LAS

T étant une autre fonction, ce qui démontre la proposition en vue.

Il n’échappera pas que ce résultat peut impliquer de nombreuses équations, les unes dépendant de constantes arbitraires comme il en est de l'intégrale S — Cte, cidessus impliquée, et d’autres singulières, c’est-à-dire sans constantes arbitraires. Supposons, par exemple, que les conditions du cycle comprennent M équations indépendantes, du type F; — Cte, ceci implique qu’en l'hypothèse, on ait :

1 LR ne NO 7 Le UE ER ST TENTE

Pour la même raison que précédemment, on aura, par exemple :

Gao LG En PE GG CHI

c'est-à-dire, qu’indépendemment de toute modalité particulière, on a pour tout ensemble de cycles constituant un certain continuum

(21) Ada, + + À,dan = TdS = 0.

D'un point de vue strictement analytique l’équation (21) peut s’écrire de bien des façons, il ne faudrait donc pas croire que les fonctions T et S soient ainsi, et dès maintenant, déterminées, l’étude systématique de cette question, que nous n’entreprendrons pas ici, conduirait à un développement entièrement formel de la thermodynamique et certainement à des aperçus nouveaux du plus haut intérêt. Une telle étude relève, comme on sait, du problème de PrArFr et de la théorie des transformations de contact (2). Nous nous en tiendrons à ces quelques propositions qui se rattachent à ces doctrines que nous avons énoncées et allons compléter en vue de notre objet.

(1) On pourra consulter les chap. premier et 11 des Leçons sur le problème de PFAFF de M. Edouard GOURSAT et en connexion, le chap. x de la deuxième édition des Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, du même auteur. Du point de vue des applications, nous devons signaler une tentative de POINCARÉ dans un esprit toutefois assez différent de notre présente recherche. Cf. PorncaRÉ, Thermodynamique : extension du théorème de CLAUSIUS, deuxième méthode, pp. 246 à 258.

Er

Ayant donc établi que, pour tout cycle, l'équation prenait la forme (21) on peut se demander ce q'il advient de la relation (20) pour toute transformation ne faisant pas partie d’un cycle.

La relation S (&, d» … ax) — Cte, répondant à l'équation (21) combinée avec d'autres relations éventuelles nécessaires, définissent ensemble une multiplicité intégrale de l'équation de Prarr (20) ou (21) et on obtient ainsi, pour toutes les fonctions S qui y répondent et leurs fonctions nécessairement associées, toutes les multiplicités intégrales possibles, sur lesquelles les cycles, quels qu'ils soient, sont décrits; ces multiplicités intégrales étant des lieux de cycles. En particulier, toute multiplicité linéaire, quant à laquelle les variables, dont les 4, .…., ax, seraient fonction d’une variable unique, est nécessairement tracée sur une des multiplicités intégrales à un nombre de dimensions plus élevé, dont nous venons de parler et fait, par conséquent, partie d’un cycle.

Pour s’en rendre compte, il suffit d’ailleurs de reprendre un raisonnement que nous avons fait un peu plus haut, en se plaçant dans le cas particulier de N — 1 relations indépendantes non toutes singulières entre les a; et qui, en l’hypothèse présente et l'équation (20), doivent au moins exister; l’existence de multiplicités intégrales à un nombre plus grand de dimensions étant admise.

Nous pouvons maintenant répondre à la question soulevée.

Les transformations non cycliques ne peuvent satisfaire à l'équation (20) quelle qu’elle soit et ne sont donc pas justiciables d’une description dépendant d’un nombre fini de variables

COROLLAIRE : au sens de ce qui précède, ni la forme linéaire de différentielles dQ, qui exprime la quantité de chaleur ni, à fortiori, la différentielle totale dU de l'énergie n'ont été définies jusqu’à présent, c’est-à-dire analytiquement, autrement qu'en ce qui concerne strictement les transformations cycliques c’est-à-dire les transformations réversibles au sens de la Thermodynamique.

Ces définitions en question ne sont donc pas exactement valables dans le cas de transformations irréversibles et ne peuvent constituer que des approximations analytiques plus ou moins divergentes ou plus ou moins approchées, selon les cas.

I-3 Nous consacrerons ce paragraphe à un rappel des notions fondamentales et élémentaires de la Thermodynamique que nous situerons par rapport aux propositions générales dont l'établissement a fait l’objet des paragraphes précédents.

On sait, en Thermodynamique expérimentale, que si la notion de reversibilité peut paraître liée dans une certaine mesure à celle de la lenteur des transformations, ce point de vue est, a priori, beaucoup trop étroit : Une transformation est dite reversible si elle fait partie d’un cycle (au sens que nous avons défini) et que, par conséquent, le retour à l’état initial est possible (sans qu'il subsiste par ailleurs d’altérations)

Cette question de la lenteur des transformations comme pouvant conditionner, dans une certaine mesure, la reversibilité de ces transformations doit précisément dépendre, dans chaque cas, des principes qui serviront à l’étudier ensuite et n’en doivent pas, eux, dépendre quant aux définitions; comme l’a nettement posé Max PLANCK dans sa Thermodynamique, cette restriction, a priori, imposant la lenteur aux transformations, n’a aucun rôle utile à jouer dans la définition théorique de la reversibilité. C'est, entre autres, ce que nous avons pensé contribuer à pouvoir mieux faire saisir jus-

qu'à présent en mettant, en quelque sorte, en évidence l’ossature analytique de cette discipline particulière : la Thermodynamique.

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Maintenant, et quant au résultat fondamental que nous avons établi et qu’exprime l'équation (21) et ses conséquences, nous avons dit quelle incertitude pesait sur la détermination des fonctions T et S mises en évidence. La Thermodynamique expérimentale permet de lever cette indétermination au moyen de considérations simples qui, pensons-nous, se ramènent à la notion d'indépendance où d’additivité, de systèmes partiels, combinée avec celle d’un équilibre thermique déterminé et commun aux parties (principe des températures égales). On sait que T est la {empérature absolue qu’on peut évaluer directement dans des intervalles étendus au moyen de la pression à volume constant de tout gaz ou de toute vapeur, c’est-à-dire de toute matière à température suffisamment élevée et rapportée dans les conditions usuelles de la pratique aux gaz difficilement liquéfiables puis étendue, analytiquement, ensuite, à tout intervalle au moyen des principes que nous avons exposés et des propriétés des substances; dans la mesure, bien entendu, où ces propriétés en question peuvent être analytiquement exprimées comme il doit en être des principes eux-mêmes, au sens que nous avons mis en évidence.

Relativement à une équation telle que (21) on pourra, par une définition qui se comprend d'elle-même, en fonction de ce que nous avons établi, dire par exemple qu’elle s'applique à un système décomposable en {rois systèmes indépendants si, du point de vue de la recherche des multiplicités intégrales, elle peut s’écrire :

étant entendu que l'indépendance en question implique qu’on puisse annuler séparément dS,, dS, ou dS, et varier le système partiel correspondant, c’est-à-dire à S, — Cîe, S, — Cie ou bien S, — Cte, et cela quelles que soient les valeurs des constantes arbitraires ci-dessus.

Utilisant un raisonnement employé par PoINCARÉ que nous nous contentons de reproduire ci-après (!) ces conditions s’exprimeront analytiquement par

(23) = — ex, a — ex T — eX2

X,, X», X, étant des fonctions de S,, S,, S, satisfaisant donc à : (24) X1 + Xe + X3 = 0

et puisque = doit être, en l'hypothèse, indépendant de S,, mutalis mutandis pour les

autres rapports, On a :

De (24) et (25) on tire :

fr Dan EU SR Sn booba