ÉTUDE APPR0F0^D1E

De là résulte immédiatement, et sans qu’on ait besoin d'aucune autre notion pour y parvenir, l’identité générale

rw = A*) -e rw +

(5-— ar)"“* ^

Ml(î — *)/■*(■')•

comprenant, comme cas particuliers, le binôme de Newton, la formule de Taylor et celle de Maclaurin.

Passant aux différences ordinaires des ordres supérieurs, j’ajoute quelques nouveaux détails à la théorie générale des moijennes arithmétiques transcendantes, et je déflnis les moyennes multiples, ce qui me conduit à l'équation très-simple

A-y = AX". (X).

Je démontre d’ailleurs qu’on a généralement

"y — |n) rw + l'iT'l + 1"

etc.

le terme sommaloire, qui complète le second membre et le rend identique au premier, pouvant s’exprimer indifféremment, soit à l’aide des moyennes multiples à indices constants, soit à l’aide des moyennes simples à indices variables.

La simplicité, la facilité de toutes ces déductions dépend évidemment de deux causes. La première est la base fournie par l’équation fondamentale

lim

rw:

la seconde résulte de l’emploi du symbole adopté pour l’expression des moyennes arithmétiques transcendantes.

Il existe entre les moyennes simples ou multiples et les intégrales correspondantes une analogie manifeste. En la remarquant, l’on se deman-

SUR DEUX ÉQUATIO^S FONDAMEMALES.

dera, peut-être, pourquoi les avantages importants, qui résultent, en analyse algébrique, de l’introduction du nouveau symbole, ne peuvent s’obtenir également par l’emploi des intégrales. En voici la raison. Rien de plus simple, de plus élémentaire, que la conception de la limite vers laquelle converge la moyenne arithmétique

-t- de. B ^ J

Rien au contraire de plus obscur, de plus difficile à concevoir nettement, que la définition directe de l’intégrale. La considération des moyennes est, en algèbre, parfaitement à sa place. Elle n’apporte avec elle aucune complication et y est d’un immense secours. La considération des intégrales, telles qu’on les définit en analyse transcendante, ne saurait intervenir dans les éléments sans les dépouiller de la clarté et de la certitude mathématique qui y sont absolument nécessaires.

Le chapitre IV a pour objet l’indication des ressources que présente dans les diverses applications de l’analyse transcendante l’e.xacte définition de la difTérentiellc.

Je montre, d’abord, comment la dilTérentielle peut être définie, d’après la condition qu’elle remplit de former une partie déterminée de la différence ordinaire. Je signale les avantages que peut offrir cette première définition purement algébrique et essentiellement rationnelle. Je constate ensuite son insuffisance, et, après avoir rappelé ce que la différentielle est par elle-même, ce qu’elle exprime par rapport à la fonction dont elle dérive , en un mot quelle est sa signification véritable et complète, je donne un aperçu des ressources que présente ce nouveau point de vue, très-supérieur à la méthode infinitésimale.

S’agit-il d’aller au fond des choses et d’en pénétrer la nature intime? Il n’est besoin pour cela que de recourir à l’équation différentielle et de traduire en langage ordinaire la condition qu’elle exprime algébriquement. Les exemples de ce genre d’applications sont au nombre de quativ, comprenant, en géométrie, la question des tangentes et des rayons de

courbure, en dynamique, celle de la vitesse acquise et de l'action motrice dans le mouvement d’un point matériel.

S’agil-il, au contraire, de descendre des causes à leurs elTels, dans l’étude de certains phénomènes, compliqués par la variation incessante des grandeurs qui y interviennent ? L’équation différentielle résout la question proposée en exprimant les effets qui ont lieu dans l’hypothèse très-simple où les grandeurs dont il s’agit, cessant de varier, persistent dans une seule et même détermination devenue permanente. Le volume engendré par une aire qui se déplace en changeant de grandeur, l’espace décrit par un mobile qui se transporte en changeant de vitesse, sont les exemples choisis pour mettre en évidence les avantages offerts dans tous les cas de celte espèce.

Indépendamment des ressources que je viens d’indiquer, et qui résultent de l’application littérale de deux théorèmes exposés dans le chapitre second, l'on peut, dans un grand nombre de cas, procéder plus simplement encore , en se fondant sur certaines déductions de ces théorèmes ou des principes sur lesquels ils reposent. Pour donner une idée de l’extrême facilité que présente ainsi l’emploi des différentielles, considérées directement dans la génération qu’elles expriment , et où elles ne sont plus en réalité que des différences ordinaires, je donne la rectification de l’arc curviligne, les plans normaux et tangents, enfin la courbure des surfaces.

Je termine par les deux définitions que comportent les différentielles des ordres supérieurs, l’une résultant des différentiations successives, l’autre étant immédiate et tout à fait directe. Ici plus de difficultés. Tout se réduit à une simple extension de la définition donnée pour les difl'érentielles du 1" ordre.

La considéi-alion des différentielles des ordres supérieurs conduit .i la formule suivante ;

4ÿ = dy

ÏTâ'

ïTars

-t- etc.

OU plus généralement

rrt

+ etc.

SUR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. H

Ces formules ont l'avantage d’étre e.xlièinement simples et de trancher nettement avec la méthode infinitésimale. Elles font ressortir l'absurdité radicale de cette conception, où l'on imagine que les diiïéremielles s’évanouissent les unes devant les autres, lorsqu’elles ne sont point du même ordre, et toutes ensemble devant les différences ordinaires.

Les détails qui précèdent montrent suiiisamment que l’objet principal de cette étude est la définition de la dilTérentielle, et la création d’une méthode fondée sur cette définition, ou rien d’obscur ne reste, où rien non plus n’est omis de ce qu’il importe d’y introduire pour qu’elle soit complète.

Les géomètres, déjà familiarisés avec les diverses méthodes d’exposition du calcul dÜTérenticl, reconnaîtront aisément dans notre conception fondamentale la généralisation de l’idée mère des fluxions newtoniennes. Pour ne laisser aucun doute sur ce point, nous reproduirons ici quelques passages empruntés à Thomas Simpson et publiés par lui en 1796, dans la 2'“' édition d’un ouvrage intitulé : The doclr'me ami applications of fluxions.

Voici d’abord la définition que Thomas Simpson donne de ces quantités. Je traduis littéralement *.

1“ Pour se former une juste idée de la nature des fluxions, il faut considérer toutes les grandeurs comme engendrées par le dé|>lacement continu de leurs bornes ou limites, soit par exemple une ligne par le mouvement d’un point, une surface par le mouvement d’une ligne, un solide pai‘ le mouvement d’une surface.

2“ Chaque grandeur ainsi engendrée prend le nom de variable on fluente. La quantité dont une flnente s’accroîtrait imiformément dans un temps donné si la vitesse de génération, en une position ou un instant quelconque, deincu-

' I" In oriler to fonn a proprr itiea of the nature nf flaiions, ail kimls nf maynilutirs are la be comiilereJ as yeneraletl by the coxtiüUàl motion of some of their bountls or extremes; as a line by tlir motion of a point, a surface by the motion of a line, anil a solid by the motion of a surface. i” Every yuantity so gencrated is called a variable or flowing quanlity, aso tue macmtcde bt

WllICll ASY F1.0WISC QUASTITt WOUld BE VAIIORULT LYCBEISEO, lY A GIVEU POBTIU.Y OF TIUE, U'ith tlie gelie-

rating velocity, al any proposed position or instant, (u'as il front tlience lo continue inrariable) is the fluxion of the said guanlily at that position or instant.

rail dès lors invariable, est la fluxion de cette même grandeur pour cette ]X)silion ou cet instant.

Voici eiisuile quelques explications extraites de la préface du même ouvrage et ayant pour objet la justification des changements introduits par l’auteur dans la deuxième édition , comparée à la première

» Les notions et explications données ici sur les premiers principes des » Iluxions ne dilTèrent pas essentiellement de ce qu’elles sont dans le » traité sus-mentionné, bien qu’exprimées en d’autres termes. La consi- » dération du temps, que j’ai introduite dans la définition générale, sera

• peut-être mal accueillie par ceux qui veulent voir dans les fluxions de ■> simples vitesses; mais l’avantage de les considérer autrement (non comme

• les vitesses elles-mêmes, mais comme les quantités dont les grandeurs » s’accroîtraient uniformément en un temps fixé) me parait suflire pour » prévenir toute objection de ce chef.

» En considérant les fluxions comme de simples vitesses, la pensée » est, pour ainsi dire, restreinte à un point, et, si l’on n’y prend garde,

» insensiblement engagée dans des difficultés métaphysiques. Selon notre

• manière de les concevoir et de les exposer, l’étudiant a moins de pré-

• cautions à prendre, et les fluxions des ordres supérieurs sont rendues » beaucoup plus simples et plus intelligibles. En outre, bien que Newton » définisse les fluxions comme étant les vite.sscs elles-mêmes, cependant » il a recours aux accroissements ou moments engendrés pendant des'

' J7ie notion nnd explicaliun, hert given of the fini principits of fluxions, art nol rssmtially ili/fereiil from whnt lheij are in the abovr mcnIionneJ treatise, Iho' txpresstd in otiier ternis. The considération of lime, irhieli I hâve inlrndaeed intothe general définition, ti'itl , perliaps , be disiiked bij lliose U'ho U'ould hure fluxions lo be «uxn VBiocinrs ; but the advanlage of considering them 'OTMERWisE nol as the vriocities themselves, but the magnitudes lheg U’oidd tiuifurmly generale in a given finile lime uppear to me svffieienl lo obviale anij objection on thaï bead.

Bij luking flurions as meer velocilies, the imagination is eoufined, as il livre, lo a point, nnd , wilbout proper cnre, insensibhj inrohed in melopbysicnl di/fieulties. But aecordiny to onr mcibod of roneeiring and explaining the matler, Icss eanlion in the learner is necessary, and the bigher orders of fluxions are rendered mitch more easy and intelligible. Besides, tbo' sir Jsaac Xtwion defines fluxions lo be tiif. VEi.ociriES of motiors, yel be holb reeourse to the incréments or moments, gencralett in egual particles oftime, in order to détermine velocilies, irieh be afienrards lencbes us lo expound by finiie mngnitudes of other kinds , icilbout udiicb (as is aiready hinted above} ire could bave but very obscure ideas of the bigher orders of fluxions For if motion in for at) a point be se

SLR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES

» temps égaux pour déterminer ces vitesses, qu’il nous apprend ainsi à » représenter par des grandeurs finies d’une autre espèce, sans lesquelles » (ainsi que nous l’avons déjà indiqué) nous ne pourrions nous former » qu’une idée très-obscure des fluxions des ordres supérieurs. En effet, » si le mouvement en un point est si difficile à concevoir que l’on a été

• jusqu’à contester l’existence même du mouvement, combien doit-il être

• plus embarrassant de se former une idée, non-seulement de la vitesse » d’un mouvement, mais aussi des changements et modifications infinies » de ce mouvement en un seul et même point , où les fluxions de tous les » ordres doivent être rapportées.

» En voyant que la notion des fluxions, telles que nous les avons défi- » nies, suppose un mouvement universel, il peut paraître difficile, an » premier abord, d’assigner avec exactitude les fluxions des grandeurs

• engendrées par un mouvement accéléré ou retardé, puisqu’il n’existe

• aucune durée, pas la moindre, pendant laquelle la vitesse de génération

• demeure la même. Il est vrai que nous ne pouvons alors exprimer

• la fluxion par aucun accroissement, ou espace effectivement engendré

• dans un temps donné (comme dans le cas du mouvement uniforme); » néanmoins, il est facile de déterminer ce que ^rail l’accroissement con- » temporain, ou l’espace engendré, si l’accélération ou la rétardation

• venait à cesser à partir du point où il s’agit de trouver la fluxion. » De là, la vraie fluxion qu’on obtient elle-même sans le secours des

difficnlt lo coiiceive, thaï sont tiave, even.gouf $o far a* lo dispute lhe rery existence ofmotiun, how muet) perplexing musl il be lo form a conception, nol only of lhe velocily of a motion but aisu in infinité changes and affections of iT, in one and lhe saine point , where ail lhe orders of fluxions are lo be considered.

Seeing lhe notion of a fluxion , according lo our manner of depning il, supposes an unitvrsal motion, il may, jierhapi, secin a malter of difficully, al prst Dicir, how the ffuxions of guanlilies generaled by mcans of acceleraled or relarded motions, cnn be righily assigned , since nol ang , lhe leasi, limecan hc Inken , during whieh lhe generaling ceterily conlinues lhe same. There, indeed, we eannol exprès lhe fluxion by any incrément or spuce *ctuai.lt generaled in a given lime (a* in tiiiiform molionj; bal, lhen we ean eusily détermine whal lhe eontemporary incremeni, or generaled spaee, would bp., if lhe accélération or retardation was lo cease, al lhe proposed inisilion, in irhich lhe ffuxion is lo be found. Whenee lhe true ffuxion, il-self, will be oblained wilhoiit lhe ossisimice ofinpnilety small guanlilies , or ang melaphysical considération.

N ÉITDE APPROFONDIE

« (|uanlilés infiiiiiiieiU petites, ni d’aucune considération métaphysique. » On voit, par ces extraits, que la différentielle et la fluxion s’identiGent lorsqu’on restreint à un cas tout exceptionnel notre déflnition générale. Otte restriction, compliquée de la présence constante d’une idée étrangère, la vitesse, présente de graves inconvénients. 11 ne suffit pas, en effet, que la déGnition soit exacte et purement rationnelle, ni que, touchant au fond inéiiie de la réalité, elle en accuse une face particulière. 11 faut, pour la facilité des applications, que, sans devenir obscure à force d’être abstraite, elle conserve néanmoins toute la généralité dont elle est susceptible, et puisse ainsi, selon les cas, revêtir indifféremment toutes les formes qu’elle comporte. Un sens purement restrictif constitue déjà un obstacle : s’il se complique d’une idée étrangère, qui gèuc et entrave les déductions, qui voile ou dissimule la vérité, l’obstacle grandit et crée des embarras sérieux. De là vient l’insuffisance de la métliode des fluxions et l’insuccès des efforts laborieux tentés par Mac-Laurin pour l’approprier aux besoins généraux de l’analyse transcendante. De là vient qu'en dépit des avantages qu’elle offre, au point de vue algébrique et rationnel , elle n’a pu prévaloir sur la méthode inGnitésimale. Serons-nous plus heureux dans l’essai que nous tentons pour reconstruire la méthode des fluxions sous une forme qui la généralise, la complète et la simpliGe jusqu’à la rendre supérieure à toutes les méthodes connues. Nous croyons pouvoir l’espérer, sans trop do présomption. Déjà, depuis dix ans, nous n’avons pas cessé d’appliquer notre méthode, et nulle question ne s’est jamais offerte, que nous n’ayons pu l’aborder et la résoudre avec une facilité toujours au moins égale, et souvent supérieure, à celle que donne la méthode inGnitésimale. C’est là que nous puisons notre conGance. Toutefois, nous savons combien la considération habituelle des quantités prétendues in- Gniment petites rend la notion de continuité difficile à saisir : combien aussi l’on trouve commode de se tenir à des procédés qu’un long usage a rendus familiers. Ces conditions fâcheuses ne nous découragent point. Il n’cht, sans doute, aucun géomètre qui se représente l’abscisse et l’ordonnée d’une courbe comme croissant d’une manière discontinue, par des ehangeinents brusques et inGniment petits, déterminant des points isolés

SLR DEUX ÉQUATIONS FONDAMENTALES. Ifi

avec des vides intermédiaires. Là donc, on est forcé d’admettre la variation continue. Dés lors, il y a contradiction évidente à l’exclure dans tous les autres cas où elle subsiste nécessairement de la même façon. Que l’on veuille bien y réllécbir; que l’on fasse quelques efforts pour rompre avec d’anciens errements; que l’on ne recule pas devant les premières difficultés toujours inévitables dans une voie nouvelle : alors, pensons-nous, ce qui serait facile pour de jeunes intelligences, auxquelles une direction différente n’aurait point encore été imprimée, le deviendra de même, et à un bien plus haut degré, pour des esprits déjà initiés à toutes les ressources des combinaisons géométriques.