LES SUITES INDIFFÉRENTES

SOMMAIRE. — |. Suites indifférentes. — 9, Sélections bornées. — 3. Composition des sélections bornées. — 4. Suites de Bernoulli. — 5. Sélections laissant

invariante l’indifférence d’une suite.

Les suites indifférentes ont été introduites. en vue de fournir une représentation d’une suite prise au hasard, par différents auteurs, en particulier : MM. Popper, sous le nom de Nachwirkungsfreie Folgen; Reichenbach, sous le nom de Normale Folgen; Copeland, sous le nom de Admissible Numbers; enfin, elles cons- Utuent un cas particulier des collectifs de de Misès-Wald.

1. Suites indifférentes. — Soit x — x! 2°..." ... une suite formée de o et de 1, représentant les résultats d’une suite d'épreuves indépendantes et faites dans les mêmes conditions, M. Popper ([1}, p.106) considère qu’une suite donnée, telle que +, fournit une représentation satisfaisante d’une suite fournie par le hasard si : :

a. La fréquence des 1 dans x existe (p- 3). Sort p cette fréquence.

b. Quelle que soit la configuration (a' a? .… ae) (pra )"0n extrait de x une suite partielle en ne conservant que les termes qui sont précédés de la configuration (at a? À.. de fréquence des 1 dans cette suite existe et a Imême valeur que

dans x. é

M. Popper appelle de telles suites des suites indi fférentes de tout ordre. Nous dirons simplement des suites tndifférentes.

Avec les notations introduites dans le Chapitre Î nous obtenons la définition :

Dérinirion 1. — Une suite x— {x} (xi— 0 ou 1}, sera dite indifférente si :

a. la fréquence des 1 existe, soit [1] — p; 6. quelle que soit la configuration (a'a?...a"), la relation suivante a lieu ue. crie (1) lim FREE Je = en INC CT AE Nous supposerons essentiellement dans ce qui suit que O<Tp<1. Nous déduisons de la définition 1 que Si enest une suite indifférente où [1[°=—p (nous dirons une suite indifférente de fréquence p), la limite lim [o]? existe et a pour valeur

qg—1— p. D'une manière générale, supposons démontré que :

2 lHimata?...am|r= prqn— Où V—= al+a?+..,.+ am, k D

Nous déduisons de (1) que

lim [aia? Li 17 77/1 get}

et, par suite,

lim [ai ARE AO] DV GE) D Ya QT — pYqrHiv,

n= 0 ce qui montre que (2) est vraie pour m +1. Donc (2) a lieu pour tout m. Réciproquement, si (2) a lieu pour tout m, on en déduit immédiatement (1). La définition suivante est donc équivalente à la définition 1 :

Dérinrrion 2. — Une suite x — {| xi} est dite indifférente de fréquence p si, quelle que soit la configuration (a'a?... a"), nous avons

[ ai AL CALE = INC" (y = GS GS EN LE am), Remarquons :

1” que p’q”" est la probabilité de voir apparaître la configuration (a! a? ... a”) si la probabilité de {æi=— 1 } est égale à p,

et si æ!, x?, ...,xæ" sont des variables aléatoires indépendantes ; 2° que la définition À montre que les suites indifférentes sont un cas particulier des collectifs de de Misès-Wald, puisque ne conserver dans x que les termes précédés d’une certaine configu-

ration, c’est opérer une sélection. Nous allons préciser ce dernier point.

2. Sélections bornées. — Une sélection (p- 14) est définie par une suite {fi} de fonctions, fi étant à & arguments. Nous dirons qu’une sélection est bornée s’il existe un entier n tel que les fonctions f; ne sont fonctions que des valeurs de n termes au plus précédant le terme à choisir. D’une manière plus précise :

DéFiNiTIoN 3. — Une sélection, définie par la suite no est dite bornée et à n arguments s'il existe une fonction CARTES h)àn arguments, ne pouvant prendre que les

valeurs o et 1, telles que, pour i2n, on ait (3) Jia mi. at)=g(rient, gente Hi)

e sorte que f; est indépendante de à et de x Re US d Leg t'indépendante d RS CRARECS DE

Pour Ji, dans une sélection bornée à » arguments, n'est soumise à aucune condition. Nous supposerons fi— 0 pour i< n, ce Qui ne supprime qu’un nombre fini de termes dans la suite obtenue en procédant à la sélection. Les sélections bornées à n arguments sont en nombre fini, à savoir le nombre de fonctions o distinctes, qui est 22". Le système © des sélections bornées est donc dénombrable. Tout collectif K(®; p) est manifestement une suite indifférente. Nous allons montrer que {oute suite indifférente de fréquence P est un collectif K(@; p), et, qui de plus est, qu’en appliquant à une suite indifférente de fréquence p une sélection quelconque du système Œ, on obtient une suite indifférente. *

3. Composition des sélections bornées. -— Nous avons défini (p. 26), étant données deux sélections À el B, la somme, À + B, le produit intérieur À .B, le complémentaire 1 -- A, Nous allons définir une autre opération : le produit extérieur (cette notion à été introduite par M. Wald),

Dérinrrion 4. — Étant données deux sélections À et B, nous appellerons produit extérieur de À par B la sélection C qui de

toute suite x extrait la suite C(x) = B[A(x)] que nous noterons CR; <A:

On voit facilement qu'appliquer à x la sélection À, ce qui donne la suite A(z), puis appliquer à A(x) la sélection B, ce qui donne la suite (B < A) (x), équivaut bien à appliquer une sélection unique à #. Remarquons que le produit extérieur n’est pas commutatif.

Nous allons voir comment, si A et B sont des sélections bornées, on peut exprimer la sélection À >< B.

Soit (a!'a?...a") une configuration quelconque. Désignons par ja!'a?...a"} la sélection qui choisit x* si les termes TR Lo formentlatconieuratonn( alta am)wet

dans ce cas seulement. Considérons maintenant la sélection À < B, et soit z un entier quelconque; parmi les 2" configurations (a! a?... a") possibles, rangeons dans une même catégorie celles qui jouissent de la propriété suivante :

Ce RG Pi 1 0 td, le terme 7 apparent à la suite (A < B)(x).

Appelons (æ'4?...x") les configurations de cette catégorie, et soit Zlatæ?...7t} la somme des sélections associées à ces configurations. Tous les termes de la suite [Z{a'æ?...aæ"}](x) appar-

tiennent à (A >< B)(x), et réciproquement, si æ* est choisi par A >< B, il sera choisi par une des sélections fa! a?...2v-1}. Nous pouvons donc exprimer À x B par la double somme infinie

(4) \ KB = lala... ant.

DAS? Î ñn

Les sélections qui figurent dans le second membre de (4) peuvent ne pas être toutes distinctes. Si en effet nous trouvons dans ce second membre deux termes de la forme

9 4 j l MAC ACC an ET er mi,

+ ml 7 Con RC 7 AN,

tout terme de x choisi par la première sélection Le sera par la

seconde: nous pouvons donc supprimer la première sélection.

ges Opérons dans le second membre de (4) cette suppression de termes superflus, d’une manière méthodique : soit s la longueur minimum des termes figurant dans (4); nous supprimerons tous les termes de longueur s +1 qui peuvent être obtenus en prolongeant à gauche un terme de longueur s figurant dans (4). Nous supprimons ensuite tout terme de longueur s+ 2 qui peut être obtenu en prolongeant à gauche un terme de longueur s ou s+: figurant déjà dans la suite, et ainsi de suite. Cette réduction étant faite, nous obtenons pour À x B une expression

(5) Dr

Par exemple, le développement de {1 } x {o} sera

{1} x{o}= for) + forro! + {orr1o} +...

Les sélections { B! 62... B'"} sont disjointes, en ce sens que les suites {6'6?...f6*}(x) sont disjointes. Considérons les sélections À et B elles-mêmes, qui sont bornées par hypothèse; supposonsles à L et Æ arguments respectivement. La sélection 1 — À n’est pas exactement une sélection bornée, puisqu'elle choisit les X premiers termes de toute suite, et que nous avons supposé qu’une sélection bornée à # arguments ne pouvait choisir des termes qu’à

partir du » +1. Nous appellerons À la sélection qui ne choisit aucun terme de rang <k, et qui, au delà, coïncide avec 1 — À. De même nous définirons B. À et B étant bornées, les sélections

A x B, À xB, À <B sont susceptibles de représentations telles que (5) : nous les noterons

NT — e À x B=S il}, AxXB=Y {a}, (6) e e ns AXBEN io: PR En nt l è Lo | a N {ui}, {si}, {ei}, {ti} représentant des sélections de la forme A eine Considérons la sélection *

l=AXB+AXB+ASR + AE.

La suite l(x) ne contient pas tous les termes de æ mais les

re contient sûrement tous à partir du rang k--2h+1. En eflet, parmi lesk+oh+ti premiers termes, il yena 2h +1 qui appartiennent à la suite (B + B) (x); donc l’une des suites B(æ) ou B(x) en contient au moins À + 1; soit B'(x) cette suite, l’une des suites (A x B') (x) ou (A *< B') (x) contiendra le terme de rang +1 de B'(x), donc un terme de rang <k+2h+1 de æ.

Considérons maintenant le système Œ@ de toutes les sélections bornées, et soit & une suite indifférente. Étant donnée une configu-

ration (p'p?...p°), elle figure dans x avec une fréquence égale au nombre

(7) fete 9 ÿ = p°

Revenons à la formule (6), où A et B sont deux éléments de &. Etant donnée une sélection fui}, où ui—(c'o?...0"), nous lui associons le nombre

(8) RAI EEE Nous allons montrer d’abord que :

(9) D'lel+d Lel+ Sd fm) + Lul=r.

Soit z un enter >> k + 2h +1; considérons les sélections

les sommations étant étendues aux configurations de longueur € n. La sélection