CHAPITRE VII
admettons qu'elles sont uniformément réparties sur les faces et, par conséquent, proportionnelles à Taire de celles-ci.
Sur les faces perpendiculaires à Taxe des X, sont appliquées deux tensions Fxdydz, F'xdydz. Nous admettons que les composantes Xx, Yx, Zx de Fx sont des fonctions continues de x, y, z; les composantes de F'x ont dès lors pour expression :
/Xx - ^ dx) dy dz. - (yx - -^ dx) dy dz,
— (z, -i?L dx)dydz.
^ Dx /
On a des expressions analogues pour les composantes sur les autres faces.
Ecrivons les conditions d'équilibre. Admettons qu'outre les forces précédentes s'exerce une force proportionnelle au volume et dont les composantes sont
Xodxdydz, Yodxdydz, Zodxdydz
La somme des forces parallèles aux trois axes est nulle.
-|-Xo = H-Yoïi^O (I)
-h Zo =
îx Jy Dz
La somme des couples autour d'un axe quelconque est nulle. Cette condition fournit les équations :
Xy = Yx, Y, == Zy, Zx = X^. (2)
On pose d'habitude : Xx = Ni, Yy = Ni, Z, = N3; ce sont les composantes normales aux faces ;
Xy = Yx = Tzy Yi zi Zy zn T^, Zx ir Xi zi Tj.
Les axes des couples dûs aux tensions tangentielles Ti,Tiet T3 sont respectivement parallèlles aux axes de coordonnées Ox, Oy, Oz.
En définitive, les tensions sont complètement connues quand on se donne 6 fonctions de x y z. La proposition précédente est la généralisation du théorème d'hydrostatique par lequel on prouve, en se basant sur l'hypothèse de la fluidité : que les couples sont nuls et qu'il n'y a à considérer qu'une pression
jXx
DX
DXv
DXx Dz
DYx
DX
DYy
DYz Dz
DZx
DZy
dz.
dp
normale p. L'équation unique d'équilibre devient --p-f- Z^ — o.
90. — Equilibre du tétraèdre élémentaire. — Considérons un tétraèdre dont trois faces sont parallèles aux plans de coordonnées. Isolons-le du reste du milieu. Soient X, Y, Z, les composantes de la tension appliquée sur la face triangulaire ABC dont s est Taire; soit m, n, p, les cosinus des angles que fait la normale
ormau
à cette face avec les axes de coordonnées. Les aires des autres faces sont : OAB^rsp, OACzzsn, 0BC=:8ni. Ecrivons que la somme des forces parallèlement aux trois axes est nulle ; il vient :
X zz mNi + 11X3 + pTg
Y - mTa + nNa + pTi (3)
Z = mXa -|- nTi -f- pNs
91. — Pressions qui s'exercent sur les divers plans qui passent en un point d'un milieu déformé an voisinasre de ce point . Pressions ou tensions principales. — Les équations (3) nous fournissent immédiatement la solution du problème : le petit plan considéré passe par le point invariable x y z, sa direction est définie par les cosinus m n p, et les composantes de la
