FORBIULE EMBRASSANT TOUS LES ACCORDS POSSIBLES

$. (282)". Les accords de treizième étant les derniers que nous ayons^k considérer dans le système musical actuel^ nous proGterons de l'espace qui nous reste pour faire connaître la formule qui embrasse tous les accords de notre système , et même tons les accords possibles^ dans les systèmes supérieurs auxquels l'être raisonnable peut s'élever graduellement , par le développement des facultés infinies qu'il tient de la bonté de son Créateur.

En représentant par x la fondamentale d'un accord quelconque ; par m le nombre des sons qui le composent; par T, Q, S, N^ 0, 0, etc., les intervalles de tierce, de quinte, de septième, de neuvième, de onzième, de treizième, etc. , comptés à partir de la fondamentale sur l'échelle des quintes , on aura y en général , pour la fonction de j? , F(x), formée par le produit des quantités :

Xy ar-f-T, ar + Q, x -}- S , x-(-N, «-j-O, x-f®> etc....

une expression de la forme :

m m— 1 m— 2 m — 3 m— /* F(x) =: x-j-A, ar + Aj X + A, x + -|- A a?-f" + -^ *•

^ in— 1

Dans laquelle A| désigne la somme des quantités T, Q, S, N, etc.... A 2 la somme de leurs produits 2 à 2, A3 celle de leurs produits 3 à 3 , Â/A la somme de leurs produits h k ii.

Quant aux valeurs des quantités T , Q, S, N, etc., elles sont déterminées dans chaque cas particulier en fonction des deux tierces majeure et mineure, par les formules :

T— 46— 30; Q = 4k — 3k'; S = 4s— 3s'; Jf = An — 3n'; 0---4« — 3»'; 0= 4t — 3t', etc.

avec les conditions téléologiques suivantes, qui doivent être satisfaites en nombres en« tiers positifs:

e + e' — 1; k4.k'= 2; s+s'=3; n -f n' = 4; «+»'== 5, T + 'p' =11 6» etc....

Agi, LIVBE PREMIER.

En nous renfermant dans notre système musical actuel, la plus grande yaleor attribuable à m est 7 ; c'est celle qui correspond aux accords de treizième. Dans ce cas, la formule ci-dessus prend la forme suivante :

F(jr) :z: *'-| A,a?«+A,JC» + A,«*-f-A^a?»+ABj?» + A,x.

Et les équations de condition: ^-\'^'^z^'j k + i^'zz:2, etc., etc., n'admettent que les valeurs qui donnent aux intervalles correspondants retendue convenable d'après le système actuel.

TM Tffl

Ainsi pour: 6 + 6'z=l, on a les deux couples: q/~ J || 2'— o II

qui donnent pour T, soit la tierce majeure (TM), soit la tieree mineure (Tm).

QM Qj Qm

De même pour: k -|- k' = 2, on a les trois couples: ^i^^ \\ j^i ^ J II ïi — l II

qui donnent pour Q soit la quinte majeure (QM) , soit la quinte juste (Qj), soit la quinte mineure (Qm).

SM Sm Sd

Pour : s + s' = 3 , on doit employer les 3 couples : ^i ^ ^ || "/^ 2 || s' ^ 3 II qui donnent pour S soit la septième majeure (SM) ; soit la septième mineure (Sm) ; soit enfin la septième diminuée (Sd).

L'hypothèse ^i'Z.q [I doit être écartée, parce qu'une septième formée au moyen de trois tierces majeures, n'est autre chose que r enharmonie (nt=si||).

I^ relation : n -|- «' = ^ n'admet aussi que trois couples , qui correspondent aux trois états de l'intervalle de neuvième ; ces couples sont :

NM Nm NA

n'=2 II n'=5 H n'= i II qui déterminent N, ou comme neuvième majeure (NM); ou comme neuvième mi^ neure (Nm) ; ou enfin comme neuvième augmentée (NA). — L'hypothèse : ",^ ^ Il doit évidemment être rejetée dans notre système musical. Pour l'intervalle de onzième O , on a les trois couples : 0} OM Om

a)=2||M=z5||«=il to'=5 II (.)'=:2 II «'=4

qui correspondent à la onzième juste (Oj), à la onzième majeure (OM) , et à la onzième mineure (Om).

Les hypothèses : || ^/^ J || ^^ J || 1^= J || doivent évidemment être rejetées comme en dehors de notre système musical actuel.

Enfin y pour rintenralle de treizième 9 y deux 4x>aple8 seulement sont admissibles, savoir :

r = 5 II r = 2

Cela tient à ce que Fintervalle de treizième n'étant autre chose que celui. de sixte accru d'une octave , et cet intervalle (celui de sixte) , n'étant que le rençerse-ment de l'intervalle de tierce (lequel n'admet originairement que deux espèces » la tierce majeure et la tierce. mineure, éléments primordiaux et opposés du système des accords) 9 on ne doit admettre non plus que deux espèces dans l'intervalle de treizième.

Au moyen des déterminations précédentes, on trouvera sans difficulté les formules générales qui correspondent aux diverses classes d'accords.

Par exemple , pour les accords de trois sons , on aura :

Pour les accords de quatre sons , la formule générale qui les embrasse tous , sera :

/, (x) = x* + (4t - 5t') . X» + I (46 - 500.(4k-3k')+ (4^-3©') . (4* — Ss') -(- (4k— 5k') . (4s— 5s') j . a?» + (46 — 56') . (4k^3k') . (4s— 5s') . x. . . • . 0).

Les formules correspondantes aux accords de 5 , de 6 et de 7 sons, quoique plus compliquées, ont la même forme et se déduisent de même de la formule générale donnée ci-dessus.

. Pour donner au moins une vérification des formules (a) et (j3), posons-: t = 2 avec l' = 1 ; 6 = 1 avec 6' = o ; et k = 1 avec k' = 1 dans la première de ces formules, on aura pour la fonction d'à; correspondante:

/, (x) = a?' + 5*2 +Ux=x{x + i) (ar+l) qui présente le produit des termes de F accord parfait majeur. Comme on peut le voir, page 152, sous le paragraphe (82), et page 155 dans le tableau de clasêifi-cation). Posons de même , dans (13), t ?= 5 avec t' = 5 ; 6=1 avec 6' = 0 ; k = 1 avec k' = j ; s=ri avec s' = 2, et la fonction d'op correspondante sera^

X* -f 5a?» — 6a:* — 8j: = a: (ar + 4) {x + 1) (a:— 2).

C'est-à-dire le polynôme qui résulte du produit des 4 termes de Vaccord de septième dominante j comme on peut s'en assurer en se reportant page 185 > au tableau de classification des accords formés par le concours de trob tierces majeures «t de trois tierces mineures. Ces 4eux vérifications peuvent suffire.

§. 383. Au moyen du tableau général pwr la $iractute des accords de treiziime , donné ci-dessus, on peut découvrir tous les accords

486 LITRE PREMEft.

(le cette chsM soii naturels , soil mixtes y sait aitiris y et former sânsi les diverses familles d'accords de treizième. Toutefois y quand on reut connaître que les seuls accords naturels et les accords mixtes ^ parmi lesquels se trouvent les accords-types des diverses familles, il est plus simple de considérer les échelles ascendantes des gammes majeure et mineure, en ayant soin de faire intervenir aussi Téchelle du second type du mode mineur, et d'échelonner six tierces au-dessus de chaque degré des susdites échelles; le résultat de cette opération nous fera connaître les accords demandés.

En opérant de cette manière , on trouve onze accords-types , parmi lesquels sept accords naturels et quatre accords mixtes» Ces accords typiques correspondent aux onze cas énumérés à la fin de la remarque précédente, voir §. (382)'. Voici la nomenclature et le mode de construction des accords naturels et des accords mixtes de la présente classe, avec l'indication des degrés de la gamme auxquels ils correspondent :

ACCORDS NATURELS DE SEPT SONS. (Au nombrc de sept.)

A. Accord de treizième majeure ^ avec onzième juste, neuvième et septième majeures, quinte juste et tierce majeure. (Mode majeur « 1*' degré. — Formé par le concours de onze tierces majeures et de dix tierces mineures).

TM, Oj, SM, NM, Oj, ©M, Exemple : ut — mi — sol — si--: — ré — fa — -la. -+-4 —3 4-4 —3 —3 -f-4

B. Accord de treizième majeure ^ avec onzième juste , neuvième majeure, septième mineure, quinte juste et tierce mineure. (Mode majeur, 2* degré. — Formé par le concours de neuf tierces majeures et de douze tierces mineures:

Tm, Qj, Sm, NM, Oj, eM.

Exemple : ré— -fa la ut mi sol si.

C. Accord de treizième mineure, avec onzième juste ^ neuvième et septième mineures^ quinte jusU et tierce mineure. (Mode majeur 3* d^ré.

STRUCTUHE DES ACCORDS. 487

— Formé par le concours de sept tierces majeures et de quatorze tierces mineures).

Tm, Oj, Sm, Nm, Oj, em.

Exemple : mi sol si ré fa la ^ut.

D. Accord de treizième înajeure, avec onzième^ neuvième et septième majeures , quinte juste et tierce majeure. (Mode majeur , 4^ degré. --* Formé par le concours de douze tierces majeures et de neuf tierces mineures.)

TM, Qj, SM, NM, OM, gM.

Exemple : fa la ut mi ^sol si ré.

E» Accord de treizième majeure^ avec onzième juste, neuvième mor jeurcy septième mineure, quinte juste et tierce majeure. (Mode majeur, 5* degré. ^- Formé par le concours de dix tierces majeures et de onze tierces mineures.) •

TM, Oj, Sm, NM, Oj, ©M.

Exemple : sol si— —ré fa--^ — ^la ut mi.

F. Accord de treizième mineure y avec onzième juste, neuvième majeure , septième mineure , quinte juste et tierce mineure. (Mode majeur , 6* degré. — Formé par le concours de huit tierces majeures et de treize tierces mineures).

Tm, Qj, Sm, NM, Oj, em.

Exemple : la ut mi sol si ré fa.

G. Accord de treizième mineure» avec onzième juste , neuvième, septième, quinte et tierce mineures. (^Mode majeur, 7* degré. — Formé par le concours de six tierces majeures et de quinze tierces mi«<* neures.)

Tm, Qm, Sm, Nm, Oj, em.

Exemple : si ré fa la ut mi sol.

488 LIVRE PREMKR.

ACCORDS iirxTES* (Au nombre de 14, parmi lesquels trois

accords-lypes.)

A' Accord de treizième majeure , avec onzième et neuvième majeures ^ septième mineure , quinte juste et tierce majeure. (Mode mineur , 2' type, A* degré. Accord conjugué avec l'accord naturel A , étant formé au moyen du concours de onze tierces majeures et de dix tierces mineures).

TM, Qj, Sm, NM, OM etf.

Exemple : ré fajif^ — la ^ut mi soljt si.

B'« Accord de treizième mineure avec onzième juste, neuvième et septième majeures j quinte juste et tierce mineure. (Mode mineur, 1^ type, l*** degré. — Accord conjugué avec Taecord naturel B, et formé, comme lui, au moyen de neuf tierces majeures associées à douze tierces mineures.

Tm, Qj, SM, NM, Oj, 0m.

Exemple : la ut mi solj si ré- fa.

B". Accord de treizième mineure , avec onzième juste , neuvième ma^ jeurCy septième mineure , quinte juste et tierce majeure. (Mode mineur, 2* type, 5* degré. — Conjugué avec les accords B et B', et par conséquent formé comme eux au moyen de neuf tierces majeures associées à douze tierces mineures.)

TM, Qj, Sm, NM, Oj, em.

Exemple : mi solft si ré fa* la ut

G'. Accord de treizième majeure, avec onzième juste, neuvième, sqftième, quinte et tierce mineures. Mode mineur, i'^type, 2'^ degré. — Conjugué avec Taccord naturel C , comme étant formé par le concours de sept tierces majeures et de quatorze tierces mineures.)

Tm, Qm, Sm, Nm, Oj, ©M.

Exemple : si ^ré ^fa la ut mi solJt.

G". Accord de treisiime mineure, avec onzième juste, neuvième majeure,

septième , quinte et tierce mineures. (Mode mineur , 2^ type , 6* degré.

Conjugué avec les accords G et G', et par conséquent formé au

moyen de sept tierces majeures associées à quatorze tierces mineures).

Tm, Qm, Sm, NM, Oj, em.

Exemple : fajif-. — la ut mi — -sol^ si ré.

D'. Accord de treizième majeure avec onzième juste, neuvième^ ^ep— tième, quinte et tierce majeures. (Mode mineur, l*"" type, 6* degré. Conjugué avec l'accord naturel D , et par conséquent formé par le concours de douze tierces majeures et de neuf tierces mineures.)

TM, QM, SM, NM, Oj, gM. Exemple : ut mi— solff si ré fa la.

E'. Accord de treizième majeure , avec onzième et neuvième majeures,

septième mineure, quinte juste et tierce mineure. (Mode mineur, i«' type,

4® degré. — Conjugué avec l'accord naturel E, et par conséquent

formé au moyen de dix tierces majeures associées à onze tierces

mineures.)

Tm, Qj, Sm, NM, OM, eM.

Exemple : ré fa la ut ^mi sol^ si.

E". Accord de treizième majeure, avec onzième juste, neuvième et

septième majeures, quinte juste et tierce mineure. Mode mineur , 2^ type,

i*' degré. — Conjugué avec les accords E et E' , et par conséquent

formé au moyen de dix tierce» majeures associées à onze tierces

mineures.)

Exemple : la ut mi— — ^sol^ si ré fajt .

—3 -hi -4-4 —3 —3 -+-4

F'. Accord de treizième mineure, avec onzième juste, neuvième et sep-tième mineures, quinU juste et tierce majeure^ (Mode mineur , 1*' type , 5* degré. — Conjugué avec Taccord naturel F , c'estr-à-Klire formé par le concours de huit tierces majeures et de treize tierces mineures.)

490 LIVRE MEIflER.

TM, Qj, Sm, Nm, Oj, ein.

Exemple : mi 8ol# si ré fa la ut

F". Accord de treizOme majeure, avec onzième juste,, neuvième et septième mineures, quinte juste et tierce mineure. (Mode mineur , 2^ type, 2* degré. — Conjugué avec les accords F et F' , et par conséquent formé comme ces accords au moyen de huit tierces majeures associées à treize tierces mineures.)

Tm, Qj, Sm, NM, Oj, eM.

Exemple : si ré faj la ut mi solft.

H. Accord de treizième majeure, avec onzième majeure, neuvième aug~ mentèe, septième majeure, quinte juste et tierce majeure. Accord-type, mode mineur, i*^"^ type, 6* degré. — Formé par le concours de treize tierces majeures et de huit tierces mineures).

Exemple : fa la ut mi— — sol^ si — —ré.

H'. Accord de treizième majeure, avec onzième, neuvième, septième, quinte et tierce majeures. (Mode mineur, 2^ type, 3^ degré. — Conjugué avec le précédent.)

Exemple': ut mi — -soljj si ré-- — fa^-^— la.

I. Accord de treizième mineure, avec onzième et neuvième mineures, septième diminuée, quinte et tierce mineures. (Acèord-type , dont le siège est la note sensible en mode mineur , 1^^ type. — Formé par le concours de quatre tierces majeures et de dix-sept tierces mineures.)

Exemple : soljj: si ré-- — fa la- — ^ut mi.

STRUCTURE DfES ACCORDS. 491

i. Accord de treizième mineure, aoec onùéme, nenviéme^ septième , quinte et tierce mineures* (Accord-type, dofit le siège esl ta note sensible en mode minear, 2" type. — Cet accord est formé pdr le concours de cinq tierces majeures et de seize tierces mineures.

Exemple : sol$ si ré— — faj la— —ut mi.