Il reste maintenant à donner les moyens de dé

/' D£S ^LÉMCNS DE oioMlATRIB. 7

terminer un plan. On sait que trois points en fixent la positibq /où y ce qui reTÎent au même , que deux droites qui -se coupent déterminent un plan {Géom, 198); nous dirons en conséquence qu'il est donnée toutes les fois que nous connaîtrons ses communes sections ^yec chacun des plans coordonnés^ puisqu'on aura deux droites par chacvne desquelles il doit passer. Le plan E'GF" est donné par ses communes sections GE' et GF"^ Fig. 5. avec les plans coordonnés BAC et DAB.

' Pour se peindre cette situatioli du plan proposé^ on n*a qu'& se représenter une espèce de toit^ placé obliquement an plancher et au mur d'une chambre. '

Nous ramènerons toutes les autres manières de déterminer un plan à la précédente , après que nous aurons établi nos conrentîons, soit pour les figures, soit pour le langage , afin de mettre le lecteur à portée de se peindre exactement dans leurs positions naturelles , les opérations que nous aurons à exécuter.

8. Gomme il e$t important de bien concevoir ces premières notions , j'inyite fe, lecteur à construire luimême en relief y avec des cartons, les premières figuras; et pour que cela lui soit plus facile, je les ai fait graver .en plein.

Lorsqu'on trouvera deux figures au trait pomr le même sujet, l'une sera en perspective, et l'autre exprimera la construction réelle, telle qu'elle doit être exécutée : dans la première , les lignes ou les parties de lignes marquées par des petits points ronds, seront celles qui sont recouvertes par des plans, et qu'on ne saurait voir qu'en supposant ceux-ci transparens.

. Pour aider encore à concevoir la position respective des parties de la figure, tous les points situés sur le plan horizontal sont désignés par des lettres marquées

8 COMPIi]ftBiENT

d'un accent; celles qui en^ portent deux appartiennent aux points du plan yeiiical; les lettres italiques oii penchées, sont suil la comn^UDe section de ces deux plans ; enfin les points de l'espaças portent des.ltttres non accentii4es^ ^ . >.; -

J'fKcepte de 4:ettei manière d^accentn^ ks quatre lettres A, B, C,>Dy constamment affectées anx lignes qui déterminent les plan» coordonnés ^^ ne pouvant , par cette raison > causer d!emberras.

Dans la figure de oonsUruction» les données et les ré*sultats sont toujours exprimés par des lignes tirées en plein, et celles qu'il. £ai|it mener pour la solution sont seulement ponctuées;, les lettres y sont d^aillei^rs les mêmes que dans. la figure en perspectiye.

Pour la construction , les deux pUns coordonnés n'en font plus qu'un seul; car on suppose toujours que le plan vertical ait tourné autour de sa commune section avec le plan horizontal, jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans le prolongement de ce dernier, ainsi qu'on le Toit, Fig. 6. f]g. 6. Dans ce mouvement, tonte ligne perpendiculaire à l'axe AB de rotation , télte que PP* , décrit un plan perpendiculaire à cet axe (^Géom. i^). H suit de là qu'elle vient s'appliquer dans la commune section de ce plan avec le plan horizontal, et par conséquent qu'elle tombe dans le prolongement de VP qui rencontre l'axe AB à angles droits, au point P.

Cette circonstance mérite d'être remarquée; car il en résulte que les deux projections d'un même point doivent se trouver sur une même ligne perpendiculaire à celle qui sépare, dans la figure , le plan horizontal du plan vertical.

Nous désignerons pour la facilité du langage , lorsque les circonstances ne s'y opposeront pas , sous le nom de plan /lorixontalj celui auquel les points de l'espace sont.

DES ihhVBXIS DE eioMtTRIE. 9

primitivem^it rapportés, «n sorte que tout plan perpendîculaine h celui-ci , sera un plan yerttcal : les avttes seront appelés en général pians inclinh.

Nos deux, plans cciorcUmnés serooit donc ^ Pan horizontal et l'autre vertical : les projections sur le prettiiar seront appelées projections JtortJBonsùaUs ^ et en effets elles se trouveront dans la situation désignée par le mot horùfonial; mais pour abréger, tious^ appellerotis aussi projections verticales cales qui sei^ent situées daiis le plan vertical , quoiqu'elles ne soient pas toujours dirigées verticalement ; car l'expression verticale emporte avec elle l'idée, d'une droite' perpendiculaire au plan horizontal, et le plus souVent, la projection verticale d'une ligne quelconque sera inclinée par rapport à ce plan : mais alors , il faudra seulement entendre que la projection dont on parle est faite sur le plan vertical.

nu PLAN ET DB I4A T4GNS BROITF..

■ Il

9* Un plan est ^nc donné, ainsi qu'on l'a vu plus haut, toutes les fois qu'on a ses deux communes sections avec chacun des plans coordonnés.

Lorsque le plan proposé sera perpendiculaire au plan horizontal , il est clair que sa commune section avec le plan yertical sera perpendiculaire à la ligne AB {Géom. 210); par conséquent le plan désigné par les lignes M''iV, IŒ\ est perpendiculaire au plan horizon* Fig. 7. lai ABC, puisque sa commune section M^iV^avec le plan vertical est perpendiculaire sur AB.

Le plan M"MMf (*) est perpendiculaire sur le plan

{*) La lettre M étant commane aux deox intersections du plan, pioposd avec les plans coordonnes , il est inutile de la re'pëter : ce plan sera donc désigné par M'il/M", et ainsi des antres.

10 CpMPLiMCnT

Fig. 7' Terticaly parce que sa oommane section ayee le plan liorâontal est perpendiculaire à AB.

I o. Puisque \m plans projetans sont perpendiculaires sur les plans coordonnés auxquels ils sont relatifs , il suit de là qu'un plan perpendiculaire à l'un des plans coordonnés peut être regardé comme le plan projetant de toutes les droites qui s'y trouyent placées; ainsi toute ligne située dans le plan M'MMf^ aura pour projection sur le plan yertical la ligne MM" : par la même raison , le plan N^JVTS', perpendiculaire sur le plan horizontal, serait le plan projetant de toutes les lignes qu'il contiendrait, et qui auraient Nl^' pour projection sur le plan horizontal.

II suit de là qu'une même ligne prise sur un des plans coordonnés, peut être la projection d'une infinité de lignes droites^ mais quand on embrasse les deux projections à la fois, elles ne sauraient convenir qu'à une seule droite. En effet, la ligne dont les projections sont M" M et iNTN', ne peut résulter que de la ^mmune section des deux plans projetans M" MM' et N^N'.

1 1 . Les points P" et P' sont ceux oii la ligne proposée rencontre le plan vertical et le plan horizontal; car le point P^, par exemple, étant sur la commune section ilf M'' de l'un des plans projetans avec le plan vertical, et se trouvant aussi dans la commune section lŒ" de l'autre plan projetant avec le même plan vertical , il est à la foi s dans la ligne proposée qui est la commune section des deux plans projetans, et dans le plan vertical. On raisonnerait de même pour le point P', par rapport au plan horizontal.

De là suit la manière de trouver le point oh. une ligne droite rencontre l'un des plans coordqnnés, quand on connaît ses projections. £n eâet, par le point 31 oh la

DES àhhuSSS DB GioMiTBIE. 1 1

projection verticale MM' reacbptre le plan horizontal , Fig. 7. menons la ligne MM', perpendicnlaîre à AB, elle ira couper la projection horizontale iVN' en un point P' , qui s«ra le pointoà la ligne propoeée renoMitre le plan horieontal : on opérerait de môme pour le plan Tertical.

Quoique tes diTerses. parties de cette opération s'exécutent sur plusieurs plans^ elles peuvent s'effectuer sur un seul de la manière suivante.

On concevra que le plan DAB ait tourné autour de ÂBy jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans le prolongement dti planBAG; aucune des lignes qu'il contient n'éprouvera de changement dans cette rotation , et l'on pourra exécuter les opérations qui y sont indiquées, comme s'il était relevé. 11 est facile de s'en convaincre en appliquant à la seconde figure les raisonnemens qui ont été £aits sur la première.

la. Remarque. Il pourrait arriver que les projections f>6- 8. MM" et N^" fussent disposées comme on le voit ici; alors la perpendiculaire NT^", élevée sur la ligne AB, ne saurait rencontrer la projection MM" , dans la partie BAD du plan vertical : cela veut dire que la ligne pro-posée P'P^ passe au-dessous du plan horizontal, et va rencontrer le plan vertical dans un point P'', inférieur à la commune section AB.

En général, dans toutes les constructions, il faut regarder les plans comme indéfinis ; et si l'on conçoit que DAB tourne autour de AB , la partie supérieure de ce plan s'appliquera sur l'espace ABE daiis le plan horizontal, et ]« partie inférieure viendra se coucher sur l'espace BAC : il faudra donc considérer la partie antérieure du plan horizontal, et la partie inférieure du plan vertical comme appliquées l'une sur l'autre, et il en sera de même de la

I a GOMPL^BIfiNT

Fig* ^« partie posjtérieure du plan horizontal, et de la partie supérieure du plan vertical. Cest alors qu'il est utile de distinguer par un caractère particulier , ainsi que je Pai fait y les points qui appartiennent au plan vertical; de ceux qui se trouvent sur le plan horizontal ; avec ce soîn^ on ne craint point de se méprendre. On voit dans l'exemple que fai mis sous les yeux, que le point P^, quoique dans l'espace BAC {%^ figure) , doit être considéré comme appartenant au plan vertical.

Si la ligne j au lieu d'être donnée par ses deux plans projetans, l'était par deux plans quelconques, on en trouverait les projections de la manière suivante, qui fera toujours connaître l'intersection de deux plans. >

PROBLÈME

i3. Deux plana étant donnés j trouver lea projection^ de la ligne qui est leur intersection.

On remarquera que lorsque les communes sections des plans proposés, avec un même plan coordonné, se rencontrent, le point où cela a lieu est commun aux deux plans proposés, et appartient par conséquent à la droite qu'on cherche.' Fîg. g. Soient donc MfMM" et N'JNTN" les deux plans pro« posés; il est clair que le point P^ est celui oii ces deux plans rencontrent à la fois le plan horizontal ABC : c'est donc un des points de la droite cherchée. Le point Q" appartient évidemment à la commune section des deux plans proposés avec le plan vertical; et par conséquent ce sera encore un de ceux de la ligne cherchée : la question est donc réduite k mener une ligne par deux points-, et il est évident que chacune des projections de cette droite doit passer par les projections que les points donnés ont sur le plai^oii elle se trouve. Mais le point P', situé dans le plan horizontal, n'a d'autre projectioii

DES £l£mENS de oéOMiTRIE. l3

qae Ini^mAme ; quant à la projection sur le plan horîzoïr* ^^* 9* tal du point Q'' qui est dans le plan Tertical^ elle se trouTera an point Q déterminé par la perpendiculaire Q' Q abaissée sur AB : menant donc par les points P' et Q une droite, ce sera la projection horizontale de la ligne cherchée.

Si nous rapportons maintenant le point P', sur le plan Tertieal; par la ligne V'P perpendiculaire à ce plan, nous aurons les deux points JP et Q" par lesquels doit passer la projection rerticale de la droite cherchée.

i4* Remarques. Si les intersections NTS' et MMf Fig. lo. des plans proposés ayec un des plans coordonnés, l'horizontal, par exemple, étaient parallèles entre elles, alors les deux plans se couperaient dans une ligne parallèle au plan horizontal , et dont on connaitrait un point, savoir, le point P'. Il est évident que cette ligne serait de plus parallèle à l'une et à l'autre des communes sections -ATN' , MM! , des plans proposés avec le plan horizontal; car si le contraire avait lieu, les deux premiers se rencontreraient dans un même point du troisième, et par conséquent leurs communes sections avec celui-ci ne seraient pas parallèles.

La question est alors ramenée à trouver les projections d'une ligne droite qui passe par un point donné, et qui est parallèle à une autre ligne connue j et nous la résoudrons bientôt.

Il peut arriver encore que les communes sections des Fig. 1 1 . plans proposés ne se rencontrent ni sur l'un des plans coordonnés, ni sur l'autre ; et ce cas se présentera toutes les fois que les plans proposés auront leur intersection / PP parallèle à la ligne AB. Pour trouver alors Tintersection des plaiis proposés , il faudra les rapporter à un troisième, que pour plus de facilité on supposera

l4 OOlfPLiMBMT

FIg. II. perpemliciilàîre aux. deux premiers plans coordonué». Nous ne nooB arrêterons pas h traiter ce cas en particnUer f .parce qu'étant unique , ou peut Fériter dans les ptemières.Qpérations'y et il sera fa^e dij avoir égard Icursqu'on sera âimiliarnsé areeles constructions qui yont suivre.

iS. Enfin il est aisé de voir qu*é les plans proposés geroni parallèles ehire euXj lorsque leurs communes sections avec chacun des plans coordonnés seivnt pa-rallèUs entre elles j sans Vêtre néanmoins à la commune section de ces plans ( Géortu 217 )•

PROBLÈME

16. Trotàfwr les projectionê de la ligne qui p€use par deux points donnés.

rfous at^ons, dans le problème précédent, fait passei:' une ligne par deux points y l'un situé danar le plan ho-^ rizontàly et Patitre dans le plan Tértical; mais si les deux points proposés étaient situés d'une maiifëre quel-* cdtique dans Fespaee , la construction ne serait pas dif-- Fig. 13. férente. Pour avoir les projections de la droite qui passe par ces deux points, il suffirait de mener dansr le plan vertical, une ligne par les deux projections verticales de têà pointa; ce serait la projection rét^ ticale dé la ligne demandée : une opération semblable^ sur le plan horizontal donnerait la projection hofi-^ zontale.

. M% If' sont les projections horizontales des points M > N , pris sur la droite proposée ; et M'V^'^ sànl leurà projections verticales* Si l'on Oonçoitqiie le plan proje^ tant MI9NW, qui renferme la ligne proposée , tourné autout de sa commune section M'N' avec le plan horizontal I et vienne se coucher suf ce dernier, les lignes

, DES hâmXNB DB oioM&TfilE. iS

MtA, m^y MNy ne cfaangeroAt point de gràndenir, Fig. 13. et fconsenreront la même sittaiitiôn par rappoti; à M'IT. n suit de là qae l'dn pent trouver la di^ance réelle des deux p6ints proposés, en élerant sur la projection h6<» rîzontaie M'N' , les perpendiculaires M'M , N'N égales à MMT et à ira".

On voit ici l'origine d'une méthode qui est toujours employée pour obtenir les dimensions réelles des parr ties de l'étendue , et qui consiste à rapporter ces parties sur le plan où elles se trouvent naturellement > ou sur un autre parallèle à celui- là.

17. i*' Corollaire, Ce qui précède nous fournira uUe manière de désigner une droite dans l'espace , qui peut être fort utile dans beaucoup de circonstances : c'est de concevoir le plan vertical passant par la droite , et de le faire tourner autour de la projection de cette droite sur le plan horizontal , pour le coucher sur celui-ci ; car on voit que tous les points de la ligne MN sont situés , relativement à ceux de sa projection horizontale' M'N^, comme ils le sont dans l'espacé.

Si l'on voulait avoir l'angle que cette droite forme avec sa projection horizontale, it suffirait de prolonger M^' et MN jusqu'à leur rencontre mutuelle, ou de mener , par un point quelconque de M^M^ une parallèle

àMN.

18. 2^ Corollaire» Nous tirerons encore de là la manière de trouver la position d'un point situé sur une ligne droite donnée dans l'espace , lorsqu'on connaît h pro« jection de ce point sur l'un des plans coordonnés , Tbo*rizontal, par exemple, et les projections de la droite. Soit N' Id projectioti horizontale du point demandé; on abaissera N'iV perpendiculairement sur AB, et élevant ÎŒ" aussi à angle droit sur cette ligne , lé

i6 compiJwiit'

Fi|^ i^ point N' fera la projection verticale da point eherdhé, et NS' en aeva la hauteur aur-deMoa du plan BAC. Dans la oooatraotioa véelle, il suffira de prolonger n^iV juaqu'à la r a n a o # t >a dt pla protection verticale M'M' de la droite proposée. .

19. JRemarque. Lorsque sur le même plan coordonné^ les projections de deox lignes se coupent, il n'en font pas condure que les lignes elles-mêmes se coupent aussi ; car il n'en est pas de Pespace comme d'un plan : dans ce dernier cas , deux lignes qui ne sont pas parallèles se rencontrent toujours; mais dans l'espace elles peuvent se croiser dans leurs directions sans se couper , passant, par esemple,. l'une au-dessous de l'autre, ou l'une à côté de Fautre. .''

Pour détenniner i^il y a intersection ou non , il fkut voir si le point de rencontre des projections Horizon—' Fig. i3 taies, et cdui des projections verticales de chacune des ^ '^* droites, peuvent appartenir à un même ]x>int de l'espace ^ c'est-à-dire si ces deux points sont dans une même ligne perpendiculaire à AB (8) ; c'est ce qui. n'a pas Heu pour les points P* et Q' de la fig. i3 , mais pour P^ et P'^ de la fig. 14. Il suit donc de là que les deux lignes représentées dans le second exemple se trouvent sur un même plan, et qu'il n'en est pas de même du premier exemple.

THÉORÈME

20. Lorsque deux ligneà sont parallèles dans l*es^ pacej leurs projections sur un même plan sont parallèles entre elles»-

Fig. i5. £^ effet, les deux ligne» NM' et QP' étant parallèles par hypothèse, et les deux droites NN' et (^^^ l'étant aussi comme perpendiculaires au plan coordonné AB , les pbMki proyetans M'UN^ et V()(i' seront né-

DES iLillEKS UK GEOMETRIE. l']

cessairement parallèles entre eux (Géo¥n.2iS), et cou- Kjg. laperont par conséquent le plan AB, suivant deux droites M^' et FQ^, parallèles entre éllea. Il est visible que ces droites seront les projections des proposées M^N et P'Q.

Réciproquement 9 lorsque les projections de deux droites sont parallèles sur chacun des deux plans coordonnés, ces deux droites sont^rallèles dans l'espace; car les plans projetans , perpendiculaires au même pjan coordonnéi passant par des projections parallèles sur ce plan, seront nécessairement parallèles entre eux: les plans projetans relatifs à Fun des plans coordonnés couperont donc les plans projetans relatif à l'autre, suivant quatre droites d'abord parallèles deux à deux , comme intersections de deux plans parallèles avec un même plan {Géom, 2i5) , et dont ensuite chacune sera parallèle a deux autres placées dans des plans contigus. Il suit de là que ces droites, parmi lesquelles se trouvent les proposées , seront toutes parallèles entre elles.

2 1 . Bemarques. Il est à propos . d'observer que le parallélisme de deux droites proposées ne saurait avoir lieu , à moins que leurs projections ne soient parallèles dans chaque plan coordonné; car elles pourraient Tétrc sur l'un d'eux seulement , et cela ne prouverait autre chose, sinon que chacune des droites est parallèle au plan projetant de l'autre.

Lorsque deux droites ne sont pas dans un même plan , on ne peut mener par l'une d'elles qu'un seul plan parallèle à l'autre-, et pour le déterminer, il n'y a qu'à imaginer, par un point quelconque de la première , une ligne parallèle à la seconde ; le plan qui passera par cette nouvelle ligue et la première sera celui qu'on cherche {Gèom, ai 8).

Enfin , pour que deux lignes dans l'espace soient pa-

Complém, de la Géom, & édit. 2

l8 COMPi«BMKNT

ralièles entre elles, il faut que chacune d'elles soit parallèle à deux planis qui ne le soient pas entre eux ; et alors une de ces lignes est parallèle à tons leç plans • qu'on peut mener par Paiitrei

PROBLÈME

aa« Mener ^ pcvr un point donné j wiê ligne paraUèie à une Hgnedohnéê,

Il faut y par les projections du point proposé , mener dans chaque plan iooordonné, une ligna parallèle à la phyjection it la droite donnée sûr ôe plan ; on aura aiiisi les projections dé la droite demandée. Fig. i6. P' ef P*' sont les ^projections du point donné; STM' N'^M' celles de la droite donnée: ainsi L'H', L*H' seront celles de la droite cherchée.

PROBLÈME

23. TVouper les projections d*unpoint lorsque Pon connaît trois plans j sur chacun desquels il est situé.

Nous ayons yu qu'un point était donné lorsqu'ou arait sa projection sur le plan horizontal et sur 3e plan vertical i mais un point est aussi donné quand on a trois plans qui le contiennent. Alors , pour en trouTer les projections , on cherche d'abord celles de la commune section de deux quelconques deâ plans proposés ; cette ligne étant coupée par le troisième plan, donnera, dans son intersection, le point demandé.

On parviendra au même résultat , en cherchant Pm* ' tersectîou de l'un des deux premiers plans avec le troisième ; on aura par là une seconde droite qnî sera daAs' le même plan que la première ; il sera facile de trouVer le point de rencontre d&.CQS deux lignes , par ce qui a été dit plus haut (i3). •/

DES ÉLÂMSNS bE okoMÛTRlE. «Ig

, IÏ0U9 n'entrerons pas dans le détail de ces diverses on&ratipnsi qui n'ancont point de difficulté, si on les exécute successiTement . comma il a été dit pour cha- . cune d'elles. On peut rendre le travail plus facile y en traçant au crayon toutes les lignes de construction , et ne mettant à î'çncre que les résultats : quand chaque opération partielle est finie , on efface les lignes qm s'y rapportent, et la figure alors n'est pasi compliquée.

' a4« R^Jnarquês, La inaniëi:e la plus simple de faire connaître un point en employant trois plans ^ est de les supposer perpendiculaires entre eux ; et cela revient à donner les distances- du point proposé à trois autres plans parallèles à ceux-ci.

£n. effet, si l'on conçoit trois plana BAC , BAD et Fi<r. in. DÂG, perpendiculaires entre eux , et qu'on sache qu'un point M de l'espace est plàéé à une distance MM' du premier , MM" du second , et MM" du troisième , il siiit de la propriété qu'ont deux plans parallèles d^étre également éloignés Fun de l'autre dans tons leurs points, quç si , aux distances données, 'on mène les plans M^MM", MTVIM', M'MM', respectivement parallèles à chacun des plans BAC, BAD et DAG, le point proposé se trouveira dans leur rencontre mutuelle.

lies plans M"TVÎM% M^MM', M^MM' formant, Avec les plans coordonnés BAC, JBAD, DAG, un parallé* lépïpède rectangle. Si l'on. mène la diagonale AM' dans la &ce horizontale , on aura , comme on sait ,

mais à cause des parallèles , MW est égale à MM'', et AJd l'est à MM" : par conséquent

ÂM'WMSP+Mftp!

La diagonale intérieure AM , menée du point de

Fig. 17. rencontre des. trois planftcoordonaés^ au point proposé, est évidemment rhy;poténuse d'un triangle rectangle AM^M , et par conséquent .

"ÂmWaM' + MM*;

mettant au lieu de AM'^ sa valeur j trouvée plus haut ^ il en résultera

-f-a fl

AM=M]Vr+MM'' + MM*:

ce qui fait voir que le quarrê de la distance d'un point quelconque de t'espace à celui où les trois plans coor" donnés se rencontrentj est égal à la somme des quarrés des distances du point proposé à chacun de ces plans.

Trois plans qui se coupeut forment huit angles triëdres, dans chacun desquels on peut trouver un point semblablement placé; mais en désignant de quel côté de ces plans tombent les distances données , on particularise l'angle triëdre que l'on considère.

Lorsc{u!un point est donné par une ligne et un plan^ cela revient au même que s'il était donné par trois plans ; car U faut employer au lieu de la ligne donnée ses deux plans projetans.

PROBLÈME

a5. Tromper l^ intersection d'un plan et d'une ligne droite.

On cherchera l'intersection de l'un des plans projetans de la droite donnée avec le plan proposé ; la ligne qui en résultera, se trouvant à la fois sur l'un et sur l'autre de ces plans , rencontrera la ligne donnée dans le point où celle-ci coupe le plan proposé.

Fig. x8. Toutes ces opérations peuvent s'exécuter successivement par ce qui a été dit, n** i3 : N"OM' représente le plan doniié; Q(^" et N'M! sont les projections de la