DES ELÉMENS DE GEOMETRIE
droite dont on cherche là rencontre avec ce plan : par Fig. 18. conséquent N**NM.' est Punde deà ^ian» projetans^ celui
((ai est perpendiculaire au |ilati''liotSEOiltaii; ^' ®^ ^^ sont deux points de la comtdtine section de ce plan avec le plan donné iN^M est donc la projection de l'intersection de ces plans , sur le plan vertical , et P'' la projection , sur le même plafn , ^à pdint "ée rencontre de la ligne qu'on vient de déterminer et delà ligne proposée, ou, ce qui revieot au mjëiçiey de l'intersection du. plan dpnné avec cette dernière.
Si l'on mène P"P' perpendiculairement a AB, elle déterminera, sur NMfy le point P', projection horizontale du point demandé. .
' PROBLÈME
26. Connaissant' les comn^unes sectioîîs d'un plan avec chacun^ des plans coordonnés, construire ce plan, c^est'à'dire trouver j pour chaque point du plan hori" zontalj la hauteur de celui qui lui correspond dans le plan incliné»
Soit G'GN'' le plan proposé, et M' là projection ho- Fig. 19. rizontale du point cherché*, si,'piir cette projection, on mène JVTiV parallèle à la commune section Q/G du plan proposé et du plan horizontal , et que > sur cette parallèle, on conçoive un plan vertical M'NN'y il rencontrera G'GN", dans une droite MN" parallèle aux droites G' G, M'N {Géàm.j 2o3, 2o4), et'jpar consé^ quent aussi au plan horizontal. Tons ses points seront ' donc à la même hauteur au-dessus de ce plan ; et il suffira de trouver le point 1^'' où elle rencontre le plan coordonné DAB ; ce qui se fera en élevant sur AB , la perpendiculaire A^N" : ce sera la hauteur de tous les points de MN" au-dessus du plan BAC.
32 COÈÊElÉMEiHT
Fig. ig. Si l'on mène N'M'' pftvallUoai AB , et M'M' fNsrpepdiculatre à celte lîgAe, kr|Kiiiit M" sera la iNrojeclion yerticale du point cbérclié^ /
27. Pour ayoir ^'.^1^^, que le plan incliné G' GS" fait aTec l'horizontal iBÀ.G, qf^ imaginera | du point M^dans le plan boridtpntal Qt^du point M qui lui correspond dans le plaxi inctin^i.çlea pfvpendiculaires abaissées sur leur coai9)ui^e section </Q,^*, files formenmt le triangle rectangle M'G'M , dans lequel on connaîtra G'^M' et M'M , et que Toa, pourra p^r conséquent construire : r^ngle M'G'M sera Tanglo dlicirclié. ,
a8. Remarques. Connaissant Fangle M'G'M et la commune section G'^G du plan proposé avec le plan BAC y on pourrait encore construire ainsi le premier : par le point M', pris à volonté sur le plan horizontal ^ on mènerait iVM' parallèle a GG'^ et abaissant la per« pendiculaire M'G', sur GG', 6n ferait l'angle MG'M' égal à Tanglé donné; pai- cette opération^ la hauteur MM' du point M^ au-dessus du plan horizontal, serait déterminée.
2g. Cette manière de donner le plan x^'est pas difiPé» rente de la précédente ; car alors le plan horizontal veste kmémci et lé plan vertical se trouve perpendicnlaire à Ia> commune section du plan horizontal avec le plan incliné : On {ùrend donc, au lieu du plan de pro^ jection BAD , le plan M&M'.
MG' est la distance du point M à la commune section du plan G'GN'' avec le plan horizontal ; et comme elle est prise perpendiculairement à GG', il s*ensuit qu'en faisant tourner le plan proposé autour de cette dernière, pour le rabattre sur le plan horizontal, la droite G^M viendra se coucher sur G'M' (8) : le point M toin-
DES éLéM£MS:iWI>/i^PM£TBI£. ^3
bôm aloM ea m. En opàranb 4^. môinc suj; plusieurs Fig. 19. point! ^ m trouverait leur» pôritîw^ re»pectite^ ^aps le plan G'GN" qui les contient, teuy^ .. ■• »
3o. Si , connaissant l'angle MG'M' et la commune section G' C du plan G'GN^'^eeïè j^an liomontal, on voulait' trouver celle du jirfeimîèr aVtec le plan vertical > on y parviendrait ' en mehatit i^àriln poitit quelconque W de làiîgne M'G' perpéhffidtilaïrekG'G; une parallèle à cette dernière; el par lé pbînt iVWi elle rencontre^ rait le plan vertical , on élèvct-aît im" perpendtcrfaire sur AB et égaleà M'M-, par le point «"ainsi trotivé et le point G , on mènerait GN*, qui serait la commune section cherchée ("). . , '
PRQBLÊME. ,
1^1^' Mener^ far un poitit donnée un plan parallèle à un plan donné.
D'après ce qui a été dit, n° iS^ les communes sectiops du plan cherché i^vec, les plans coordonnés doivent être parallèles à celles de ces derniers avec le plan donné : il ne s'agit donc que d'en trouver un point pour pouvoir les mener. Or, si l'on conçoit, par le point proposé , une droite parallèle à la commune section du plan cherché avec le plan horieontal , elle sera tout entière dans le plan cherché , et elle rencontrera le plan vertical dans un point qin sera placé sur la commune section de l'un et de Fautre de ces plans.
('*') 11 est aisé d^eraplpyer cette construction à la recherche de ris • tersection de deux plans qui se coupent dans une ligne parallèle à AB (t;oy. n«» 14 ), car elle otfre le mttytn de traw^ftorter les données sur un plan vertical autre que celui quVn avait choisi d'abord pour l\nD des» plans coordonnés^
24 c^hmxlIaisnt
Fîg. 30. Pour &ii*Q. 4vB^Ucatip;i,,4e Ofi qui précède» soit M^MM" le pl^n4wfiP.» P'.e.t P*' les projections du point donné ; on p^ive;:^. P'^ {pajTiatlële à M'Jf; élevant ensïute HE" p^UèJ^,^t ég^le k.Pf\ le point F sera le point de renc9^J,f ç ^H pU^^ T^icVical et de la ligne menée \ par le point donné , parallèlement à M'Jf : il appartiendra donc à la commune action du plan cherché ayec le plai» yertîoaliDABv.et ]ï"vM passant par le point £' et parallèle à M^My sera cette commune section (26).
Par le point. iVl^on .ipèBera.i>rN' parallèle à MM' ; ce sera la cQivvnuiiQx/Bection du plan cherché avec le plan borîso^t^L.
THÉORÈME
32. Une ligne et' un plan sont réciproquement perpendiculaires , lorsque les projections de cette ligne sur le plan horizontal et sur le plan vertical sont respec^ tipement perpendiculaires aux intersections du plan proposé Qpec ces mêmes plan^,
•Ea effet ^ la ligne proposée et sa projection sont dans un même pian qui est perpendiculaire à la fois à celui sur lequel on projçlte et au plan proposé ; donc réciproquement le plan proposé ejt le plan sur lequel on projette sont perpendiculaires au premier ; leur commune i^ction lui sei*4 donc pf^rpendiculaire , ainsi qu'à toutes les^ iigp^i^f qiû pas^n^t p^ son pied , et la projec« lion est \ine de cqs lignes. , ,.
Fig. ai. Ainsi la ligne L'H /étant per.pendiculaire au plan incliné M']V{M% tout plan p^a^nt par cette droite sera perpendiculaire. à. celui-ci; Jie plan projetant VB^t remplira doue c^tte q>i|ditiQi\.j mais, par sa définition, il est perpendiculaire avi plan j^orizontal BAC : donc ce dernier et le plan iiicliné luvserpnt tous les deux perpendiculaires. ljeur,jQ9]i(i,a;iiVie seplion M'M jouira au$si do
DES ÉLinceNeF A^'Oft^^HÉTRlE. aS
céMé propriété, et elle titeAéirk 'à''à'*jgW droîfe sur Fig. tatffeé^les Itgiiés menées par sôb piéf<f'daiiié'Ié' plan dont oh vient de parler: elle iè^tf'doiic ]|iek*béh^)3!culaire à LT*r, projection Horizontale flè là 'drôWîilH. On raisotinerâît de même pour la jï'rdjffètibii ièHlIcfeile.
33* Mener j par unpwUMnrÙ^mnê^ti^iéperpendi' culairê à un plan donnée -* ' f/ <
Il fauttnener,de chacune ddsprc^tions^ ce point, Fig. 11. des perpendiculaires sur les eoi]tlmuné9 scfetions du plan proposé a?ec les plans coordonnés; et ceaperpendiculaires seront les projections de la ligne cherchée.
1J et L'' étant les projections du point donné , UIÊ! et L'E^ perpendiculaires, l'une^à M'ilf , iVutre a WM, seront les projections de la ligne chercliée; qui passe par le point donné, et est perpendiculaire au plan M^iRf M^.
PROBLÈME
34. Mener, par un point donné ji un plan perpendi^ culaire à' une droite donnée.
D^aprës'ce qui précède, les communes sections du plan cherché, avec chacun des plans cckirdonnés , doivent être perpendiculaires ^lir 1^ 'ptoje<ïtions de la droite donnée : si donc ?ôn; eonçbit un ^Iftm dont les communes sections satisfassent à îcette'oondition , il ne s'agira plus que d'en mener un aiitre oui lui soit parallèle*, et qui passe par le point dbnné. ' ^
Pour effectuer cette cbtistniction , on mènera per- Fig. a3. pendiculairemënt à ^M' et par P', profections de la ligne et du point donnés', la dwité FÇ iqulsera parallèle à fa commune section du plan' cherché avec le plan horizodtal. Si on la regarde comme là' protection sur le plan horizontal d'une ligne qui lui soit parallèle , et qui
26 OOMPUbCBHT
Fig. 33. pasie^pér le ^pùintdaaaé, on conttraîra, comtoe onl'a fait (3i), k réHoontre Q* de œtte demikre «Tac le platt Terlio«l:; etvitoaiit |Mur ce points Q'Jtf' perpeiidioalaire à fiH% <^ «erà k .oommiiiie section du plui dbercliéy areo le pba yertic^l : la ligne AfM^ perpendiculaire k FMf sera sa . commune section ayec le plan horizontal.
Je'ne'n/ai^tèrfti pftftà déterminef» le poinl oh la perpendîcidàfreneiiconCre le plan donné j otteelâ r<e- TÎent à trouver Tintersection d'une ligne et ^nn phta , problème résolu n® aS': ^connaissant ce point , ainsi que celui par lequel a été menée la perpendiculaire , on en trouvera làl'ohgueur par' ce qui a été dit n^ i6.
35. Memarque» Les deux probtëmes précédons peuvent être posé« et ré^Jus d'une manière plus simple , qu'il ^st bpn de connaître*
Dans le premier |OJi il s'agit de mener par un point proposé une ligne perpendiculaire à un plan , ce plan pect éti^e demie par son indiinaison sur le plan horioontal et par la ligne suivant laquelle il le rencontre»
Fig. 34. Ainsi L étant la projection siûr le plan liorizoiital> du point p&r lequel on vent mener une ligne perpendioii^ laire au phn M-MW , il faudra tirer <le ce point «ne perpendiculaire LM à la droite M'ilf ; ce sera la projection horizontale de la ligne cherchée^ qui doit se trouva elle-même dans le plan vertîcaj élevé sur cette projection. En le prenant pouf upi des plans coordonnés, on y construira le point L' placé à une hauteur LL" audessos de saprojection ^ égale à celle qu'on connaît; et menant L^O" perpendiculaire à M" M, ce sera la ligne demandée , et en même temps la plus courte distance du point donné L'' au plan ^'SïW. Suppos^ntf qu'une ligne soitdpnnée par aa projection
BSS BubmW^-DB )CdboM£TBIE. 1A*J
hdrifontdb LM ^ et jMur sairitoatiioii wspcctifeiaeiit à Fig. 3J. catteifMrojeetkiD , dam le |>kn>TeDtiind«ïDAB> et qu'on ▼miU^loî^méner im pl«]itpee{ieiidkiil«i»d, ^ar tm point donné; P' étant la projectiom de ee poinftf sur le plan horizontal i on construira sa projeedbioa verticale Vf et mei^int P^O'' perpendiculaire*4ur ÎÊL''^ dà aura la œmrmune section du plan demandé arec le plan T^tical ; on élèvera ensuite Mtl^ .perpei)diQuUtre à E^, ce sera là coimmune section do o^màwM pla««?ec ]^ ^lan horizontal. ... • » . •
PROBLiËME.
