E, VE, VE
Soit S, la somme des n premiers termes de cette série. En tenant (ë :
compte de (12) et en transformant le niè"° terme d’après la formule
générale (P. Lévy, [1], p. n3)
ME RCX, Y)}= M {Mxo(x, Y)},
où Y — X, et où X estune variable aléatoire représentant l’ensemble SE 7 « des variables X,, X,. .. ., Xn, nous trouvons
n — SILEMSENRREE Sn—1 dF »1, FE, Brie.
d’où, par itération de ce procédé, À
Sn= f SR AE Ce E{})
Nous devons supposer, pour que l'espérance mathématique de A soit déterminée que BREL Aer. du moins que la probabilité que la partie s’arrête soit égale à 1. Dans ces
conditions nous avons
Le jeu est bien équitable, quels que soient les E,, E;, …., E,, .… Dans ces conditions nous poserons la définition suivante :
DÉtinirion 1. — SortiX,, X,, .., X,, . une suite de variables aléatoires, telle que les probabilités
DOTE, NO Ep an 00 on ua (nr =1, 2, 3, ...)
soient bien définies et que les X; ne puissent prendre que des valeurs finies.
Sort une suite de fonctions ss, MU) Sa iTs) cUeATon négatives telles que |
So — 1,
Der CRAN TR. 5) Sd Le Lot)
où NMX{Y} représente d'une manière générale la valeur moyenne conditionnelle de la variable Y quand on connaît la position du point aléatoire X, au sens indiqué par M. P. Lévy.
Dans ces conditions, nous dirons que la suite { s, } définit une martingale ou un jeu équitable.
2. Théorème de la ruine des joueurs. — Le problème de la ruine des joueurs est le suivant : Soient deux joueurs À et B disposant respectivement des sommes à et b. Ils jouent à un Jeu équitable, on demande la probabilité que l’un d’eux, soit À, se ruine, c’est-àdire perde la somme qu’il possédait au débutetles gains qu'il aurait pu réaliser. Soient p,, p, et q les probabilités que A se ruine, que B se ruine, et que la partie se termine sans que ni À ni B se ruinent (si la partie peut être indéfiniment prolongée, q sera justement la probabilité que la partie se prolonge indéfiniment). Si À se ruine, B touchera la somme a; le jeu étant équitable, nous aurons, en écrivant que son espérance mathématique est égale à sa mise initiale
b= pi(a+b)+b (b'20),
le terme b' correspondant à l'éventualité de probabilité g. Nous
avons donc «a a + b
et, de même, P°<
En particulier, si les conditions du jeu sont telles que g—0),
nous aurons
a+b PEER
Le raisonnement que nous venons de faire n’entre pas dans les détails du jeu auquel se vrent A et B. Dans les traités classiques, tels que celui de J. Bertrand, on fait des hypothèses plus précises; On suppose par exemple que la partie est une succession de coups semblables, avec des enjeux égaux, et l’on démontre les formules ci-dessus. Si, comme c’est généralement le cas, g — 0, et si l’on suppose de plus que B représente le public, c’est-à-dire si l’on suppose que D est pratiquement infini, on obtient la‘ conclusion p, — 0 : À est certain de se ruiner.
Supposons maintenant que À possède une somme égale à l’unité. et qu'il veuille jouer jusqu’à ce qu’il soit en possession d’une somme À > 1. On peut supposer qu’il joue contre B qui possède la somme À — 1. La probabilité que A arrive à ses fins est P2. Elle in À
Les raisonnements ‘classiques portent sur des cas particuliers, et le raisonnement général que nous avons présenté peut paraître sommaire. Nous allons exprimer et démontrer d’une manière plus précise, dans le cas du jeu discontinu décrit dans le paragraphe précédent, le résultat énoncé en dernier lieu, ce qui nous donne :
est au plus égale à
THéorèmEe 1. — Soit {sn} une suite définissant une martingale et À un nombre > 1. Nous avons l’inégalité
(15) Pr.{B. sup. s(X1, Xa,.…., Xn) 2 le : ,
La démonstration est immédiate. Considérons l'expression (13), et faisons E, — E; nous déduisons de la ‘démonstration qui suit que, quel que soit n,
(16) IR fer (X4, Ka Se Xh)} = 1.
Considérons maintenant la suite de fonctions CUT ILE En) non négatives, ainsi définies
5 CAP De En LT) = Sr (di, Tr) eric) SA
On(%1, Ze, tn) n) = On4(21, Len) si Cn—1 (ti, .…. Tr) be
Il suffit de se reporter à la définition (1) pour voir que la suite {0} définit une martingale. Donc, d’après (16) Mis; }—1 et, puisque ©, 20
Pr.{ on2 À } <
le
En reprenant le raisonnement utilisé pour démontrer l’inégalité (17) de la page 36, on obtient sans peine la démonstralion du théorème 1.
3. Étude du comportement de la fréquence dans le cas de Bernoulli. — Supposons que les variables X; soientindépendantes et que
(18) BTE =D Pr X—0)=0 (pa ge:) Les conditions (14) deviennent alors
Si (4) | Sn1(T1, Dre One)
= Pisa (A1 Po, Œn il) 4 Sn) see En 1 O0)
elles sont identiques aux conditions (3) et (4) du Chapitre IV. On a, quel que soit À, Pr.!B. SUD Sr — œæ | < Pr. | B: sup. sa2À 1 < d’où
Pr. (B. SUP. Sn — œ | 0:
ce qui fournit la démonstration du théorème 2, p. 76.
Nous allons essayer de trouver une forme commode pour s,. Cherchons si nous pouvons mettre s, sous la forme d’une fonction de deux variables x et y égales aux répétitions de r et o dans la suite X4, Xo, ..., Xn, c’est-à-dire sous la forme
rn = 8 (RP) AVEC — > Xi, Y=n— 2%.
UE
Les conditions (14) deviennent G4) s(0, 0) =1, S(æ, Y)=ps(r+1, y)+gs(z, y +1) (520) et, en posant (x, y)— pq s(x, y), (19) CE Po, ) Eee Ma)
Les relations (19) permettent de calculer (x, y) à parür de la suite des valeurs
s(0, d7) =; (0 Oo 0) En effet, nous tirons de (19) S(T+1,Y)=—[s(x, y +1) — (x, y)] = AG(T M),
en désignant par Af(x, y) d’une manière générale, la différence première f(x, y +1)— f(x, y). De proche en proche, nous obtenons donc
S(Z, Y)=—Aoc(x— 7, 1).
CET, M) No(r >. a),
s,Y)== Ac Y),
s( 1, ») RE X Av et, par conséquent,
(20) 5(2, y) =(—1)rAzv,.
Inversement, si une suite > de nombres positifs ou nuls est telle que », —1 et que les expressions (— 1)* A7», soient toutes positives ou nulles, en posant
SC 2) = (ape gra,
on satisfait aux conditions (14').
Le problème dépend donc de la suite arbitraire {ur | assujettie à ce’ que toutes les expressions (20) soient >o. M. de Finetti, en poursuivant un but différent (de Fimetti, [1], p. 28-37) est arrivé à la même condition (20): il a trouvé la solution générale qui est de la forme
| (21) s(x, n=f té = t) dF(F); A0)
Pr vies F(£) étant une fonction non décroissante, telle que F(o)—o, F(1)= 1. D'où la forme générale de s(x, y)
(22) S(x, y) = pq [ te(1— 49 dF(+b), ce qui nous donne d’après (15) il \
(23) Ps B. sup. psg [ tr(1— 4) dF(4)2À ES
Un+Y=a,2 one DA
Nous allons utiliser l’inégalité (23) pour démontrer une proposition qui constitue une partie d’un théorème, dû à M. Kolmogoroff, et cité (sans démonstration) par M. P. Lévy ([1], p. 266).
Soit x la répélition d’un événement dans n épreuves indépendantes de probabilité constante p; on se propose d'étudier la probabilité que l'inégalité
(24) izx— np|>ç(n)V2npg,
où o(n) est une fonction = 0 de l’entier n, ait lieu pour une infinité de valeurs de n. st l’on procède à une suite infinie d'épreuves.
Le résultat de M. Kolmogoroff est le suivant : en supposant que o(n) est la suite des valeurs prises par une fonction croëssante @(8), de la variable continue ft, pour les valeurs entières de 0, la condition nécessaire ét suffisante pour que la probabrlité d’une infinité de réalisations de (24) soit nulle est que l'intégrale
fe e%* GE e ()
soit convergente pour 0 = + «.
Les valeurs de o(t) pour les valeurs entières de t intervenant seules, on peut aussi considérer la série de terme général
I r + g(n)e-#=. Cette série est convergente par exemple pour
o(n)=(1+e) Log Logn (e> 0).
Faisons les hypothèses suivantes :
1° @(n)est une fonction croissante de n.
