DES PLANS TANGENS AUX SURFACES COURBES

io3. L'idée qu'on doit avoir du plan tangent à une surface courbe, emporte avec elle la condition que ce plan doit passer par toutes les tangentes qu'on peut mener à la surface proposée, par le point où il la toucbe.

Ou bien encore , si Ton imagine tant de plans qu'on voudra, menés par le point de contact , mais de manière à couper la surface proposée ^ il faut que les sections qui en résultent soient touchées respectivement par les droites qui sont les intersections des plans coupans et du plan tangent.

Deux lignes droites suffisent pour déterminer la position d'un plan ; par conséquent deux, sections quelconques ; faites par le même point dans une surface courbe ^ donnant lieu à deux tangentes qui passent par ce point, celles-ci suffiront pour déterminer le plan tan* gent à la surface proposée.

Nous^ supposerons, pour plus de simplicité dans la méthode générale, que l'on ait coupé la surface proposée

(T) 3 'ai trsife cette matière analytiquement, dans un Mëmoire la à rAcadëmie des Sciences en l'^QOj et j*y ai donne les foroioles d'oii dépend la transformation qu'une courbe qaelconque subit en passant d'an plan sur une surface dëveloppable , et rdciproquemetil : on le 'trouve h la fin du |>remier volume de la seconde e'dition de mon Traité'du Calcul différentiel et du Calcul intégral.

DES élkmbns de Géométrie. toi

.par deux plans, le premier lK>rizontal et donnant une section MZ", le second vertical , perpendiculaire au plan Fig. 72. DàB et donnant pour section la courbe MX'.

Il est clair que si l'on sait mener les tangentes aux courbes MZ'' et MX'", on aura deux lignes Mt et MX qui détermineront le plan tangent demandé.

' La question de mener un plan tangent à une surface courbe quelconque , est donc ramenée k la reolierchc des tangentes des courbes planes : c'est tout ce qu'on peut faire^ans employer l'analyse; et nops observerons àe plus qu'il faudrait encore prouver que le plan qui passera par les deux lignes Mt et MT, passera aussi par Ta tangente de toute autre section faite par le point M dans la surface proposée .

On sent assez bien la vérité de cetle proposition ; car^ si elle n'avait pas lieu, il s'ensuivrait qu'on ne pourrait pas mener des plans tan gens à toutes les surfaces en général y mais c'est par l'analyse qu'on la démontrerait complètement.

Voici quelques cas particuliers où la question se modifie et devient beaucoup plus simple.

PROBLÈME

io4* Méfier un plan tangent à un cylindre.

La génération du cylindre est telle , qu'un plan le louobe toujours suivant une ligne droite > qui n'est que la génératrice prise dans l'une de ses positions ; mais ce plan va rencontrer le plan horizontal , suivant une ligne droite PT qui touche la courbe servant de base au j:;.,. ^3, cylindre.

Il suit de là que si l'on mène par le point M, pris sur une surface cylindrique , une droite MP' parallèle à la génératrice AD , et que Ton construise la tangente P'T' au point P' de la courbe qui sert de base au c^-

102 COlUFL^MElfT

Fig. ;3. It&dre, le plan tangent demande sera déterminé par let lignes MF et P"iy : il sera donc facile d'en trouver les communes sections ayec cbacun des plans coordonnés.

io5. Corollaire L Si l'on sait mener des tangentes à la base du cylindre , on pourra, par ce qui précède, en mener aussi à toutes les sections de ce cylindre par un plan quelconque j car il est aisé de voir que les tangentes de ces courbes seront les intersections des plan^ qui les contiennent avec le plan tangent au cylindre.

En général , si une courbe est l'intersection de deux surfaces courbes , et qu'on puisse mener des plans tan--gens à cbacune d'elles , la courbe proposée aura pour tangente l'intersection de deux plans respectivement tangens à ces surfaces courbes, daus le point que l'ou considère.

Corollaire II, Nous avons fait voir comment on pou« vait représenter une courbe dont tous les points ne se trouvaient pas dans un même plan (77) ; il suit de tout ce qui précèote , que pour mener une tangente à une courbe de cette nature, il faut cbercher celles de ses^ deux projections.

En effet, la courbe proposée se trouve d'abord sur un cylindre élevé perpendiculairement sur sa projection horizontales : sa tangente, dans un point quelconque,^ est donc comprise dans Je plan tangent au cylindre dont on vient de parler. Mais ce plan est perpendiculaire aa plan horizontal, et sa commune section avec celui-ci touche la base du cylindre, ou la projection de la courbe proposée, dans un point qui est la projection de celui où il touche la courbe donnée : cette commune sectiou est donc, sur le plan horioontal, la projection de la tangente cherchée.

En raisonnant de même pour le plan vertical, on

DJBS ELÉMENS D£ oioMirRIE. Io3 •

yerra que la tangente menée par le point de la projecr tton verticale qui correspond au point donné, sera la projection verticale demandée.

PROBLÈME

1 06. Mener un plan tangent à un cône»

La solution de ce problème ne diffère de celle du précédent , qu'en ce que la ligne SP' doit être menée Fig. 74. par le sommet S^ au lieu d'être parallèle à la généra** trice, comme dans le cas du cylindre.

PROBLÈME

107. Mener un plan tangent à une surface de ré\/e^ lutionj par un point pria sur cette surface.

Dans ce cas particulier, les sections les plus simples qu'on puisse obtenir sont les cercles perpendiculaires à l'axe de rotation, et la courbe génératrice, qui résulte toujours de la section faite dans le corps par un plan mené par cet axe.

Le plan tangent au point M sera dope déterminé par Fig. 75* les droites Mt et MT, la première tangente au cercle MZ, et la seconde à la courbe génératrice MX.

Si l'on sait mener une tangente à cette dernière, on pourra toujours construire le plan tangent à la surface qu'elle engendre.

108. Corollaire. Lorsqu'on sait mener des plans tangens aux surfaces courbes y on peut mener des droites qui soient perpendiculaires à ces surfaces; car il suffît pour cela qu'elles soient perpendiculaires aux plans tangens , et qu'elles passent par les points de contact. Ces lignes s'appellent les normales des surfaces proposées, nom qu'on a donné aussi aux droites perpendicu^ laires aux courbes planes.

f64 ConBiÀxitiX't

Il ^ a celte différence entre les normales des' courhë^ planes et celles dés surfaces courbes> que les premières se rencontrent toutes ou sont parallèles, au lieu que, pour les dernières, il faut choisir certaines suites de points sur la surface proposée , pour en trouver qui aient cette propriété. £n général elles sont situées dans clés plans diffôrens.

Les courbes à double courbure qui ne sont pas coiU'prises dans un seul plaa déterminé^ ne peuvent pas non plus avoir des normales déterminées; mais* ces lignes sont remplacées par des plans menés perpendiculaire^ ment à leurs tangenteis , par les points de contact , et auxquels oir a donné le nom de plans normaux. On peut construire ces plans toutes les fois qu'on sait me^^ ner des tangentes aux courbes proposées^

109. Remarque générale. Les surfaces courbes peu*^ Vent être divisées en deux classes par rapport à' leurs plans tangens.

Dans l'une 9 le contact du plan tangent et dé la sui5* face prop)Dsée a toujours lieu dans toute l'étendue d'une' ligne droitCé Cette classe comprend' touteis les surfaces développlibIes> et ne comprend qu'elles.

Chacune des surfaces de Tautre classe n'a , en général ^ qu'un seul point de comfnun aviec son pfan tangent. .

Il suit de là que si l'on se proposait de mener des plans tangens aux surfaces courbes par &es points pris hors de ces surfaces y ou de les déterminer par des con«' âitions qui soicfnt étrangères à ces même» surfaces , le nombre des conditions ne saurait être le même pour une des classes de surfaces que pour l'autre.

l'entes les fois que le contact doit se faire dans une ligne droite , il est clair qi^il suffit d'un point ou d'une condition pour achever de déterminer le plan tangent ;

DES àlÀ^VSXB t>B oillMÂTRIC. Io5

ainsi il faat se proposer en générai de mener par mt point donné j un plan tangent à un cylindre, à un cône, ou à une surfece déreloppabte ; mais c'est par deux points ou par une droite donnée i qu'il faut mener un plan tangent à une surface de réyolution engendrée par une courbe. Nous ne ferons qu'indiquer la manière de résoudre ces questions.

Dans le cas du cjUndre^ il est elair que si Pon mène par le point donné une parallèle à la génératrice , elle se trouvera sur le plan cberché, puisqu'il doit toucher la surface proposée dans une ligne parallèle à cette droite; mais la commune section de ce plan atec le plan horizontal doit toucher la base du cylindre : il sera donc déterminé par la droite qu'on rient de mener y et par la tangente tirée du point oii elle rencontre le plan horizontal , à la courbe qui sert de base au cylindre: la question est donc réduite à saToir mener une tangente à cette courbe, par un point extérieur.

On appliquera ce procédé au cône, en menant , par le point donné et le sommet , la première droite dont ^ous ayons parlé.

Pour les aajpfeces déreloppablea en général , on cons* truira leurs intersections avec deux plans quelconques Inenés par le point donné; et si l'on peut mener par ce point les tangentes à ces sections , elles détermineront le plan tangent demandé.

Si la sur£ace courbe proposée n'est pas déreloppable, c'est par une droite qu'il &nt lui mener un plan tangent; et il est évident qu'il ne s'agit que de trouver sur cette surface un point pagr lequel on puisse mener deux tangentes qui passent par la droite donnée : elles détermineront le plan cherché.

Il est aisé de voir que ces droites peuvent être regardées comme faisant partie de deux surfaces formées par

to6 CPMFI«£m£NT

de^ droites assujetties à toucher la surface proposée > et à passer par la ligne donnée ; et yoici comment on peut construire ces surfaces» On coiiceyra une suite de plans menés suivant une certaine }oi\> tous horizontaux y par exemple ; et par {es points où ils rencontreront la droite donnée, on tirera des tangentes aux sections qu'ils font dans la surface proposée : les projections de tous les points de contact appartiendront à la courhe suivantlaquelle ostte surface est touchée par celle qui résulte de l'ensemble des tangentes dont on vient de parler. On prendra ensuite des plans coupans assujettis à une ^utre loi 9 verticaux et parallèles, par exemple , et l'on cherchera aussi la courbe de contact de la surface proposée et de celle qui résulte de toutes les tangentes menées comme précédemment , par des points de la droite don* née, aux nouvelles sections qu'on obtiendrait. IL est évident que chacun des points où les courbes de contact se rencontrent , est situé s.ur deux droites qui touchent la surface proposée, et qui passent par la ligne donnée : ces droites déterminent donc un des plans tangens demandés.

Si la surface proposée était de révolutmi et hvait son axe vertical, les sections horizontales seraient toutes des cercles, soit en elles-mêmes, soit dans leur projection ; et il serait facile de leur mener des tangentes par le point de la droite donnée^ situé dans le plan qui les produit. Quant aux plans ooupans verticaux, il faudrait les assujettir à. passer par Vaxe, afin de n'avoir pour toutes les sections que la courbe génératrice. Si Fon savait mener des tangenljjes à cette courbe par des points extérieurs, et qu'on projetât les contacts sur des plans coordonnés , on achèverait la soljition comme plus haut.

;iio. La division que nous venons d'établir dans les

DES ilÀUESHa DE &&)MiTRI£. ICy

sariaced , relativement aux plans tangens^ a lieu paiement par rapport k lenr eoarbure. On a dû remarquer que le cylindre i par exemple , avait un sens dans leqnel îl était privé de courbilTe , et c^est précisément le long de la droite génératrice. Cette propriété lui est commune avec toutes les surfaces développables; car étant touchées suivant une ligne droite, par un plan, elles n'ont aucune courbure dans le sens de cette ligne.

Il ne faut pas comprendre dans oette observation^ les surfaces décrites dans les n®* 89 et go, qui sont formées de lignes droites à la vérité, mais qui ne sauraient être touchées par un plan dans toute l'étendue de ces droites.

Il est bien vrai qu'en coupant les surfaces dont il s'agit, par un -plan mené par la droite génératrice, la section qu'on obtiendrait n'aurait pas de oourbure : nfiais il ne faut, pas confondre la courbure d'une surface avec celle de ses sections; car il est évident qu'en donnant certaines positions au plan coupant, on peut varier cette courbure par un même point, d'une infinité de manières.

De même que, dans les courbes planes, on mesure la courbure dans chaque point , par celle de. l'arc de cercle qui passe par trois points infiniment proches, et dont le centre se trouve au point de concours de deux normales consécutives, de même aussi, dans les sur£Ekces courbes, il faut chercher le point de concours de deux normales consécutives, et élever par ce point , perpendiculairement à leur plan , une droite , qu'on regarde comme l'axe de rotation d'un petit arc de courbe qui décrit l'élément de la surface ^ mais il faut que dans cet arc se trouvent aussi deux normales consécutives qui se coupent.

Toutes ces recherches , qui sont l'objet de l'analjse la plus délicate et la plus élégante, ne sauraient être traitées complètement par de simples considérations géo-

1 o8 complAmen t

métriques. Le» lecteurs trouveront dans. les Mémoire» de l'Académie de Berlin, année 1765, dans ceux deTAca* demie des Sciences de Paris» année 1781 , enfin dans le tome X des Sayans étrangers, tout ce qu'on peut désirer sur cette matière. ( Voyes aussi mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral^ tome I.)