PRODUIT EFFECTUÉ. SOMME DES TERMES

[,p3(x)=3x-f 5 = x^-{-bx^ — 2Ux)

Acc. parfait mineur ..

Acc. de tierce majeure et quinte mineure..

x.(j:-|-4)(ar — 6)

= x^—2x'^ — Zx ' = x^ — 2x2 24a;)

Acc. de tierce et quinte mineures

Acc. de tierce et quinte majeures

= x=^^12x2-|-32xj

<P3(x) = 3x-Fl2

En comparant ces polynômes, on voit immédiatement que ceux dont les seconds termes sont identiques , ont aussi des sommes identiques , ce qui indique que dans leur évaluation il entre de part et d'autre un même nombre de tierces majeures et un même nombre de tierces mineures; c'est ainsi que l'accord parfait majeur et l'accord de tierce mineure et quinte majeure comptent l'un et l'autre deux tierces majeures et une seule tierce mineure dans leur évaluation ; mais dans l'un la première tierce est majeure ; et dans l'autre cette tierce est mineure , d'où il résulte que la quinte du premier accord est juste , et qu'elle est majeure dans le second accord.

De même l'accord parfait mineur et l'accord de tierce majeure et quinte mineure correspondent à des polynômes dont les seconds termes sont identiques, aussi ces deux accords ont-ils également des sommes de termes identiques, ce qui tient à ce que dans l'évaluation des fonctions de tierce et de quinte de ces deux accords il entre de part et d'autre une tierce majeure et deux tierces mineures. Mais dans l'un , la tierce mineure apparaissant la première , il eu résulte que la quinte est juste ; et dans l'autre , la tierce majeure occupant celte première place , il reste deux tierces mineures pour l'évaluation de la quinte , ce qui fait que cette quinte est fnincurc.

154 LIVBE PREMIER.

Lorsqu'on n'a à sa disposition que le polynôme résultant du produit des termes d'un accord de trois sons , il suffit , pour connaître le nombre de tierces de chaque espèce qui entrent dans l'évaluation de cet accord, de poser les deux équations:

4; 3/' = le coefficient du second terme avec son signe.

Et: <+f'=r3. On déterminera ainsi immédiatement t et t' .

Du reste la décomposition en facteurs de l'un quelconque des six polynômes contenus dans le tableau précédent , ne présente aucune difficulté , et donne directement la structure de chaque terme de l'accord.

Mais lorsqu'on ne veut pas effectuer cette décomposition , l'inspection seule du polynôme suffit encore pour se faire une idée dé l'accord qu'il représente. Et en effet, si le coefficient du terme en x est positif, on peut déjà conclure avec certitude que les fonctions de tierce et de quinte de l'accord représenté par le polynôme se trouvent du même côté de la fondamentale x, sur l'échelle générale des quintes , puisque le coefficient du terme en x résulte du produit des seconds termes des binômes qui servent à évaluer les fonctions de tierce et de quinte dont nous parlons. Le signe du second terme vient d'ailleurs achever la détermination, en indiquant de quel côté de la fondamentale x se trouvent les deux autres fonctions de l'accord; car si le coefficient du second terme est positif, il est évident que ces fonctions sont placées toutes deux à droite de la fondamentale; que si, au contraire, le dernier terme étant positif, le second est négatif, on peut affirmer que ces mêmes fonctions sont placées toutes deux à gauche delà fondamentale. Or, dans le premier cas, il est évident que la première tierce de l'accord est majeure, et dans le second cas , il est tout aussi évident que cette première tierce est mineure.

Ayant ainsi déterminé la nature de la première tierce , il suffira , pour connaître la grandeur de la quinte, de diviser le coefficient du terme en x par la valeur numérique de la tierce ; le quotient donnera l'évaluation de la quinte de l'accord.

Par exemple, le polynôme proposé étant:

On voit immédiatement par le signe du terme en x, que les fonctions de tierce et de quinte sont placées d'un même côté par rapport à la fondamentale; et le signe moins qui affecte le coefficient du second terme, indique clairement que les fonctions cherchées sont à gauche de la fondamentale x sur l'échelle générale des quintes; il résulte' de là que la première tierce est mineure, c'est-à-dire qu'elle est égale à — 3, et en divisant -f 18 par — 3, on a pour quotient — 6, qui exprime la distance de la quinte de l'accord à sa fondamentale x. Les trois termes de l'accord en question sont par conséquent: x, x — 3, et x — 6.

L'accord est ainsi complètement connu, c'est celui de tierce et quinte mineures.

Il nous reste à examiner le cas où le terme en x est négatif. Il semble, lorsque cette circonstance se présente , qu'il ne soit pas aussi facile de déterminer les fonctions de l'accord par la seule inspection du polynôme qui le représente; on va voir qu'il est cependant possible d'y parvenir. Et d'abord , remarquons que le signe

moins qui affecte le coefficient du terme en x, est un indice certain que les fonctions de tierce et de quinte se trouvent de côtés opposés par rapport à la fondamentale de l'accord. En second lieu, on peut encore inférer du signe du coefficient du second terme , laquelle des deux fonctions , de celle placée à droite ou à gauche de la fondamentale, l'emporte sur l'autre en étendue. Mais ce que le signe du second terme ne saurait nullement nous apprendre, c'est la situation de la première tierce par rapporta la fondamentale, ou, ce qui revient au même, si cette tierce est majeure ou mineure.

Ayant ainsi reconnu l'insuffisance des signes pour achever, par l'inspection seule du polynôme , la détermination des fonctions de l'accord , lorsque le terme en x est négatif, il faut aller plus loin, et consulter la valeur numérique des coefficients; or, celui du terme en x étant le produit de la valeur de la tierce par celle de la quinte , sachant d'ailleurs que la tierce mineure 3z — 3 , et que la tierce majeure = -|-4, il est évident que si ce coefficient est — 3, la valeur de la quinte ne saurait être que -|- 1 . C'est en effet ce qui a lieu dans le polynôme :

qui représente raccord parfait mineur. La décomposition de ce polynôme peut donc se faire immédiatement par la seule inspection des termes. Mais il reste encore les deux polynômes:

x^ -\- 5x2 — 24ar. («)

Or, si l'on veut bien remarquer que dans tout accord de trois sons la première tierce est ou mineure = — 3, ou majeure := -|- 4, on en conclura que dans la décomposition en deux facteurs du coefficient — 24 , l'un de ces facteurs doit être ou — 3, ou -f- 4, puisque la quantité — 24 est le produit de la valeur numérique de la tierce de l'accord par la valeur numérique de sa quinte.

Cela posé , si l'on divise — 24 par — 3 , le quotient -j- 8 exprimera la grandeur (de la quint£ , et comme d'ailleurs on a :

— 3 + 8 = -^5, coefficient du second terme dans le polynôme («), il en résulte évidemment que ce polynôme est le produit des trois termes x , x — 3, x \ 8, et que par conséquent il représente un accord de tierce mineure et quinte majeure.

Si, au contraire, on divise le coefficient — 24 par |- 4, valeur numérique de la tierce majeure, le quotient — 6 sera la valeur numérique de la quinte, et comme d'ailleurs on a: -+-4 — 6r= — 2,

coefficient du second terme dans le polynôme (jS) , on est assuré que ce polynôme est le produit des trois termes x, j; + 4, x — G, et que par conséquent il représente un accord de tierce majeure et quinte mineure.

Les détails dans lesquels nous venons d'entrer paraîtront peut-être un peu minutieux au lecteur en possession des notions les plus élémentaires de l'algèbre ; mais comme nous écrivons principalement pour les artistes, nous avons pensé qu'une simple

indication serait insuffisante. Nous espérons que le temps n'est pas éloigné, où toutes les personnes qui cultivent les arts libéraux, posséderont au moins les notions les plus essentielles de l'algèbre et de la géométrie. Alors il ne sera plus permis de soutenir cette thèse étrange, à savoir que l'art et la science s'excluent ^ opinion née d'hier, triste symptôme du désordre intellectuel qui domine l'époque actuelle.

REMARQUE

En représentant par/(j:) le produit des termes d'un accord de trois sons, termes de la forme x, x + a, x-{-h, il est évident que leur somme , que nous avons désignée par ip3 (j?) n'est autre chose que :