CHAPITRE III

Toutes ces raisons justifient Temploi du module d'Young pour les métaux et les corps très peu déformables.

36. — Cas où l'emploi du module d'Youns: n'a pas d'intérêt ou devient un non sens. — L'emploi du module d'Young devient un non sens quand on sait, d'après la nature du corps déformé, qu'il n'est pas homogène dans toute la section droite, puisque l'explicitation au dénominateur de So est légitimée précisément par cette hypothèse. Il est donc absurbe de parler du module d'Young d'un fil de soie par exemple, serait-il réduit à un seul fil élémentaire, à ce qu'on appelle une bave. L'assimilation d'une bave à un cylindre homogène plein est absolument inadmissible, alors même qu'on supposerait, (ce qui est faux) la section constante d'un bout à l'autre de la bave. Si le fil étudié est homogène par rapport à la longueur seulement, on peut encore expliciter celle-ci et calculer le nouveau paramètre,

dP

Lo : mais ce calcul n a pas d'intérêt pratique ; dans les cas

dL

que j'envisage en ce moment, il importe seulement de connaître le quotient dP : dL.

Considérons donc le cas où le cylindre déformé est parfaitement homogène; l'emploi du module d'Young n'est pas absurde; toutefois, il ne se rapporte à aucun phénomène intéressant. Nous verrons en décrivant les méthodes d'étude des déformations parfaitement élastiques, qu'elles correspondent soit à la mesure

dP

du quotient E zz . (méthodes directes), soit à la détermi-

dL

nation de la vitesse de propagation d'un ébranlement longitu-

L dP

dinal qui dépend de l'expression : — — , -— - .

Or si dans le cas des métaux les déformations sont assez petites pour qu'on puisse considérer comme identiques les quotients L : S et Lo : So, il n'en est plus ainsi pour des corps comme le caoutchouc où l'allongement L : L© = A peut être égal à 7 ou 8. On se trouve donc en présence d'une difficulté dans la définition du module.

Toute discussion à ce sujet est d'ailleurs rendue vaine par le fait suivant: que Von prenne l'une ou Vautre des définitions du w*35, le paramètre E n^est pas constant même approximativement. Nous n'avons donc qu'à déterminer (nous verrons plus loin avec quelles précautions) le quotient dP : dL, ou l'expression L. dP: s. dL, suivant la méthode utilisée, sans nous soucier de donner

à ces quantités un nom spécial, ou de leur attribuer une importance particulière qu'elles n'ont pas.

37. — Phénomènes de torsion. — Module de Coulomb. — J'ai montré au n* 31 que le couple qui résulte de la torsion d'un cylindre circulaire, est donné par la formule due à Coulomb:

C ^ ~ . pt- «■ — 1^ . Nous appellerons le paramètre [i module

de rigidité ou module de Coulomb.

II est clair que l'emploi de cette formule, et par conséquent la définition du paramètre }j., n'ont de sens que si la torsion se fait suivant les lois que nous avons énoncées plus haut (n" 13 et 31). En particulier le calcul du module |i est impossible dans tous les cas où nous savons, par la nature du corps déformé, qu'il n'est pas homogène dans une section droite. Par exemple déterminer le couple C en fonction de l'angle a pour un fil de soie, même réduit à une seule bave, mesurer tant bien que mal te rayon puis appliquer la formule précédente et calculer une valeur de jx, est purement et simplement absurde.

Dans le cas où il s'agit d'un tube dont les rayons intérieur et extérieur, sont Ri et Rs, les mêmes raisonnements donnent la

formule : C — -j- . ~ — (R^ — R,). Cela revient à supprimer

du couDle produit par le cylindre plein Ra, le couple produit par le cylindre plein Ri qui remplirait la cavité: ce procédé est légitime, puisque l'expérience montre que les tubes élémentaires infiniment minces concentriques ne réagissent pas les uns sur les autres.

38. — Qénéraiisation de la formule de torsion. — Nous allons chercher l'expression du couple résultant de la torsion d'un cylindre dont la section n'est pas circulaire. Les hypothèses que nous allons faire sont loin d'être rigoureuses ; à peine sontelles suffisantes pour les déformations parfaitement (élastiques toujours petites de cylindres dont la section est voisine du cercle. Nous supposerons: i" que la torsion se fait autour d'une droite parallèle aux génératrices du cylindre qu'on appelle axe de torsion et qui reste droite pendant la déformation ; a* que les sections droites du cylindre ne sont pas déformées pendant la torsion, mais ne font que tourner les unes par rapport aux autres : toute parallèle aux génératrices se transforme donc en une hélice.

Il ne nous reste plus qu'à transporter dans le cas général les hypothèses du n* 31. La force due à chaque élément dui de l'une