig. do.

Compté m, de la Géom, 6® édit. 8

tl4 COMPLiMXNT

Fig. 8o: ^ 'a proposée PP', et passant par l'oeil, que )e suppose en 0| est comprise nécessairement dans ce plan : donc le point O' où elle rencontre le tableau T^Â', appartient a la perspective dont il s'agit*

1 19. Remarque. Il est évident d'ailleurs que le point P', oii la droite proposée rencontre elle-même le ta* bleau, fait aussi partie de sa perspective, qui est par conséquent CyP': donc, pour tracer cette perspective, îl sulEt de connaître les points où la proposée|et une ligne qui lui serait menée parallèlement par l'œil, rencontrent le tableau.

lao. Corollaire /. Il suit, du théorème précédent ^ que les perspectives de tant de lignes parallèles entre elles qu'on voudra, se couperont toutes dans un seul point du tableau. Ce point est nommé, dans les Traités de perspective , point accidentel.

£n effet, on ne peut mener par l'œil qu'une seule ligne qui leur soit parallèle à toutes , et leurs perspectives passeront nécessairement par le point où elle rencontre le tableau.

121. Corollaire II» Si les lignes proposées étaient en même temps parallèles au tableau, la droite OO' menée par Tœil ne rencontrerait plus le tableau , et par conséquent les perspectives seraient parallèles entre elles.

On s'^assurera, à priori j de la vérité de cette proposition, par le raisonnement suivant. Les deux droites proposées étant parallèles entre elles, les plans formés par Passemblage des rayons menés de l'œîl aux dîFérens points de ces lignes, et qui contiennent leurs perspectives, ont nécessairement leur intersection parallèle à ces mêmes lignes, et par conséquent au tableau. Les perspectives ne pouvant se rencontrer que dans les points communs à cette intersection et au tableau , se- ; ront'donc parallèles entre elles.

I)Xi iLlMXNS SB aiOMÉTRlS. I 1 5

122* Corollaire IJL De 1& dérWe une mctiiode très simple de mettre ea perspective des lignes et des points.

On al>aisse une perpendiculaire 00' de rœll sur le Fig. 8r. tnbleau ; le point O" oii elle le rencontre s'appelle point de vue. Il suit de ce qui précède , que toutes les perspectires des lignes perpendiculaires au tableau doivent concourir k ce point.

On projettera donc le point proposé P sur le tableau , que nous supposerons Tertical ; le point P'' où tombe cette projection sera celui où la perpendiculaire menée du point proposé sur le tableau, le rencontre*, et la perspectiye de cette droite sera P'O*.

On tirera ensuite '^'M faisant avec AB un angle égal à la moitié d'un droit; ce sera la projection d'une ligne horizontale menée du point P, au tableau, sous cet angle, et sa rencontre avec ce plan aura lieu au point M", placé k une hauteur MW égale à P'P. Mais si l'on prend sur O'D", parallèle à AB , une grandeur O'D" égale & la distance OO^ de l'œil au tableau , il est ai^^é de voir que la ligne OD'' sera parallèle à toutes celles qu'on mènerait horizontalement sous un angle de 0^,5, au tableau, dans le sens de P'Jf ; par conséquent les perspectives de ces lignes doivent toutes se rencontrer au point D% qu'on nomme />o^^ de distance. Ayant tiré M^D", cette droite doit contenir. la perspective du point P ; mais cette perspective doit se trouver aussi sur 0"P'' : elle est donc en R".

123. Remarque. On peut encore pratiquer la perspective au moyen de VéchelU fuyante j qui dispense de tracer le plan géométral et l'élévalion des objets , et dont voici le principe de construction.

On rapporte les objets à trois plans perpendiculaires centre eux^ le premier, horizontal, et passant par la ligne lie terre AB; le second, vertical, perpendiculaire au F ifs;. ^'^

Il6 OOMPLiMXNT.

Fig. 8a. tableau /et passant par le bord BT; le troisième est le tableau lut-mème AT, que je suppose ici droit : un point sera donc donné, si l'on connaît ses distances resp(x>tives k ces trois plans (a4)' ^ distance au tableaU se eomptera sur BG, la distance au plan yertical passant par BC et par BT^ se comptera sur AB; et enfin la distance au plan horizontal , ou la hauteur du point ,< se comptera sur BT. Gela posé , les deux lignes AB et BT étant dans le taUeau , il suffit d'y transporter les.divi- «ions de la troisième BG , ce qui se fait en tirant au point de Tué la ligne BO^, qui sera la perspective de BC, et en 'Vienant au point de distance D" les droites aD'' , iD", ajy, etc. qui coupe)*ont BO'' aux points c, 1,2, 3, etc. correspondans aux parties Pb, bi , 12 , etc. de la ligne BC

- La ligne BC, ainsi divisée, est VèchelU fuyante qui >. marque l'enfoncement apparent des objets dans le ta*

blean ; et si l'on tire par les points de division de cette échelle , des droites parallèles à AB , elles pourront être considérées comme les lignes de terre de divers plans menés parallèlement au tableau , à àe» profondeurs marquées par les divisions correspondantes de l'échelle ; elles contiendront les perspectives des projections horizontales, ou des pieds des objets situés dans ces plans: telle est g2 , par rapport aux points placés à la distance B2 du tableau.

Si Ton prend ensuite sur la droite AB.> que l'on nomme échelle de fronts une partie Be égale à. la distance oit le point proposé est du plan vertical passant par BG et par BT, et <}u'on tire au point de vue la droite eO", la rencontre de celle-^ci avec ga , parallèle à AB , donnera la perspective de la projection horizontale , ou du pied de l'objet proposer

Enfm, si l'on prend sur BT, échelle dfis hauteurs^ la

DES iLiaiSHS DB oickMBT&IE. II7

partie ef égale à la hauteur du point proposé , et qu'on Fig. 8i. tire fO*', cette dernière droite rencontrera gh , perpendiculaire à g2 , au point fa qui sera la perspective demandée.

On Yoit que ce procédé donne , en opérant immédiatement sur le tableau » la perspectiTc de tous les objels qu'on Tcut y représenter^ dès qu'on a construit VécJielle fuyante.

On peut aussi y lorsque les dimensions du tableau sont assez grandes pour rendre le tracé d'une exécution difficile ; calculer les divisions de l'écKelle fuyante, en considérant les triangles semblables O^cD" et acB , d'où il résulte

aB : Bc :: oiy : o^c,

aB+O^D" : Bc + O^'c :: aB : Bc, aB + O^D" : BO* :: aB : Bc.

Les divisions de cette échelle donnent les distances des droites qui représentent les communes sections des plans perspectifs parallèles à celui du tableau. Les hauteurs hg se calculent aussi par une simple proportion , puisque Ton a ef. : hg :: eO'' : gO'', et que d'ailleurs lei droites eO" et gO^ sont évidemment entre elles oommeies distances BO" et O^a.

Nous remarquerons que l'usage du compas de proportion facilite beaucoup les opérations de la perspective , et qu'il est surtout très commode pour déterminer les hauteurs apparentes.

La proportion aB : Bc :: 0"D'' : O^c , ferait connaître la distance O'D* de l'œil au tableau , si Ton se donnait la droite BO', l'espace aB et sa perspective Bc.

124* Remarque générale. On vient de lire dans ce qui précède, les moyens généraux qu'on peut employer pour mettre en perspective les contours apparens et les points remarquables des objets; mais ces procédés , qui

Il8 COUBlsixEST

composent ia perspectii^e linéaire^ ne suffisent pas pour donner une représentation complète des corps.

Les parties éclairées on les coups de lumière , les ombres et les dégradations de teinte concourent à rendre sensibles les saillies , les enfoncemens et les lointains. Toutes ces circonstances peuvent se déterminer rigoureusement par des méthodes analogues à celles que nous avons données; il ne faut pour cela que décomposer l'énoncé de la question, de manière à pouvoir reconnaître les conditions mathématiques auxquelles on doit satisfaire.

PonrJes ombres , par exemple, si le corps lumineux est réduit à un point , on voit qu'elles sont déterminées par l'espace compris dans une surface conique tangente au corps opaque, et ayant pour sommet le point lumineux.

Par conséquent , déterminer Fombre portée sur quelque surface que ce soit, c'est chercher l'espace que ce cône retranche de la surface dont il s'agit, espacé circonscrit par la courbe qui est l'intersection du cône dont on vient de parler et de la surface proposée.

Nous ne pouvons considérer ici ces objets qui demandent des connaissances étrangères à la Géométrie ; nous les avons indiqués seulement pour faire voir de quelle utilité peut être, dans les arts, l'habitude des considérations de la Géométrie de l'espace C).

(*) C'est jar. des notions de Physique et sur des expériences très dëlicafts , encore pen repamlues, que reposent les théories indiquées ci'^essus, et qui comp^nnent ce que les^rllstcs. appellent la per^ pectivc aérienne ^ le clalt obscur. On 'peut coosnlter à cet égtird t*^oavrage de Lambert , aytmt pour titre : Photometria etc. , 'deux Mémoires du même auteur dans les yolomes de T Académie de Berlin pour 1^68 et 1774 , et la 4* édition de la Géométrie deseriptit^e de Monge, dans laquelle M. Briéson, Tun des plus anclete élèves de rÉcolc Polytechnique et des plus distingués , a rédigétfviee beaucoup

DX8 iLiMBMS DB GioSliTRIE» I I9

La Gnomonique , sur laquelle on a écrit des Traités assez volumineux , ne saurait embarrasser^ dans aucun cas, celui qui possède bien cette Géométrie. Dès qu'il a conçu ce que c'est qu'un cadran solaire en général , il peut en tracer un de telle nature qu'il voudra, et sur telle surface que ce soit, pourvu qu'il connaisse la génération de cette surface ; car alors II n'aura besoin que de chercher des intersections de plans et de surfaces donnés.

Montucla, dans son Histoire des Mathématiques j a donné une définition de la Gnomonique, à laquelle les procédés que j'ai exposés précédemment s'appliquent tout de suite-

(( Que l'on ait (dit-il) douze plans se coupant tous à » angles égaux dans une même ligne , et que ces plans, n indéfiniment prolongés , en rencontrent un autre dans » une situation quelconque, il.s'agit de déterminer les » lignes dans lesquelles ils le coupent. »

Les méthodes qu'il donne pour résoudre ce problème sont à la fois très simples et très générales , et l'une d'elles rentre dans les opérations auxquelles seraient conduits ceux de nos lecteurs qui voudraient employer les moyens que nous avons exposés dans la première Partie.

de soin les notions que cet illnstre professeur avait données sar ce sujet à la première Ecole Normale et h l'École Polytechnique.

Ce coup d^œil , jetë par des savans sur Part du peintre , est remarquable surtout parce quMl donne un seos prëcis à des expressions métaphoriques que les Artistes emploient pour désigner des résultats d'observations très fines, mais que les Amateurs répètent sans les comprendre , et qui font d'autant mieux fortune, qu'elles paraissent plus étranges.

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d&a- JEle'/n.. de^ ûe'cm . PI, . JI .

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Siàn^. eU' Géom-. PL . III.

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