X. ue uerce ei quinie

mineures x.(x — 5)(a?— 6) = x' — 9x* -|- 18x| f, (x)=3x — 9

Ace. de tierce et quinte \

majeures x.(x+4)(x-|- 8) = x' + 12x2 + 32xj ç, (x) = 3x + 12

En comparant ces polynômes , on voit immédiatement que ceux dont les seconds termes sont identiques , ont aussi des sommes identiques , ce qui indique que dans leur évaluation il entre de part et d'autre un même nombre de tierces majeures et un même nombre de tierces mineures; c'est ainsi que l'accord parfait majeur et Vticcord de tierce mineure et quinte majeure comptent Tun et Tautre deux tierces majeures et une seule tierce mineure dans leur évaluation ; mais dans Tun la première tierce est majeure ; et dans l'autre cette tierce est mineure , d'où il résulte que la quinte du premier accord est juste , et qu'elle est majeure dans le second accord.

De même l'accord parfait mineur et l'accord de tierce majeure et quinte mineure correspondent à des polynômes dont les seconds termes sont identiques , aussi ces deux accords ont-tls également des sommes de termes identiques , ce qui tient à ce que dans l'évaluation des fonctions de tierce et de quinte de ces deux accords il entre de part et d'autre une tierce majeure et deux tierces mineures. Mais dans l'un y la tierce mineure apparaissant la première y il en résulte que la quinte est juste ; et dans l'autre , la tierce majeure occupant cette première place , il reste deux tierces mineures 'pour l'évaluation de la quinte , ce qui fait que cette quinte est jnijfieurc.

Lorsqu'on n'a à sa disposition que le polynôme résultant du produit des termes d'un accord de trois sons , il suflBt , pour connattre le nombre de tierces de chaque espèce qui entrent dans l'évaluation de cet accord , de poser les deux équations :

4/ — 3t' = le coefficient du second terme avec son signe.

Et: /+f' = 3. On déterminera ainsi immédiatement t et t*.

Du reste , la décomposition en facteurs de l'un quelconque des six polynômes contenus dans le tableau précédent , ne présente aucune difficulté , et donne directement la structure de chaque terme de l'accord.

Mais lorsqu'on ne veut pas effectuer cette décomposition , l'inspection seule du polynôme suffit encore pour se faire une idée de l'accord qu'il représente. Et en effet, si le coefficient du terme en x est positif, on peut déjà conclure avec certitude que les fonctions de tierce et de quinte de l'accord représenté par le polynôme , se trouvent du même côté de la fondamentale x , sur l'échdle générale des quintes , puisque le coefficient du terme en x résulte du produit des seconds termes des binômes qui servent à évaluer les fonctions de tierce et de quinte dont nous parlons. Le signe du second terme vient d'ailleurs achever la détermination, en indiquant de quel côté de la fondamentale x se trouvent les deux autres fonctions de l'accord; car si le coefficient du second terme est positif, il est évident que ces fonctions sont placées toutes deux à droite de la fondamentale; que si, au contraire, le dernier terme étant positif, le second est négatif, on peut affirmer que ces mêmes fonctions sont placées toutes deux à gauche de la fondamentale. Or, dans le premier cas^ il est évident que la première tierce de l'accord est majeure, et dans le second cas , il est tout aussi évident que cette première tierce est mineure.

Ayant ainsi déterminé la nature de la première tierce , il suffira , pour connattre la grandeur de la quinte, de diviser le coefficient du terme en x par la valeur nummque de la tierce ; le quotient donnera l'évaluation de la quinte de l'accord.

Par exemple , le polynôme proposé étant :

On voit immédiatement par le signe du terme en x, que les fonctions de tierce et de quinte sont placées d*un même côté par rapport à la fondamentale ; et le signe moins qui affecte le coefficient du second terme, indique clairement que les fonctions cherchées sont à gauche de la fondamentale x sur l'échelle générale des quintes ; il résulte de là que la première tierce est mineure , c'est-à-dire qu'elle est égale à — 3, et en divisant -|- 18 par — 3, on a pour quotient — 6, qui exprime la distance de la quinte de l'accord à sa fondamentale x. Les trois termes de l'accord en question sont par conséquent : x, x — 3, et x — 6.

L'accord est ainsi complètement connu, c'est celui de tierce et quinte mineures.

Il nous reste à examiner le cas où le terme en x est négatif. Il semble , lorsque cette circonstance se présente, qu'il ne soit pas aussi facile de déterminer les fonctions de l'accord par la seule inspection du polynôme qui le représente; on va voir qu'il est cependant possible d'y parvenir. Et d'abord , remarquons que le signe

moins qui affecte le coefficient du terme en Xy est an indice certain que les fonctions de tierce et de quinte se trouvent de côtés opposés par rapport à la fondamentale de l'accord. En second lieu, on peut encore inférer du signe du coefficient du second terme , laquelle des deux fonctions , de celle placée à droite ou à gauche de la fondamentale, remporte sur l'autre en étendue. Mais ce que le signe du second terme ne saurait nullement nous apprendre , c'est la situation de la première tierce par rapporta la fondamentale, ou, ce qui revient au même, si cette tierce est majeure ou mineure.

Ayant ainsi reconnu l'insuffisance des signes pour achever, par l'inspection seule do polynôme , la détermination des fonctions de l'accord , lorsque le terme en x est négatif, il but aller plus loin, et consulter la valeur numérique des coefficients; or, celui du terme en x étant le produit de la valeur de la tierce par celle de la quinte , saeluint d'ailleurs que la tierce mineure = — 5 > et que la tierce majeure = -[-4, il est évident que si ce coefficient est — 5 y la valeur de la quinte ne saurait être que -|- 1* C'est en effet ce qui a lieu dans le polynôme:

x' — 2a?' — 5jc, qui représente Vaccord par/ait mineur, La décomposition de ce polynôme peut donc se faire immédiatement par la seule inspection des termes. Mais il reste encore )es deux polynômes:

Or , si l'on veut bien remarquer que dans tout accord de trois sons la première tierce est ou mineure = — 3, ou majeure = -|- 4, on en conclura que dans la décomposition en deux facteurs du coefficient — 24 , l'un de ces facteurs doit être ou — 3, ou -|- 4, puisque la quantité — 24 est le produit de la valeur numérique de la tierce de l'accord par la valeur numérique de sa quinte.

Cela posé, si l'on divise — 24 par — 3, le quotient -|- 8 exprimera la grandeur de la quinte, et comme d'ailleurs on a:

-3 + 8 = + 5, coefficient du second terme dans le polynôme («), il en résulte évidemment que ce polynôme est le produit des trois termes x, x — 3, x-f S, et que par conséquent il représente un accord de tierce mineure et quinte majeure.

Si, au contraire, on divise le coefficient — 24 par -|- 4, valeur numérique de la tierce majeure, le quotient — 6 sera la valeur numérique de la quinte, et comme d'ailleurs on a: +4 — 6 = — 2,

coefficient du second terme dans le polynôme (^), on est assuré que ce polynôme est le produit des trob termes x, x + 4, x — 6, et que par conséquent il représente un accord de tierce majeure et quinte mineure.

Les détails dans lesquels nous venons d'entrer paraîtront peut-être un peu minutieux au lecteur en possession des notions les plus élémentaires de l'algèbre; mais comme nous écrivons principalement pour les artistes, nous avons pensé qu'une simple

indication serait insaffisante. Nous espérons que le temps n'est pas éloigné , où toutes les personnes qui cultivent les arts libéraux, posséderont au moins les notions les plus essentielles de l'algèbre et de la géométrie. Alors il ne sera plus permis de soutenir cette thèse étrange, à savoir que Vart et la science s* excluent , opinion née d'hier 9 triste symptôme du désordre intellectuel qui domine l'époque actuelle.

REHAliqiTE.

En représentant par / (x) le produit des termes d'un accord de trois sons , termes de la forme Xy x-j-a, x-^bj il est évident que leur somme , que nous avons désignée par 7s (x) n'est autre chose que :

f(x) d'Alix)

-^—^^ ou '\\ 1.2 t.ldx'^

d^f(vc\ En posant donc: -^-i— = 3x+4r — 3<' ^ 1.2«?x2 ^

avec l'équation de condition ^+''=3 qui, ainsi que nous l'avons dit plusieurs

fois, doit être satisfaite en nombres entiers et positifs, on pourra, au moyen de deux

intégrations successives, remonter à la fonction qui résulte du produit des termes de

l'accord, et dont la forme est:

f{x) = X» + (4/ — 3<'). a; 2 + Cx.

Le coefficient du terme en x^ est toujours déterminé lorsque l'on connaît t et <', mais il n'en est pas de même de celui du terme en x , que nous avons désigné par C

Pour parvenir aux deux déterminations qui appartiennent à ce coefficient dans l'hypothèse: r = 2 avec «' = 1, ou dans l'hypothèse inverse: r=l avec «' = 2, il est nécessaire de tenir compte du mode de distribution des deux espèces de tierces dans chaque cas particulier, sans quoi l'on n'arriverait qu'à une seule détermination de C, et précisément à celle qui correspond, dans chacune des hypothèses eo question , au cas le plus particulier.

Ainsi , par exemple , lorsque l'on a r = 2 avec <' = 1 , au lieu d'obtenir le "polynôme qui correspond à Vaccord parfait majeur et celui qui correspond à Vaccord de tierce mineure et quinte majeure y on n'obtiendrait que ce dernier.

De même, dans l'hypothèse inverse: ^=1 avec «' = 2, au lieu de retrouver le polynôme correspondant à t accord parfait mineur et celui qui caractérise Vaccord de tierce majeure et quinte mineure ^ on n'obtiendrait encore que ce dernier polynôme. De telle sorte que l'accord parfait majeur et Vaccord parfait mineur qui , dans l'harmonie musicale , sont des instruments d'unioersalité , échapperaient à l'intégration si l'on écartait la considération des chances possibles dans l'ordre de distribution des tierces.

Mais lorsque l'on a: t = 0 avec «' = 3, ou bien / = 3 avec /'=:0, il ne saurait y avoir de doute sur la valeur qui convient au coefficient C, qui n'est susceptible dans l'une et dans l'autre hypothèse que d'une seule détermination.