CHAPITRE IV

soit à la torsion, la période est toujours nécessairement assez grande, puisqu'il faut avoir le temps de faire une lecture à chacun des bouts de l'oscillation. Elle est de Tordre de 30** au minimum, à moins d'employer un enregistrement photographique.

51. — Méthode dynamique. -^ Je vais expliquer la méthode dynamique sur le cas particulier de la traction. La solution s'applique aussi bien à la flexion et à la torsion ; il suffira de changer Je sens des symboles.

Parvenu {fig, 29) en un point B d'une courbe de traction, maintenons fixe l'extrémité supérieure du cylindre déformé et constante la charge P librement suspendue ; admettons qu'il ne se produit alors aucun allongement consécutif. Ecartons la charge P de sa position d'équilibre ; elle y revient en oscillant. Cherchons l'équation différentielle du mouvement. Appelons u l'écart à partir de la position d'équilibre, M la masse du corps suspendu, m le module brut d'élasticité ; supposons qu'il se produit un frottement proportionnel à la vitesse de déplacement du : dt.

Admettons enfin que la vitesse v de propagation d'un ébranlement longitudinal soit telle qu'une déformation se propage d'un bout à Tautift du cylindre tendu en un temps très court par rapport à la période d'oscillation L'équation du mouvement est alors :

M-^+mu + f — =0

On ne voit pas tout de suite la nécessité de la deuxième hypothèse : la voici. Ecrire, d'après la définition du module brut, qu'à chaque instant la force qui résulte de la déformation est représentée par mu, n'est légitime que si Ton suppose la déformation totale se partageant également entre tous les éléments du corps déformé. Comme nous le verrons plus loin, cela revient à admettre que la déformation varie lentement par rapport au temps nécessaire pour que les déformations s'équilibrent le long du corps ; l'énoncé donné plus haut exprime le même fait d'une manière plus précise.

L'équation précédente admet comme intégrale :

u = Uoe" sin wt, avec les conditions :

A=-— -, oj = -=-, T =27cM. ~

8o ESSAIS DES MATÉRIAUX

Nous avons donc affaire à une oscillation sinusoïdale amortie. Déterminons la loi d'amortissement. Les élongations maxima, c'est-à-dire les distances les plus grandes de l'extrémité inférieure à sa position d'équilibre, correspondent aux valeurs du temps t

pour lesquelles sin wt =^ ± 1 : on a généralement t = (2K + 1) -7-

Posons to = -7- et ne considérons que les élongations maxima

du même côté de la position d'équilibre ; elles ont pour valeur :

— Xto Xio — Xr — Al.— sXr __,

UoC , UoC , Uoe , etc. Ellc% forment une

— Xr firogression géométrique décroissante dont la raison est e

Soient ui et us deux élongations maxima consécutives du même

Xt' côté de la position d'équilibre : ui : U: iz e . Développons

l'exponentielle en série et bornons-nous aux deux premiers termes ; il vient :

tii ui — 119 fT'

— =: 1 H-XT\ — — ^\T= ^ = 1

On va comprendre tout de suite l'intérêt de ce calcul. Comparons la période T' à la période T qu'aurait l'oscillation si f était

nul:T= ItzK/ — .

On trouve aisément : -— =: 1 + ^w^- Supposons que soit

par exemple de l'ordre de 0,1, ce qui correspond pratiquement à un amortissement déjà considérable; il vient : T' : T = 0,0005 environ.

En définitive, avec les hypothèses faites, l'amplitude, des oscillations diminue en progression géométrique ; la durée d'oscillation T* est pratiquement identique à ce qu'elle serait si l'amor-

tissement était nul ; on a : T = T = 2t\/ .

Donc la mesure de T' permet de connaître le rapport M : m,

et par conséquent le module brut, si M est connu d'autre part.

En tous cas, M demeurant constant, la mesure de T' permet

d'étudier les variations relatives de m.

Nous négligeons dans le calcul précédent la masse du cylindre déformé, parce qu'elle est toujours très petite par rapport à M, dans tous les cas où la formule est applicable.