CHAPITRE VII

force sont X Y Z. On peut représenter géométriquement et de bien des manières les variations de ces composantes quand m, n, p prennent toutes les valeurs possibles compatibles avec la condition in2-|-n*-+-p2= I. Suivant le procédé choisi, on définit Tun ou l'autre des divers ellipsoïdes d'élasticité.

Nous n'insisterons pas sur ces représentations. Sans passer par leur intermédiaire, on démontre directement l'existence en chaque point de trois directions formant un trièdre trirectangle et telles que les tensions ou pressions ABC parallèles à ces directions, sont normales aux faces sur lesquelles elles s'exercent. On les appelle les tensions ou pressions principales.

Soit A une de ces tensions; pour la déterminer, écrivons les conditions :

XizmA, Y = nA, Z=:pA, qui expriment la perpendicularité à la face. Le système (3) devient :

m (Ni — A) H- nTa + pTa =

mTa -f- n (N2 — A) + pTi r-r (4)

mTï -+- nTi -I- p (N3 — A) zi:

Eliminons m n p entre (4) et l'équation m^ -f- n* -#- p2 zz 1.

Nous trouvons une équation du troisième degré dont les racines sont toujours réelles, et qui fournit les inconnues A, B, C. Ces quantités une fois calculées, transportons Tune d'elles dans le système (4); nous déterminons les valeurs correspondantes de m, n, p fixant sa direction. Par des procédés bien connus, on prouve que ces directions forment un trièdre trirectangle.

Prenons les trois directions comme axes de coordonnées : les équations (3) deviennent :

X = mA, Y = nB, Z = pC. (3')

Il est très remarquable que la distribution des pressions jf//(?«r d'un point se ramène à une forme aussi simple. Bien entendu quand on passe d'un point au point voisin, les directions principales changent ; dans des cas tout à fait particuliers seulement elles conservent une direction invariable.

Ainsi quand on allonge un cylindre par des tensions appliquées normalement sur les sections droites, les pressions latérales peuvent être considérées comme nulles, les tensions principales se réduisent à une traction parallèle aux génératrices. Prenons Taxe des z parallèle à la traction : la distribution des tensions dans tout le cylindre est donnée par l'équation Z = pC,

OU p est le cosinus de l'angle que fait avec les génératrices la normale au plan considéré.

91. — Expression des composantes normale et tangentielie sur un plan quelconque autour d'un point P. — Supposons que nous ayons calculé en ce point P les tensions principales et leurs directions. Prenons les axes de coordonnées parallèles à ces directions. Les composantes X, Y, Z, pour un plan quelconque, sont données par les équations : X:= mA, V= nB, Z = pC.

Décomposons la force X. Y,Z en deux composantes : l'une

normale N, l'autre tangentielle Ç au plan dans lequel elle s'exerce.

Nz= mX + nY + pZ = m*A -f- n^B + p'C.

& -\- Ni = X* + \'- + Z'- :

•^ — ni*nS (A — B)î -t- nV(B ~Cf + p'm^ (C — Af

Tels sont les principaux théorèmes sur la distribution des forces dans un milieu déformé. Ils sont absolument généraux: ils n'impliquent aucune hypothèse d'homogénéité, ni de grandeur pour les déformations.

I)). — Equations à satisfaire en tous les points de la surface extérieure des corps. Equilibre d'une portion finie d'un corps déformé. — Dans tout ce qui précède, nous ne nous sommes préoccupés que de la distribution intérieure des forces. Il faut établir les équations à satisfaire en tous les points de la surface extérieure des corps. D'après la manière même dont nous avons raisonné, il suffira pour l'équilibre que les composantes X,, Y„ X, des pressions exercées sur la surface extérieure soient identiques aux quantités désignées par X, Y, Z dans les équations (3). En d'autres termes, quand il s'agit de la surface extérieure, nous remplaçons dans les équations (3) les forces qui résultent généralement de Paclion du milieu {ici elïectivement supprimé) sur la face inclinée du tétraèdre, par les forces exercées de l'exlérieur sur cette face, par un procédé quelconque.

11 se présente ici de graves difficultés dont j'ai donné une idée au n' 48 : généralement, la distribution des foi ces X,, Ys.Zb est disconliiiue ; elle est toujours mal connue et ou doit la remplacer par une distribution qui soit en gros équivalente. L'expérience montre que les déformations à quelque distance de la surface n'en sont pas sensiblement affectées.

Une question se pose tout naturellement : la mécanique fournil des conditions d'équilibre entre toutes les forces appli-