GAMME MAJEURE

SUIVAlfT LA THEORIE DES PHYSICURS.

Ut,

Ré

Sol

inm.

; tOD min.

semi-um

ion mi^.

[ ton min. .

tonnuii. :

Mmi-u>n m^eur

$• 35. Le comma |^ est le rapport constituant du plus petit intervalle que l'on considère en musique ; encore cet intervalle n'a-t-ii qu'une valeur théorique , et n'est-il appréciable que pour une oreille très-exercée (2). Aussi lorsque deux sons diffèrent de moins de ce comma, peut-on les regarder comme sensiblement à l'unisson.

(i) L'expression intervcUle appliquée k an rapport de nombres de vibrations, expression qui se retrouve dans tous les traités de physique , a le défaut d*ètre un véritable non-sens. Euler le premier {Tentamcn novœ thêoriœ nmticœ, 1739) a établi la distinction quMI faut fiiire entre les rapports de» tons et la meture de* inlervaUe*,

«A Texception de Surremain de Misscry, trop bon géomètre poor partager Terreur commune, tous les auteurs français qui ont écrit sur la musique n'oni pas dit un seul mot qui ait rapport h la véritable mesure des intervalles, et quand ils ont à les comparer comme guamtité* mennarablêê, ils emploient les rapports des nombres relatifs de vibrations ; ce qui est on véritable non-sens , car -| par exemple , est bien le rapport constituant de Tintervalle de quinte ; mais il ne lui est ni égal ni proportionnel. Si cette égalité ou proportionnalité avait lieu, il faudrait que la double quinte fut exprimée par • , la triple quinte par | , et ainsi de suite. Celte absurde mesure des intervalles musicaux se retrouverait dans la mesure des édifices si un architecte , pour énoncer la différence de grandeur absolue entre une colonne corinthienne et une colonne toscane , disait que cette différence est celle de ^ô ^ t> P^^^ V^^ '^ proportion entre le diamètre de la colonne et sa hauteur est -^ poar l'ordre corinthien, et j- poor l'ordre toscan. (Montferrier , Dktiomiaire des sciences mathématiques, 3* vol., art. intervalfe,

(2) En évaluant le comma go en demi-tons moyens, on trouve 0^,22 où la dernière décimale est forcée ; c'est un peu moins d'un neuvième de ton. Nous expliquons plus loin le principe de ce mode d'évaluation des intervalles.

%. 36. n n'en est pas de même deJ* Tîntervalle qui existe entre le ton mineur ^^ et le semi-ton majeur i-|. L'oreille le distingue très-bien. Son rapport constituant est: i-2^* i-^ r^ i-24 = il. On lui a donné 'le nom de semi-ton mineur ^ et c'est le phis petit intervalle dont on se sert dans la pratique. Il résulte de là que le ton mineur est décomposable en deux parties qui sont: 1« le semi-ton majeur -Li, 2* le semi-ton mineur i|, car on a: i^=l-|.x|7* $. 37. En prenant le rapport du semi-ton majeur au semi-ton mineur on a:

as 12»

âT 125'

Ce dernier rapport , suivant les acousticiens , exprime une limite d'intervalle» c'està-dire qu'ils considèrent comme identiques deux sons dont les nombres de vibrations sont respectivement 128 et 125 (1). Ce nouveau comma les guide dans le choix des demi-tons qui doivent composer la gamme chromatique , c'est-à-dire la gamme formée par l'intercalation d'un son , entre chaque ton de la gamme diatonique.

$. 38. Voici comment s'effectue cette intercalation : on élève le son inférieur d'un semi-ton mineur en multipliant le nombre constituant qui lui appartient par le rapport l^y c'est ce qu'on nomme diéser ce son; cela fait, on abaisse le son supérieur de la même quantité , en multipliant son nombre constituant par li, par cette opération on bémolise ce son ; on a ainsi deux sons auxquels on fait subir ultérieurement une altération égale et inverse , au moyen du comma l^r» ^ ^^ ^^ ramène sensiblement à l'identité. Les exemples vivants éelairciront cette règle :

1*^ Exemple. Soit à intercaler un son entre £/ir=: 1 et Ré'= |- dont l'intervalle est d'un ton majeur.

On a d'abord: 17/ J:|= 1 x|5=|j.

Puis: Ue-j, =gx^=S.

Prenant le rapport de ces deux sons on a :

quantité supérieure au comma ^i-, d'où il résulte que les deux sons 17/{:| =r||^ et tté\^ ac 1^ ne peuvent être pris l'un pour l'autre. On a donc par ordre de grandeur:

Ré\^

Ce dernier tableau met en évidence ce que nous avons dit $• 33 , savoir que , suivant la doctrine des acousticiens , le demi-ton chromatique est plus petit que le

(I) I/e comma ||^ exprime on inlervalle d'environ ^ de demi-Ion moyen.

demi-ton diatonique ^ ce qui est contredit par la pratique. Nous verrons bientôt comment on peut faire disparaître cette anomalie. Ce n'est pas tout : il nous reste à expliquer comment on rapproche les deux sons J7/|4 =y| et Ré\)=^f de manière à les ramener à la presqu'identitë. Il suffit pour cela d'élever TI//^ d'une quantité exprimée par le comma -f||- et d'abaisser le Ae^ au moyen du rapport inverse m y on obtient ainsi :

En cherchant le rapport de Wtjijj et du Ré\^ ainsi altérés , on trouve ^*-^ , fraction qui, évaluée en décimales, donne: 1,0113. Or, le comma i-^1 également réduit en décimales, donne : 1,024; ce qui montre que les deux sons se trouvent maintenant à un degré de rapprochement au-dessous de la limite exprimée par le comma -j^J (voir $. 37); on peut donc sans erreur sensible prendre pour le son intercalaire qui doit être à la fois un Utj;!^ et un Ae{^, soit le rapport *^f^ soit le rapport i-|. On a choisi ce dernier à cause de la plus grande simplicité de ses termes. Nous avons ainsi pour les trois premiers termes de la gamme chromatique :

2« Exemple. Soit maintenant à intercaler un son entre Ré^\ et Jf/=^ dont l'intervalle est d'un ton mineur : en opérant comme dans l'exemple précédent , on a H^'H 9 ^ 25 75

Et:if/b=5x|| = |.

Prenant le rapport de ces quantités , il vient :

5 • 64 375 125* ce qui est précisément le comma que l'on considère comme limite d'intervalle ; on peut donc poser : ile|::|=: Jfi|^ = \.

En continuant d'opérer de la même manière, et réunissant tous les résultats, on a pour l'échelle chromatique (1) le tableau suivant :

utm

Ré\f

Ré

Ut,

Réb

Ré

Réti MiÇ

Sol

La?

SiP

Ut,

(1) Voir le 3« volame du Dictionnaire det êcienceê mathématiques , pablié par M. de Montferrier, on y trouvera tous ces calcals amplement délailiés k rarlide intervaUe.

BËSUMË D*AC;OUSTIQU£ MUSICALE. 37

Le son du milieu de l'échelle ^ étant exprimé par des nombres un peu grands , on a trouvé qu'au lieu d'altérer les deux sons Faj^ et Sol\f au moyen du comma ll|, il serait plus exact de prendre une moyenne proportionnelle entre ces deux sons pour lesquels le calcul donne |^, il. Cette moyenne est:

et l'on voit que de cette manière l'intervalle d'octave est exactement partagé en deux parties égales par le son du milieu (l).

Voici le tableau complet de l'échelle chromatique tel qu'il est donné dans le 3e volume du Dictionnaire des sciences mathématiques de M. de Montferrier.