CHAPITRE III
quelconque des sections droites est proportionnelle à Taire de cet élément et à sa déformation mesurée par l'expression ar : L où r est la distance à Taxe de torsion, L la longueur du cylindre. Le couple dû à cet élément est donc : r. d(o. ar : L. Le couple résultant est enfin l'intégrale appliquée k toute la section droite
fJLOC
L*intégrale // r® do) représente le moment d'inertie de la section droite par rapport au point O qui est la trace sur cette section
//rîd
de Taxe de torsion. Il s'agit de définir la position de ce point. Nous poserons qu'il est tel que, si on y transporte toutes les forces résultant des déformations, la résultante de ces forces soit nulle.
Soit O ce point ; menons deux axes rectangulaires quelconques Ox et Oy et projetons toutes les forces sur ces axes. La force qui résulte de l'élément dio, est égale à rdw, au coefficient (xa : L près. Ses projections sur les axes x et y sont xdw et ydw. Les conditions pour que la résultante soit nulle sont donc :
// X do) = o, // y dû) iz o ; les intégrales étant étendues à toute la section droite.
Ces conditions définissent le centre de gravité de cette section.
Appelons I le moment d'inertie de la section droite par rap-
IS-'^i
port à son centre de gravité (c'est-à-dire pas rapport à une droite normale à la section droite et passant par ce centre de gravité — droite qui n'est autre que Taxe de torsion : ce moment d'inertie s'appelle quelquefois le moment (Tineriie polaire)^le couple résultant de la torsion a pour expression définitive :
jxal
TZ
Dans le cas du cercle, I = — - R*. Substituant dans l'équation
précédente, nous retrouvons la formule du n^ 37, qui est rigoureusement exacte. Mais dans tous les autres cas, la formule que nous venons d'établir est inadmissible à moins qu'on ne l'applique à un polygone régulier différent très peu d'un cercle. Nous en avons parlé parce qu'elle se trouve dans les traités de résistance des matériaux et pour mettre le lecteur en garde contre son emploi. Les hypothèses que nous avons faites sont fausses : les sections droites se déforment et ne restent plus planes pendant la torsion.
On connaît des formules plus exactes.
Ainsi pour une section elliptique la formule précédente donnerait :
