Étude approfondie sur les deux équations fondamentales par m. E. Lamarle

L’étude dont je vais donner ici les développements, peut être considérée comme le complément d’un traité publié, en 1841, sous le titre suivant : Essai sur les principes fondamentaux de l’analyse transcendante, suivi des cléments du calcul différentiel résumés à un point de vue jmrement algébrique *. Elle consolide les bases de ce premier travail et le rend d'un accès facile; elle dégage de toute obscurité, de toute abstraction métaphysique, les principes qui y sont exposés , et les présente sous une forme où ils deviennent, en quelque sorte, matériellement sensibles.

Cette étude est divisée en quatre chapitres distincts. Le premier traite de l’équation symbolique.

= rw.

le second , de l’équation différentielle ,

(2) dy = f'{x). i*.

' Puris, Victor Dalmont, qaai des AagustÎDS, n* 49.

le troisième et le quatrième donnent un aperçu des ressources offertes , d’une part et en algèbre, par l’cquation (1), d’autre part et en mathématiques transcendantes, par rexacle interprétation de l’équation (2).

Une analyse succincte de chacun de ces chapitres permettra au lecteur d’en apprécier l’importance relative , et de porter directement son attention sur ceux des points traités qui lui paraîtraient sujets à controverse ou plus intéressants.

L’objet du chapitre 1" est d’établir à priori l’équation fondamentale

rw-

La fonction y = f{x) étant supposée continue, il est visible que si l’on fait décroître indériniment l’accroissement h, le rapport ^

se trouve assujetti à subir l’une ou l’autre des cinq conditions suivantes :

1° Demeurer constant;

2“ Converger vers une limite constante ou nulle ;

3“ Croître sans limites ;

4° Osciller sans fin entre plusieurs limites distinctes;

5“ Converger vers une limite qui dépend de la valeur attribuée à la variable x et change avec cette valeur.

On démontre aisément, qu’abstraction faite du cas particulier où la fonction y est linéaire, et où la condition (1) se réalise d’une manière permanente, chacune des trois premières conditions n’est jamais possible que pour certaines valeurs de la variable conservant entre elles des écarts déterminés. J’ai cru devoir reproduire ces démonstrations, en me bornant à en changer la forme. Quant à la condition (4) , je ne pense pas qu’on s’en soit occupé jusqu’ici , ni surtout qu’on soit parvenu à démontrer pour elle, comme pour les trois premières, qu’elle est généralement impossible. J’ai entrepris cette tâche délicate, et je crois être parvenu à l’accomplir, sinon aussi simplement que je l’aurais voulu , du moins avec toute la rigueur désirable, et sans recourir à d’autres notions que celles dont on a besoin en algèbre pour la résolution des équations du 1" degré.

Parvenu à ce point, j'ai pu conclure que la condition (5) subsistait

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

seule d’une manière générale et permanente. J’ai, en outre, établi que la limite du rapport éU + M — elle-même continue, soit pour toute l’ëteudue do l’intervalle où la fonction y varie avec continuité, soit pour une suite de subdivisions, comprenant dans leur ensemble toute cette étendue.

De là résulte l’équation fondamentale

,i„ Af '*) - A*)

rw.

démontrée à priori , sans autre secours que celui des premières notions de l’algèbre, pouvant être prise pour base de tous les développements ultérieurs, apportant avec elle une ressource précieuse jusqu’à présent interdite, oiïranl enfin une extrême facilité qui permet de pousser plus loin l’enseignement élémentaire, tout en lui imprimant une marche beaucoup plus rapide.

On objectera, sans doute, que des élèves, à peine initiés aux spéculations algébriques, éprouveraient une difficulté considérable à bien saisir l’ensemble des propositions développées dans le chapitre I"de cette étude. En ce cas, l’on peut y suppléer par certaines inductions géométriques, ou, plus simplement encore, se borner à poser en principe le théorème dont on a besoin, sauf à réserver pour une époque ultérieure la démonstration jugée d’abord trop difficile.

L’objet du chapitre II est de définir la différentielle et d’interpréter l’équation.

Partant de l’équation fondamentale

et observant l’invariabilité absolue du mode suivant lequel s’accomplit la génération simulUuiéc des accroissements Ax, Aÿ, lorsque la fonction y est linéaire, on est conduit à l’induction suivante :

l)atts toute fonction continue cl non linéaire

La génération simultanée des accroissements Aÿ et Ax commence en général suivant une certaine raison de profmrtionnalité. Conslammetit varialde avec x, cette raison est exprimée par la valeur particulière que la fonction dérivée f'(x) affecte à l’origine même des accroissements.

Pour vérifier l’exactiludc de celle induction , et établir, avec une rigueur * complète, le principe qui en dérive, je procède par voie de synthèse. Je prends une fonction quelconque continue ^(x), et j'imagine que, pour chaque valeur affectée par la variable, elle exprime la raison correspondante suivant laquelle commence la génération simultanée des accroissements Sy, Ax, y étant une fonction inconnue qu’il s’agit de déterminer d’après celte condition.

Je démontre alors ,

1" Que si l’on désigne par le symbole ]\j y*(i) la limite vers laquelle converge la moyenne arithmétique

+ f + etc. -H f + (n — 1) — j

à mesure que le nombre n devient de plus en plus grand, l’on a en général

iy

2° Que, si l’on identifie avec la dérivée f (x) la fonction y (x) dont on dispose arbitrairement, l’accroissement Ay devient lui-même identique à celui de la fonction f{x).

De là résulte la déduction suivante :

Les accroissements A(ax-j-è)~ oAx et Af{x) — Ax /(x) étant rapportés tous deux à une meme origine, et tous deux répondant aiscmblc à une même variation continue de la quantité Ax, c'est suivant un même mode de composition

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

muxessive que s'accomplit leur génération simultanée. La seule distinction consiste en ce que, /wur l'un, l'élément, représenté numériquement jxir a, intervient constamment sans changer de grandeur, tandis que, pour C autre, ce meme élément jxisse jiar une suite non interrompue de déterminations transitoires, toutes variables avec ;t dans l'intervalle Ax, et exprimées par la valeur corres}>ondante de ta dérivée f’(x).

Le sens exprimé par l’énonce qui précède pouvant offrir quelque obscurité, je le rends en quelque sorte matériellement palpable par une construction géométrique tout élémentaire.

Cela posé, je démontre :

1® Que la différentielle n’est qu’une différence ordinaire prise dans une certaine hypothèse ;

2° Que cette hypothèse consiste à considérer comme constante, pour toute l’étendue de l’intervalle Ax, la raison de proportionnalité suivant laquelle la génération simultanée des accroissements commence à l’origine de cet intervalle.

Je termine par l’exposé de deux théorèmes aussi simples que féconds en ressources, et par des considérations générales très-propres à élucider complètement la question importante traitée dans ce chapitre.

Le chapitre III a pour objet l’indication des ressources que peut offrir, en analyse algébrique , l’équation fondamentale,

lorsqu’elle est démontrée, ou admise à priori, et qu’on la prend pour base des développements ultérieurs.

J’établis d’abord la règle unique et générale d’où dépendent , comme conséquences immédiates, toutes les règles particulières de la dérivation.

J’en déduis la dérivée de la fonction x", l’exposant m étant quelconque.

Je démontre ensuite le théorème relatif à la valeur moyenne de la fonction dérivée, et j’établis les relations générales qui existent entre les valeurs moyennes des dérivées successives d’une même fonction.