L'ART

posant encore :

eut

sachant qu’en régime permanent :

du oudx du dy du dz du du, 00

d xd oydt ad “5x ay

il vient :

c—R=—/Jfo(uS + pu + w De) dr —

= — ff pu (au + Bu + yw) dS + I] u div (6 V) dr.

Mais, sur une surface de courant, la vitesse étant dans le plan tangent : au + Av + yw = 0, d’autre part, l'équation de continuité implique : div (ON) A0) et, semblablement pour les autres composantes. En définitive, nous avons : (3) RE Dies Rs 0 some REA

où R,, R,, R, représentent la résultante des forces extérieures; quant à la composante v,

par exemple, soit :

= ns —yT) ds — /} 1 2 Vs + BYa + YŸs) — y (eXu + BX2 + YX3)] dS —

… LE HV MRC Ve — yX3) + Vs — x) | de

effectuant, en tenant compte de (2) :

posant :

Nu = [|| e @Y — yX) de,

nous imposerons, en outre, que Y, — X, — 0 et développant

SR dH OU doit o8 d0 dv

Édten Frost on at a UE = il vient

Se dv dv du au NE Re ee le, Jl e| GE En É or RE =) | =

Tes f PS + [Île div (e2V) — u div (eyV)] dr.

RS Nous avons toujours, d’une part, au + Bu + yw = 0, et d’autre part : 0 div XV) — u div (oyV) — (vx — uy) div (pV) = 0.

En définitive, nous avons, pour les composantes à, u, v : (4 | À

= 10: u— A, = 0, Vite: 0 Nous retiendrons que nous avons fait intervenir les conditions : | Ya = Ze Li = Xy X3 = Yy

qui expriment le principe de conservation des sommes de moments de quantité de mouvement et rendent symétrique la tenseur des efforts :

NAT HN | Te T, N3

Nous avons également supposé la dérivabilité des fonctions en jeu. Anticipant quelque peu, nous aurons l’occasion, au cours de ce travail, de constater précisément que les dérivations en question peuvent venir à faire défaut au sein même du milieu et, qu’au moins, quant à une catégorie importante de milieux, celle des liquides visqueux, les vitesses mêmes, en général, doivent être envisagées comme étant discontinues aux limites, c’est-à-dire au contact des solides limitants.

Cette affirmation absolument contraire à l'opinion jusqu’à présent reçue est, comme nous le montrerons, une nécessité analytique qui tient à ce processus de représentation et ne préjuge en rien des faits physiques.

IV-4 Nous allons maintenant établir analytiquement un résultat d’une importance capitale et qui, nous pensons par la suite le bien montrer, bien que connu en principe, n’a été ni simplement établi avant nous et encore moins convenablement interprété. Il s’agit précisément de ce en quoi l’objet de la présente section touche à la Thermodynamique, nous voulons dire au principe de la conservation de l'énergie.

Nous considérons J’énergie transformée (par unité de temps) dans la masse même du fluide continu considéré, du fait des actions superficielles sur ses propres limites ; c’est-à-dire que V étant le vecteur vitesse, nous envisageons ses composantes u, V, w, attachées aux particules fluides situées sur la surface de courant limitante rième et qui la constituent. Du fait de ce mouvement il se développe un effort unitaire T du fluide sur l'extérieur et le travail reçu par le fluide sera donc :

5) — [] VT cos (V,T) dS — — [| [GX + vY, + w2,) à +.(uXs2 + VYe + wL:) B + + (uX3 + 0Y3 + wZ3) y] dS

: 1x dt 19 2 y 2 0y 2y > QU: dv dw : (xs As Ps | CA

MT AN Res DR ROMRRE 8 Ê 22; 32 | Fe. He Ge: dy | tofs 7 3x oi ACT = ICE