PL A I
2° La série de terme général — p(n)e ## est convergente.
p(r) étant croissante, la limite lim o(n) existe. Nous allons n— © £ voir qu’elle est infinie : si en effet elle était finie, la série considérée aurait, pour les grandes valeurs de n, ses termes comparables à ceux de > — il ÿaurait contradiction.
Par ailleurs, la fonction we" est une fonction décroissante de w pour u > 3 donc le terme général de la série considérée
décroît, quand n augmente, à partir d’une certaine valeur, finie,
de ». Nous en déduisons que si l’on interpole la fonction o(n),
définie pour les valeurs entières de la variable, par une fonc-
tion 9(@) croissante de la variable continue 8, la convergence de : : “ + dû ue
la série entraîne celle de l'intégrale f pe? -- (et réciproque- 1 “
ment).
Puisque 9 e-* décroît pour les grandes valeurs de 4, nous avons
(25) if
(A p eŸ? = > ?(@) e—2%(0) Log 05 — os
où p est un nombre indépendant de 9,. Nous en déduisons que pour toutes les valeurs de 8 supérieures à une certaine valeur finie, nous avons
(26) 2(8) > V Log Logf.
Si en eflet (26) n'avait pas lieu pour une suite de valeurs de 8 tendant vers l'infini, nous déduirions de (25) que l'intégrale diverge.
Remarquons que si l’on prend (nr) —=(1+e)yLog Logn, les conditions de l’énoncé sont satisfaites. De plus, pour cette fonction o(n) particulière, l’expression ne? est une fonction croissante à partir d’une certaine valeur de u, et infiniment grande avec 7. Nous ajouterons, pour une raison de commodité, aux hypothèses 1° et 2° l’hypothèse supplémentaire, qui, nous venons de le voir, n’est pas contradictoire avec les hypothèses déjà faites :
3° La fontion Vn Ces born suffisamment grand, une fonction croissante de n. tnfiniment grande avec n.
La proposition que nous allons démontrer est la suivante :
SE les hypothèses 1°, 2°, 3° sont réalisées, la probabilité que l'inégalité (24) ait lieu pour une tnfinité de valeurs de n est nulle.
Les hypothèses 1°, 2°, 3° étant faites sur o(n), nous allons chercher à interpoler o(r) au moyen d’une fonction o(@), de la variable continue 4, positive, croissante et telle que ve eP*%8) soit croissante pour 0 suffisamment grand. Considérons l’intervalle (n, n+1) pour 4, et soit w(0) une fonction de 4 continue et dérivable. Nous avons
d }; à INC du VO E— —<|1—4u0—— |.
dV ral in % |
Considérons l’équation différentielle
GATE dé {up Sur toute courbe intégrale, V8 e7 est une constante; donc, d’après
l’hypothèse 3°, si nous désignons par w,(8) l'intégrale définie par la condition u,(n)— o(n), nous aurons
(27) Var+ie-tinh) € nr e-plrrt),
Considérons maintenant l’équation diflérentielle
du k
— = — k = const.) 716 ui (== const
et soit u4 l'intégrale telle que wx(n) —œ(n). u, est une constante, donc
(28) Vr+i e-uëlrH) > /n + 1 er),
En comparant (27) et (28) el en observant que siux(n) = @(n). ux(n +1) est une fonction continue de k, nous voyons qu'il existe une valeur de k comprise entre oet1 telle que
Vr rein) Vin Er e-plrH.
Par ailleurs à | TS Ces
Pt, =UL = —}}# .
T 6 eT Uk à 7 e: )>0o
La fonction w(8) déterminée par le procédé ci-dessus réalise l'interpolation cherchée. En opérant de même pour toute valeur de n, nous obtiendrons une fonction w(9) croissante telle que 2 e- #0) soit croissante pour les valeurs de 0 suffisamment grandes,
5“ AG : y 5 telle que f pe? TG Soit finie, et coïncidant avec la fonction o(n) gi
donnée pour 0 entier. Dans chaque intervalle de la forme (n, n +1), nous avons, nous l’avons vu,
sa Éneéhn — d& 406
: : ; 9 Or, si nous considérons la fonction mL nous avons
d I [A | < TI | I | = — - ———— | — — |.
dé 5 YBLd4 20 20Y6L2%
Pour 0 suffisamment grand, =. est donc une fonction décrois-
sante. On voit facilement qu'elle tend vers zéro quand 8 tend vers l'infini.
Considérons maintenant la fonction de 4 définie par
(29) 2(0) = 8p + ?(6) V26pgq et posons oz (0) a(8) = Le
Il existe une valeur de 8, soit 4,, telle que, pour 0 >> 85, «(8) soit une fonction décroissante de 4, comprise entre p'et 1. De plus, nous avons
(30) lima(t)=p, lim V8La(8) — p] = «.
Supposons que nous ayons déterminé une fonction s(z, Yÿ)
définie par une expression de la forme (22), où æet y sont >o (entiers ou non), et telle que :
(31) S(t+h, y —h)>s(x, y) (k== 6), (32) im sCe(0), 0— 3(8)] = o.
Soit E, l’événement qui à lieu s’il existe une suite infinie de
EROPTE
valeurs de n, soit { n;}, telle qu’en désignant par | x; } la suite des répétitions correspondantes, on ait, pour tout ,
Li— np > (ru) V2r:pg.
E, implique que pour tout à S(æi, Yi)2S[2 (mi), ni— z(n:)] (Yi= ni — ti)
d'après (31). Si donc E, se réalise, nous aurons, en désignant par « la répétition w correspondani à x
B. sup
MSC) (y =n—x) =, din * É
et, par conséquent, d’après (23), la probabilité de E, sera nulle. On traiterait de même l’événement E, correspondant aux inégalités
Li— rip L— (ri) V2ripg.
Notre méthode de démonstration se ramène donc à la recherche d’une fonction s(x, y) satisfaisant à (31) et (32).
Nous prendrons pour s(x, y) une fonction de la forme
(33) s(æ. PE pq | (a — tp (0) dt,
f(t) étant une fonction non négative, telle que ES p CIE P
Un calcul simple montre que (31) est vérifiée. Passons à (32), et posons
Astreignons f (4) à être décroissante; nous aurons alors # Û 3 w(0)2 pe q5 fe) f (1— 4)—3 dt (2= 5) P Posons
E(t) = a Logt+(1— a) Log(i—{)— «x Logp —(1—2)Logg;
nous aurons
(0)2,f(2) [286 dt.
Quand 9, «> p et 6 >. Nous avons au second membre une forme indéterminée ; nous allons lever l’indétermination en développant £ par la formule de Taylor
É—o, (et), a ECE) = E(a) + Re Ge. (a) RE rE PL (B),
où 6 est une valeur comprise entre & et t. On constate que E"(£) <o; on en déduit que dans l'intervalle p Lt < x
sD24(e) 2e ro + Er) A
ou encore, en explicitant
£ EC#)Za Log + (1— à) Log
avec
ne fa) [5 D),
Quand « varie de p à 1, l’accolade a, en valeur absolue, une borne supérieure bien déterminée, qui ne dépend que de p et g; il existe donc une constante # telle que
InlSA(a— +) <k(a—p}), d’où
3 æ . RER LR ee d), 2 NE 0 See an ({— a}2.
Opérons de même pour
| RS à
(2) = a Log = + (1— à) Log De r"(x) > o, nous déduisons
(a)25(p) + (ap) + Cp) + AE cp) + CPI ep), à
d’où, en explicitant
(a— p}° Ta 2 NN) ——— (a)2(1+ mm) 3Pa
TS
avec
mu Gp) (5) = Hp).
Nous obtenons en définitive pour £(4) pre —P} Eu) 2e E(E)2[1+ ia —p)] . A ER re AA
où k et k, sont des constantes. Donc, ,œ æ(0)2/(a) [et de p
Faisons le changement de variable Re DAS), V6 1+ kA(a— p)?
nous obtenons
1+4i(4—p)] tive , : —u?
#(0)2 /(a VERS LR
= / ED + Vars.
avec
uand 0 tend vers l'infini, « tend vers l tend vers l'infini P; ;
2 5 ren Oo ; 5. 0 et ®’(æ—p), qui est comparable à FL tend vers zéro (ainsi
qu’on s’en assure facilement en tenant compte de ce que V8 CHE tend vers l'infini), Pour assurer limw(0) — «, il suffira d'assurer Ô— »
la condition
(36) dim (1) © RE =
Considérons le système
(35) Ait)= Be, &—p+o9(6) ET.
Il existe une valeur de 6, soit 0,, telle que pour 965, les seconds membres soient des fonctions respectivement croissante
et décroissante de 9, et que
LEP + e(00)(/ 284.
Le système (35) définit, par élimination de 9. la fonction CA) dE > P )
positive, décroissante, définie dans l'intervalle (DAS) ANoUS
avons, identiquement,
Posons
ee vo°
Évaluons maintenant l'intégrale
dl fie) dt,
pour savoir si elle converge, bien que lim f(&) =; D,
Considérons un intervalle (P +E, to) pour t, et soient w et bo les valeurs de 0 associées par (35) aux extrémités de cetintervalle. Prenons 4 pour nouvelle variable d'intégration, nous aurons
l o (&) 0 ‘ AD dt=— V5pg | e de 4/23 f ser %, PERS Ÿ ® (Lo) CRT
ce qui montre que l'intégrale de f\(t) est bien convergente dans Le cas présent. fi(t) n’est défini que dans l'intervalle CDN pour #<t<1, nous poserons par exemple
fi(a) ep = 7.
