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Passons au cas de plus de deux alternatives : soientles » collectifs

(alternatives) FD LANCE DE À 2 m | és Ta = Ti X5 Lo ... : QUE (39) : ae & / Lim D = jo (= ie, SD A Au à | Re PA A EE ( AE au DD En a)

nul

relatifs à 8, So, . .., Sn: La suile (x7, x, ..., x) peut prendre 27 formes différentes, soient m,, ma, .... ma (a — 2"), d’où, en désignant par mi la °° colonne de (39), la suite

(40) mi | Os oo NE ORAN OUI ROUTE) Dérinirion 10. — Soit S un système de sélections relatif à

une suite telle que {mi}; les collectifs x,, æ:, ..., æh seront associables relativement à ‘S si {mi} est un collectif relativement à S. Ils seront indépendants si nous avons de plus

Jr : 1 | . à Him ES hEhsenTne Je JON m=— 2 M dm “ ed (41) { m 1 NW Jim — > (1— xl) th —=(1—pi)p2...Pn, m= 2 NN Ted

l'expression sous le signe À prenant 2" formes différentes, en remplaçant de toutes les manières possibles certains des x} pari sn, bte

Passons maintenant au cas où les collectifs considérés sont en

infinité dénombrable; soient les collectifs x4, æ», .... æn, ... de fréquences p;, Ps pe Dérinirion 11. — Soient S,, 82, ..., S,, ... une suite de

systèmes de sélections, 8; étant relative à un collectif de la forme { m}} où! m} est une suite de i termes égaux à o ou à 1; les collectifs x1, &+, ..., æn, ... seront associables relativement à la suite { S;} si quel que soit n, lesn collectifs 1, ar sont assoctables relativement à S,. [ls seront indépendants si quel que soit n, les n colléchfs teen sont indépendants.

Dans le cas où Pa Pr, = Dr... ous allons voir que l’on peut satisfaire à la définition (11) en imposant des conditions plus restrictives, mais plus commodes. Considérons le tableau infini ||x{|| des termes des collectifs considérés, et écrivons ces termes en les rangeant en une suite unique

À E—=xixiairirixixtrixixt . ..

D'une manière précise, nous aurons

(42) EEE. En à

le terme x} occupant dans E le rang SE Re RC A LC.

correspondance entre £ et le tableau des x/ est biunivoque, ainst que l’on s’en assure facilement. Remarquons que dans £, æit esi à droite de x} et que x4,, est à droite de xl. Étant donné un collecuf +,, il existe une sélection À qui, appliquée à £, donne +, ; de même étant donnée une sélection B appliquée à +,, il existe une sélection B' telle que B'(£) —B(x,) quelle que soit la valeur des æ!. |

Considérons maintenant une sélection du système S;, soit S;, qui choisit certaines colonnes de 7 termes tenu compte des formes des colonnes précédentes : puisque x4°! est à droite des æ},, il existe une sélection qui, appliquée à £, ne conserve dans ë que les terms appartenant à des colonnes conservées par Si, et cela toujours quelle que soit la valeur des termes æ/. Soit S; cette sélection. Si £

te estde fréquence p, nous pouvons astreindre la suite S’(£), à laide d’un nombre fini de sélections, à jouir de la propriété suivante, si elle est un collectif relativement à ces sélections : « si l’on partage S;(£) en tranches de longueur #, toute tranche contenant à fois o et 6 fois 1 intervient avec la fréquence p*qP(a+B =; p + q—1).» Il suffit de considérer la sélection qui choisit les termes de TANgS 1, +1, 221, 3E+1; ...; Si S,(E) est un collectif relativement à cette sélection, les tranches qui commencent par 1 ont la fréquence p. On considère ensuite la sélection qui choisit les termes de rang 2, i+2, 27+ 2, ... précédés d’un 1 : les tranches qui commencent par 11 ont alors la fréquence p?; puis la sélection qui choisit les termes de rang 2, +2, 2140, précédés d’un o : les tranches qui commencent par or ont alors la fréquence gp, et ainsi de suite.

En remarquant que les tranches de z termes dans s;(£€) correspondent à des colonnes de £ termes dans ||x/|}, et en observant qu’une sélection appliquée à S;(£) peut être considérée comme une sélection appliquée à Ë, nous voyons que dans l'hypothèse

ha. ==, 5e) nous pouvons énoncer la proposition :

Quels que soient : les systèmes dénombrables de sélections définissant les collectifs x,; les systèmes dénombrables 5, définissant l’associabilité :

Il'existe un système dénombrable S tel que si£est un collectif

K(S, p),en remontant de £ au tableau || x}|| les suites formant les lignes de ce tableau soient des collectifs satisfaisant aux conditions imposées, pour chaque collectif séparément, pour

l’associabilité, et pour l’indépendance. *

8. Conséquences de la forme de l’irrégularité imposée par les sélections.

Les théorèmes de la théorie classique modernisée concernant les probabilités dénombrables de M. E. Borel ne peuvent être tous démontrés dans la théorie des collectifs telle qu'elle est exposée ci-dessus.

Nous allons le montrer sur un exemple. Considérons le théorème suivant (p. 40).

La probabilité que dans une suite infinie d'épreuves indépendantes de même probabilité p, l'inégalité

ait lieu une infinité de fois est égale à 1 (» — nombre de succès parmi les p premiers épreuves).

Pour démontrer ce théorème dans la théorie des collectifs, il faut former un collectif dont chaque élément soit une suite : nous devons donc considérer une infinité de collectifs indépendants, de même fréquence. Quelles conditions pouvons-nous faire intervenir dans la définition de ces collectifs et de leur indépendance ? Seules des conditions de la nature de celles qui figurent dans la définition 11, du moins en: l’état actuel de la théorie. Or, de telles conditions peuvent être mises sous une forme plus restrictive en astreignant & (p. 50) à être un collectif K(S; p). Remarquons que & contient les sélections qui extraient de £ les collectifs +, eux-mêmes. Reportons-nous maintenant au théorème IV; quel que soit 5, il existera une suite £ telle que dans toute suite +, qui s’en déduit en passant de £ au tableau || x/|| (ce qui peut être considéré, nous l’avons vu, comme le résultat d’une sélection) l’inégalité (43) n'ait lieu qu’un nombre fini de fois. À

A fortiori, quelles que soient les conditions imposées pour l'indépendance, il existera des collectifs indépendants tels que dans chacun d’eux, l'inégalité (43) n’ait lieu qu'un nombre fini de fois.

Par ailleurs, il existe également des collectifs satisfaisant aux conditions d’indépendance données et tels que pour chacun d'eux l'inégalité (43) ait lieu une -infinité de fois. Il suffit pour le voir de remarquer que si l’on détermine les suites æ,, æ», ..., Zn; +. en procédant par tirage au sort, il y à une probabilité égale à 1 pour que les relations d'indépendance soient satisfaites, et que pour chacune : de ces suites (43) ait lieu ‘une infinité de fois.

Nous pouvons donc conclure :

Taéorèue V. — Soient donnés :

1° une valeur P quelconque comprise CILÉRCRO CLS

ue

2° un système R quelconque (mais dénombrable) deconditions d’associabilité et d'indépendance au sens de la définition 11;

3° la propriété P qui consiste pour une suite en ce que l'inégalité (43 ) n’a lieu qu'un nombre fini de fois.

Dans ces conditions, il existe entre autres :

+. une suile de collectifs de fréquence totale p, indépendants relativement aux conditions d'indépendance R., suile de collectifs dans laquelle la fréquence totale de ceux qui présentent la propriété P est égale à 1:

B. une suite de collectifs de fréquence totale p, indépendants relativement aux conditions d'indépendance R, suite de collectifs dans laquelle la fréquence totale de ceux qui présentent la propriété P est égale à o.

On ne peut donc pas songer à démontrer Le théorème classique, envisagé ci-dessus, au moyen de la théorie des collectifs, telle qu’elle à été précisée par M. Wald. Il faut d’ailleurs reconnaître que des théorèmes de cette nature (!) n’ont jamais été envisagés dans la théorie classique avant la théorie des probabilités dénombrables de M. E. Borel, ni, après, par les auteurs qui définissent la probabilité par la fréquence totale, et que si, comme tel semble être le but de ces derniers, ils n’ont en vue que les applications, il n’y à aucun inconvénient à ne pas démontrer ces propositions.

(!) Où intervient le principe d’additivité complète des probabilités.