NOTIONS PRÉLIMINAIRES

Js yais oommenoer par exposer en détail la manière dont on peut représenter , à l'aide de plusieurs plans, les difiérentes parties de l'espace, et en faire connaître les dimensions.

I. La position d'un point sur un plan est donnée toutes les fois qu'on connaît celle de deux lignes qui passent par ce point, puisqu'il ne peut être qu'à leur intersection.

Lorsqu'on a plusieurs points à désigner, le moyen qu'on emploie le plus communément dans les constructions »^t qui paraît le plus commode, consiste à prendre deux lignes, AB, AC, perpendiculaires entre elles, et auxquelles on rapporte tous les points du plan. Le p. point M, par exemple, sera donné de position, si l'on

Compl. de la Géom, 6* édit. z

a oouilMEirT

l^ig- »• connaît sa plus courte' distance à'ia ligne AB et sa plus courte distance h la ligne AC. En effet , si Ton prend AQ égale à la première^ et qu^on mène QM parallèle à AB, le^oint proposé sera sur cette ligne; il sera pareillement sur PM parallèle a AC, et qui enestéloi^ gnée dé la quantité AP| distance du point M ti cette dernière : le point proposé étant commun aux deux lignes QM et PM, sera donc leur intersection M.

De cette manière, on peut rapporter un dessin sur un autre plan, en établissant des directrices telles que AB, AC, et en mesurant les distances des points proposés à ces lignes*, il faudra seulement prendre ces diirectrices en dehors du dessin, ou remarquer de quel côté tombent les points que l'on considère.

2. Lorsqu'on embrasse les trois dimensions , ou qu'on Tcut faire connaître les corps, on suit une méthode ana« logue à la précédente ^ et qui est employée par les architectes eVles constructeurs en général ; c'est celle des plana j profils et élévations j et dont voici l'esprit.

Lorsqu'un point est donné dans l'espace, on peut abaisser de ce point une perpendiculaire sur un plan^ et marquer le point oii le plan est rencontré par cette perpendiculaire : ce dernier sera la projection du pre^ mier, sur le plan dont il s'agit; la longueur de la partie de la perpendiculaire, interceptée entre le point et le plan, sera la hauteur du point donné au-dessus du plan.

Supposons, pour fixer les idées, qu'on rapporte k un plan horizontal tous les points situés dans l'espace audessus de ce plan ; leurs projections se trouveront aux points où un fil-à-plomb, partant de chacun , rencontrerait le plan dont il s'agit; et les longueurs de ces fils donneraient les élévations des points proposés, au-dessus de leurs projections.

DES ÛLhSXSS SE oioMirRiB. 3

Il suffira donc y pour eu designer un quelconque, Bë marquer sa projection sur le plan horizontal /et defairiif connaître à part sa hauteur, soit çn écrivant le nombre^ de mesures linéaires d'une échelle donnée, qu'elle doit contenir, ou en fî:xant une ligne pour la représenter.

Mais si l'on avait beaucoufi j|e points à représenter de cette manière, la multitude des nombres ou des lignée qu'il faudrait écrire pour faire connaître leurs hauteun/ dciviendrait embarrassante; à la vérité, on pourrait ]è^ porter toutes sur une même ligne, qui serait l'échiellcJ des hauteurs. Ce moyen peut être employé quelquefois avec avantage; mais il a l'inconvénient de confondre lés hauteurs des différens points, sans avoir égard h la situation particulière de leurs projections : en voici un ant^é qui est exempt de ce défaut.

3. Si l'on conçoit que par une ligne quelconque du plan horizontal, on ait élevé un plan qui soit perpendi-» culaire à celui-ci , et que de chacun des points proposés, dans l'espace, on mène une perpendiculaire sur ce plan vertical, elle déterminera, par son pied dans ce plan, une deuxième projection du point donné, qui se trouvera placée, au-dessus du plan horizontal, à la içême hauteur que le point donné.

Ainsi, BAC représente le plan horizontal, DAB le Fig. i. plan vertical mené par- la ligne AB; du point M pris dans l'espace, on a abaissé sur le plan horizontal, la perpendiculaire MM', et son pied M^ est la projection horizontale du point donné.

Par Je point 'M, on a mené MM" perpendiculaire sur le plan DAB , et le point M' est la projection verticale de t% même point.

Les deux lignes MM' , MM' sont évidemment dans un même plan, puisqu'elles se coupent; la ligne M'iKf

4 COUnÀMBHT

Fîg- 3* ^'on mènerait dans le plan horizontal , perpendiculaî* rement à la commune section AB de ce plan avec le plan rertical, serait perpendiculaire à ce dernier , elle serait donc parallèle h MM", et ces trois lignes seraient dans un môme plan perpendiculaire à la fois au plan vertical et au plan horizon tal , puiaqu'il serait perpendiculaire à leur commune section {Crêom, ig6, 210). Il est évident que MM" est égale h MM^, et que par conséquent la protection verticale M'' est k la même hauteur au-dessus dn plan horizontal , que le point M.

En opérant semhlablement pour le point P, on aura 9eB deux projections P' et P''; et l'on voit que les projections verticales M", P''^ donneront les hauteurs des points proposés, au-dessus du plan horizontal, tandis que les projections M^ P', sur celui-ci , donneront les distances des points proposés, au plan vertical.

Cette manière de représenter les points situés dans l'espace est connue dans les arts sous le nom 4e méthode des projections.

L'architecte, pour représenter les parties d'un édifice , imagine d'ahord un plan horizontal, sur lequel il rapporte le pied des diverses parties qui composent cet édifice. Le dessin qui résulte de cette opération , s'appelle pkm géomJtral; et il fiait connaître la situation respect tivedes projections des points remarquables de l'édifice proposé, rapportés sur le plan horizontal, par des lignes perpendiculaireti sur ce plan , ou à-^plomb.

Pour achever de déterminer la situation* des points remarquables de son édifice , l'architecte conçoit eifsuite , par une ligne donnée dans le plan géométral , un plan perpendiculaire au premier ; et par conséquent vertical , sur lequel il rapporte les objets, à la hauteur oh ils sont placés au-dessus du plan horizontal. La figure qui en résulte s'appelle coupe ou profil j si elle passe dan^ i^j'in-

DES iL^MENS D£ oAoM^TBIE. 5

térieur du bâtiment , et éléifation^ii eUç p'en Ait Toir que les parties extérieur^* *^ •

Le profil , ainsi que l'élévation , AÔiftient: tes Wut£^rs de cliacan des points qulVy tt'OQrTeat «ontenuski. audessus du plan horisontal représenté par la ligpie de terre, on par son iutérsec^n atecle ]^an Tertieal sur lequel cette figure est construite; elle n'est dbnc^utre chose que l'ensemble des dSffârensYioitats remarquables, rapportés ou projetés sur un jdaA^ertioBlypar desiipies qui sont perpendiculaires à oeplaiijv'' ' •

Quant aux dimensions inclfivé&s^iir le profil et sur lie plan géométral, il est aisé de vdir qu'elles né sâuraieDt y être représentées dans leur longueur naturelle; ti c'est à les déterminer que s'applique la partie de U Géométrie que nous allons traiter.

Nous imaginerons donc que les p6int!< de Pespaoe sont rapportés à deux plans perpendiculaires entre eux^ qu'on peut se représenter par l'un des murs yerticaux d'une dbambre et par son plancher.

4- Gela posé, si l'on conçoit une droite située d'une pj. ^^ manière quelconque dans l'espace, et que de chacun de ses points on abaisse des perpendiculaires sur l'un des deux plans choisis, l'horizontal BAC, par exemple, toutes ces perpendiculaires, telles que MM% étant pa-^ rallëtes, et passant par une même ligne, se trouveront dans un même plan qui sera perpendiculaire au plan horizontal ( G^oiTz. ig4> ^ûg).

L'intersection M'N' contiendra éyidemment les pieds de toutes les perpendiculaires , et sera par conséquent la projection sur le plan horizontal , de la droite proposée MN.

On aura une image sensible de ce qui vient d'être dit, si l'on se représente une verge inflexible placée dans une

.6 COMPILAIENT

Fig. 9. chsMnbrei et de chacun des points de laquelle pendent des fils à-plomb jusqu'à la rencontre du plancber.

Concevons à pressent que de , chacun des points de la droite proposée^ on ait abaissé des perpendiculaires MM''^| sur le plan vertical BAD: elles détermineront un nouveau plan, perpendiculaire à celu^i-ci : Tui;! et l'autre se rencontreront s.u^T£^nt M^N" , projection de la droite proposée sur le plan vertical.

]5. JSfpus noipmerons plam coordonnés ou plané de projection, ceux sur lesquels on projette. Les plans formés par l'ensemble des perpendiculaires abaisiéës de la droite sur chacun, des plans coordonnés , seront dési-* gnés sous le nom de plans projetans*

Il suit de leur génération que tous deux passent par la. ligne, proposée y et par conséquent qu'elle est leur içoinmiine section, .

6. De là découle la manière dont une droite est déterminée, lorsqu'on a ses projections sur les plans coor* donnés. Il faut concevoir deux nouveaux plans élevés chacun perpendiculairement sur l'un de ceux-ci, et

' passant par les projections de la droite proposée \ leur rencontre déterminera cette ligne. En général, de même qu'un point est donné sur un plan lorsqu'on connaît deux droites qui le contiennent, de même aussi une ligne est déterminée dans l'espace lorsqu'on connaît deux plans dans chacun desquels elle se trouve.

Ainsi M'N' étant la projection sur le plan horizontal , **' 4- d'une ligne donnée dans l'espace, et Mï" sa projection sur le plan vertical , si l'on conçoit les plans G'^M'N' Fil/N" perpendiculaires, l'un au plan horizontal, et l'autre au plan vertical , leur rencontre mutuelle STN sera la droite proposée.