DES SEULS VÉRITABLES ACCOBDS DE TROIS SONS

1*> Accord parfait majeur.

2° Accord parfait mineur.

3" Accord de tierce et quinte mineures (dit accord de quinte diminuée),

40 Accord de tierce et quinte majeures (dit accord de quinte augmentée).

50 Accord de tierce majeure et quinte mineure.

&^ Accord de tierce mineure et quinte majeure.

Ce tableau comprend deux accords de plus qu'on n'en compte ordinairement dans la classe des accords de trois sons. Jusqu'ici ces accords ont été confondus parmi les agrégations purement contingentes auxquels on voudrait à tort attribuer une fonction harmonique plus élevée. Notre loi de structure des accords est venue les tirer de ce cahos, en démontrant d'une manière irréfragable qu'ils possèdent tous les caractères des véritables accords, caractères qui ne se retrouvent dans aucune des agrégations dont la première tierce, à partir de la fondamentale, est ou augmentée ou diminuée.

Nous avons d'ailleurs fait remarquer §§. 51 et 53 que ces agrégations contingentes restent à la libre disposition du compositeur, pourvu qu'il respecte la loi de la tonalité que l'on n'enfreint jamais impunément.

Classification mathématique des accords de trois sons.

(82)' Nous avons dit , au début du chapitre IV , qu'un accord est complètement déterminé par la somme algébrique de ses termes, parce qu'il est toujours possible de reconstruire les éléments de celte somme qui correspondent aux divers termes ou fonctions de l'accord. Il est évident, en effet, que la somme algébrique dont nous parlons détermine complètement un accord , si aucun autre accord de la même classe (1) ne présente une somme identique. Mais, lorsque deux accords appartenant à une même classe, présentent cette identité dans la somme algébrique de leurs termes , il devient nécessaire de recourir à une autre fonction de leur fondamentale X, pour les distinguer l'un de l'autre. Or, la fonction la plus convenable pour atteindre le but que l'on se propose, est celle qui résulte du produit des termes, produit qu'il est toujours possible de déduire de la somme donnée, en s'appuyant sur notre loi de structure des accords.

Si l'on se reporte au §. 41, page 89, il semble qu'il ne saurait y avoir que quatre accords de trois sons, puisqu'il n'y a que quatre couples de valeurs entières et positives de t et t' pouvant satisfaire à l'équation de condition : / -j- /' = 3 ; et cependant il résulte évidemment des §§. 47, 48 et 49 que l'agrégation de tierce mineure et quinte majeure (2), ainsi que celle de tierce majeure et quinte mineure , sont de véritables accords de trois sons.

Pour faire disparaître l'espèce de contradiction qui semble résulter du rapprochement des divers paragraphes cités, il suffit de remarquer que les sommes Çj (x) qui correspondent à î accord parfait majeur ., et à l'accord de tierce mineure et quinte majeure , sont identiques. (Voir les §§. 37 et 47.)

De même les sommes «Pj (x) qui correspondent à Vaccord parfait mineur et à Vaccord de tierce majeure et quinte mineure, sont également identiques. (Voir les S§. 38 et 49).

Cela posé , et pour procéder avec ordre , occupons-nous en premier lieu de la fonction de x commune à t accord parfait majeur [Ut Mi Sof), et à raccord de tierce mineure et quinte majeure (^(Jt Mi\) Sof^). Celte fonction commune, résultant de la somme algébrique des termes , pour chacun de ces accords , est la suivante :

Ts (Jf) = 3x -}- 5,

(1) Chaque classe d'accords est formée de tous ceux qui sont composés d'un même nombre de sons.

(2) Pour nous conformer au langage reçu, nous avons encore nommé quinte augmentée l'inlerlervalle Ut Sol dièse dans le tableau de la page 101; mais désormais, conformémcnl à ce qui a élé dit dans la noie de la page 111 , nous nommerons cet intervalle quinte majeure.

et provient de l'hypothèse m = 3 avec t = 2 et t' = 1 , dans les formules générales (A„,) et (Qm) du §. 35.

Or, que signifie l'hypothèse t=2 avec f'=l?

Rien autre chose, sinon que pour évaluer les termes de l'accord, à partir de sa fondamentale x , il faut le concours de deux tierces majeures et d'une seule tierce mineure , sans que rien indique laquelle de ces tierces doit précéder l'autre. Dès lors on comprend qu'il faut faire successivement les deux suppositions, c'est-à-dire qu'il faut tenir compte de l'ordre dans lequel ces tierces peuvent être rangées.

X étant la fondamentale de l'accord , on a: x -{- 4- , et x-\-i — 3, ou x -\- 1 pour la tierce et la quinte de l'accord , dans la supposition *que la première tierce est majeure.

Et dans celle que c'est la tierce mineure qui occupe cette place, on a : x — 3, et a;-j-4.-{-4ouj:-j-8 pour la tierce et la quinte de l'accord , en évaluant ces fonctions à partir de la fondamentale x.

Maintenant, si l'on désigne par F (a;) le produit des termes dans la première supposition qui donne l'accord parfait majeur , on aura en effectuant ce produit :

De même , en désignant par f(x) le produit des termes du second accord , savoir de celui de tierce mineure et quinte majeure , on aura : f(^x'):=x^-\-5x^ — 2ix.

Les polynômes F (j?) et/(x) caractérisent et séparent complètement les deux accords qui ont pour somme commune : «p, (x) n^ 3j: -|- 5.

On trouverait de la même manière que Vaccord parfait mineur et l'accord de ' tierce majeure et quinte mineure qui ont pour somme commune : «pj (x) z=2x — 2 , sont caractérisés et complètement séparés , le premier par le polynôme :

Et le second par le polynôme : x^ — 2x'^ — 2ix.

On voit que ces deux derniers polynômes ne diffèrent, comme les deux précécédents, que par leurs troisièmes termes.

Il ne nous reste plus à considérer que Vaccord de tierce et quinte mineures , et l'accord de tierce et quinte majeures; mais ces deux accords étant formés uniquement, le premier de tierces mineures, et le second de tierces majeures, la somme de leurs termes qui est <?- (x) := Zx — 9 pour l'un, et «Pj {x)=i 3x -[- 12 pour l'autre , suffit pour le caractériser et les isoler complètement , en supposant toutefois que l'on sache que le nombre — 9 provient de l'hypothèse < = 0 , /' = 3 ; et que le nombre + 12 provient de l'hypothèse inverse ? = 3 avec /'= 0 introduite successivement dans les formules générales des accords de trois sons : <P3 (x) = 3x H- 4/ — 3i' , f -)-«' = 3.

Au moyen de cette connaissance, il est facile de construire, pour chacun de ces accords , le polynôme du troisième degré correspondant au produit de ses termes. Ce polynôme est :

X (ar— 3) (x — 6) = x^ — Qx- -f- 1 Rx pour l'accord de tierce et quinte mineures , et ar (x-f 4) [x -f- 8) =x' -+-12x2 ^32x pour Vaccord de tierce et quinte majeures.

En rapprochant les uns des autres les six polynômes que nous venons de construire , on a le tableau suivant :