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Comme nous le verrons, dans le cas des liquides visqueux, cette expression conduit, par simple substitution de leurs expressions particulières aux X,, Y,, Z, à la fonctionnelle de Lord RAYLEiGH. Telle est en général l'expression des travaux (par unité de temps) des forces extérieures tant superficielles que massiques qui se dissipent dans un milieu continu en régime permanent.

Les hypothèses de dérivabilité ont été mises en évidence et, comme nous le verrons, il est primordial de remarquer qu’en fonction de l'impossibilité de ces hypothèses cette expression pourra ne pas être applicable à un système, limites solides comprises, alors qu’elle s’appliquera au fluide même, compris entre ces limites.

Vu les conséquences très contraires aux opinions jusqu’à présent reçues que nous en tirerons pour les liquides visqueux, nous pensons que l'utilité de cette remarque précise et inattaquable, que nous venons de faire, n’avait pas encore été bien saisie jusqu’à présent.

Lorsque les forces extérieures dérivent d'un potentiel, nous allons montrer que & est nul (en l'hypothèse faite du mouvement permanent).

® étant ce potentiel nous avons en effet :

a ff (ee LD DIE RE Por -w=)

& f p® (au + Bo + yw) dS — DE div (eV) dr — 0.

ve

To

Le second membre de (6) représente alors l'énergie dissipée dans la masse fluide, du fait unique de l’action des forces de contact.

Aïnsi, dans ce cas où les forces extérieures dérivent d’un potentiel et supposant, pour fixer les idées, que la masse soit contenue entre deux surfaces, l’une étant intérieure à l’autre, l’expression (5) des travaux superficiels peut être entendue, pour une détermination convenable du sens des normales aux surfaces limitantes, comme la différence de deux puissances reçue par l’une des surfaces et transmise par l'autre.

Ainsi encore, lorsque les vitesses u, v, w, seront discontinues sur les surfaces limitantes en question, les intégrales pouvant avoir un sens au voisinage immédiat et de part et d'autre des surfaces de discontinuité, l'intégrale (5) devra toujours être considérée comme prise dans le fluide même où u, v, w seront déterminées et ceci amènera nécessairement à la considération, au moins virtuelle, d'une puissance dissipée dans les couches de passage que nous venons, ipso facto, de définir.

En tout état d'hypothèse l'expression (5) représentera, avons-nous dit, la puissance absorbée par le milieu continu et qui pourra donc ne pas coïncider avec la puissance dissipée par le système {couches de passage comprises).

III-5 Les intégrales relatives à la résultante et au moment résultant des forces de contact £, n, S, À, u, v, n'ont évidemment de sens physique immédiat que si elles sont prises relativement à une masse déterminée, c’est-à-dire sur des surfaces de courant fermées et sur le volume délimité par ces surfaces. Elles n’en ont pas moins analytiquement un sens en elles-mêmes quel que soit leur champ.

Si une telle considération ne paraît pas devoir présenter d’application immédiate utile dans le cas de l'emploi des équations générales du type (2), contenant les accélérations, nous allons voir qu’elle peut être au contraire d’une importance décisive quand on peut négliger ces termes, c’est-à-dire quand on considère les équations linéarisées. Nous supposerons encore que les forces autres que les forces de contact se réduisent à la pesanteur dirigée selon l’axe Oz. Aucune confusion de notation n'étant plus possible, nous substituerons aux expressions £, n, €; x, u, v, des composantes, les nouvelles notations X, Ÿ, Z; L, M, N, c’est-à-dire que R,, R, étant nulles :

DE

X = || GX: + 8X, + vx) 45, +

te DE

N= ff Er (Vi + Ye + Vs) — y (GX3 + BXa + VX3)] dS

et nous considérerons, in abstracto, ces intégrales prises sur une surface quelconque et même, aussi bien ouverte que fermée.

En se reportant aux calculs antérieurement faits, où il suflira d'annuler 6, on voit que, pour une surface fermée à l’intérieur de laquelle les conditions de dérivabilité impliquées sont satisfaites, les intégrales sont nulles.

X, Y, Z, L, M, N se réduisent alors, en général, à des fonctions de ligne.

Si l’on se limite encore à la considération de mouvements identiques dans tous les plans horizontaux, on est amené à envisager :

je hi (aX, + BX;)do, Y = [ (aY, + BŸ2) do,

N= fr Vi + 8) — y GX + EXD] ds

ri

Les intégrales curvilignes étant prises sur les sections droites d'arc os des cylindres correspondants : X, Y, N étant rapportées conventionnellement à l'unité de longueur

suivant Oz.

Les expressions ci-dessus peuvent encore s’écrire et de façon détaillée :

su œ,U (7) | X= | Xidy—X,dr, Y= / Yidy— Vide.

(8) N=—= | &Y, — yX;) dy — (XY3 — yX5) d?, e To,Vo

qui sont alors des intégrales de différentielles totales, c'est-à-dire des fonctions de point. C'est d’ailleurs ce que nous allons vérifier pour parvenir immédiatement à une remarque importante concernant le moment résultant N.

Pour X et Y, la vérification résulte du système :

RP

>X, , X; ROME A bye "Rs

\ Ses LL (9) LT COURS d dt

qui n’est autre que le système (2) linéarisé et rapporté aux mouvements plans considérés. Quant à N la condition s'exprime par :

Dig e DES Par Ù = -

x (GY1 — yX:1) + dy (Ya — yX2) = 0, qui, en vertu de (9), revient à :

(10) Yi — Xa = 0,

que nous avions antérieurement admise comme suffisante, en fonction du résultat à obtenir mais qui devient ici nécessaire pour que N soit également une fonction de point.