JEU CONTINU

Au lieu d’une suite discrète { X;} de variables aléatoires, considérons une suite continue {X4}, où # est un nombre réel que nous supposons 20. Il revient au même de considérer l’espace E, des fonctions réelles d’une variable £; nous dirons, au lieu de la suite {X, } la fonction X(#) = X, ou le point X de E,. Une fonction de répartition sera alors une fonction 20, additive au sens complet, définie sur certains sous-ensembles de E, (Kolmogoroff, [11). Soit P(L) cette fonction, nous supposons naturellement P(E,) = 1.

À. Jeu continu équitable. — Généralisons les définitions de la page 83. Au lieu de la suite { s;} de fonctions s,(X4, Xo, ..., Xn), nous aurons une suite {S.} continue (r20) de fonctionnelles S-(X), c’est-à-dire de fonctions du point dans E, telles que

(a) SUR),

(ce) Sr(X) ne dépend que des valeurs prises par X(t) pour t£z;

(d) La valeur moyenne de Sr,::,(X) (> 0), quand on sait que X(4)= Xo(t) pour 1 est égale à S:,(Xs).

étant donnée une fonction f({) croissante positive telle que

foscat=s, imftt=e,

on peut trouver une fonction F(#), satisfaisant aux mêmes conditions, et telle HU | a que lim ae = +. Il suffit pour cela de prendre par exemple

= f (t) p F=70/| 1 ju du |

robes

Les conditions (c) et (d) ont besoin d’être précisées dans le cas continu. La condition (c) peut se mettre sous la forme

(c') Soit El) {l'ensemble des points X\W) de Eo correspondant à des fonctions nulles sur l'intervalle fermé (0,7). Alors, quels que soient +, X, X(°) nous devons avoir

SX) SX EX),

La condition (d) fait intervenir la notion de valeur moyenne conditionnelle, que nous rattacherons à" celle de probabilité conditionnelle telle qu’elle a été définie par Doob [Doob, [1], p. 123]; cette dernière notion est la généralisation pour un espace fonctionnel, de la notion de probabilité conditionnelle (due à M. P. Lévy), que nous avons déjà utilisée (p. 71).

Soit M, un ensemble dans E,, tel que sa fonction caractéristique soit une fonction de X ne tenant compte que des valeurs de X(#) pour é£t; en d’autres termes, si X est un point de M., il en est de même de tous les points X + X{7), Considérons la probabilité pour X d’appartenir à M. et à un ensemble À, c’est-à-dire la quantité

() P(A.Mc).

La {probabilité conditionnelle d’appartenir à À si X appartient à M: sera, si P (M-) > o, (2) P(A/Mz) = P(A.Mi) : P(M).

La probabilité conditionnelle d’appartenir à A si X (= X(t)

pour ££r sera, par définition, une fonction PIAUXS) de l'ens semble À et du point X, satisfaisant, quel que soit M,, à

(3) PAM) = f PrA(X) dP, M-

la variable d'intégration étant X. Nous ulilisons la notion d’intégrale au sens de M. Fréchet (Fréchet, [1]). L'existence de P-A(X:) résulte d’une démonstration de M. Nikodym (Nikodym,

Etant donnée une fonction de point J(X); sa valeur moyenne conditionnelle, sachant que X(t)—X, (t) pour t<x sera par

définition

(4) Max {FX} = [00 € Pr ACX), Es

la variable d’intégration étant X, considérée comme point de A dans dP;A(X;,). La condition (d) devient alors

(5) Sr, (Ko) = Me{ Sriir,(X) |.

S:(X) représente alors la somme que le joueur A, qui a misé une somme égale à l’unité, recevra s’il arrête le jeu à « l'instant » + et si le hasard a fourni la fonction X(+).

2. Formule de la ruine des joueurs. — On pourraitse demander s’il est légitime de généraliser l’inégalité (15) du paragraphe 2 de la première section de ce chapitre [par l’inégalité

(6) Pr.{B, sup. S(X)2A)S >

que nous appellerons formule de la ruine des joueurs dans le cas du jeu continu. Cette formule n’est pas toujours vraie, même si les conditions (a)-(d) sont vérifiées.

Considérons une fonction aléatoire X(£) à accroissements indépendants. La variable aléatoire X(4+ 0) — X(1)(0= 0) admet alors une fonction de répartition indépendante des valeurs prises par X(4) pour les abscisses <£. Soit dans E, la fonction additive P qui définit la loi de probabilité de X(4). Considérons les abscisses to et to +0, une ordonnée y, -et soit A, l’ensemble défini dans Es par l'inégalité :

(1) one CR).

Soit F(y, to, 0) la fonction de répartition de X(4 +0) — X(4); soit M, un sous-ensemble de E, tel que la fonction caractéristique de M, ne dépende que des valeurs de X(#t) pour 4<tç. Si X(to+0)—X(t,) ne dépend pas des valeurs de X(+t) pour 4<t6.

nous devons avoir (2) P(M,.Ay) = P(M:) 1EN(g los 8).

Réciproquement, si entre P(M,,A,) et P(M,) quels que

Re soient 5, M,, 0, y existe une relation de la forme (2), X sera dite à accroissements successifs indépendants, et (2) nous donnera la loi de répartition de X(t45+0)— X(t).

Considérons maintenant la fonction aléatoire X, (t) définie comme suit : soit dans E, l’ensemble E, des points représentant des courbes X,(+#) telles que

X1(4) ne peut prendre que les valeurs o ou 1;

X1(€)=1 a une racine et une seule, comprise entre o et 1.

Associons à tout point X, de E, l’abscisse de la racine de X (Et) —71, soit P(X;) la fonction de Xitainsi définies Défaissons la fonction additive P dans E, par

Er) 1, P(E4) = w (o£u<1),

où E, est le sous-ensemble de E formé par les points X, tels que 0(X) < u. Considérons la fonction F(y, 4, 9) telle que

F(y, 4 8)=1, pour y>o; FGr, 1, 0)—0, pour ASIN

L’équation (2) est vérifiée, quels que soient M, et y. Nous

devons donc considérer X(4) comme une fonction aléatoire à accroissements aléatoires indépendants, telle que

(3) Pr. {Xi(é) = Xi(é+0)}=1. Soit maintenant la fonction s(t, x), de la forme

Sachant que X(t)—%, nous avons, pour valeur moyenne conditionnelle de s[ £ + @, X (4 + 0)], d'après (3), la valeur s(4, æ). Donc les conditions (a), (b), (c): (d), (p.95) sont vérifiées. Nous devrions avoir, d’après (6) (p.95); PIE B. sup. s[é, Xi(4)]< } < 23 or, nous avons manifestemenl

Er { B. sup. s[£, Xi(#)] = 2 ÿ=1.

La formule (6) est mise en défaut.

3. Remarque sur les probabilités conditionnelles. — L'exemple traité dans le paragraphe précédent est extrêmement simple, et permet de mettre en évidence une singularité intéressante. En définissant l'indépendance des accroissements successifs par (2), nous sommes arrivés à la conclusion qu'ils étaient indépendants dans l’exemple choisi. Or, on est tenté de dire : deux accroissements successifs de X,(0) ne peuvent pas être considérés comme indépendants, puisque, si nous savons que Nr nous sommes sûr que X,(t+0)—o, ce qui semble contredire l’affirmation : «si X,(£) est connu, la probabilité conditionnelle que X,(1+80)—X,{t) est égale à 1 ».

Cette objection est intéressante, mais n’est pas fondée si l’on se place dans l’axiomatique de Kolmogoroff. En effet, la seule définiüon admise jusqu'ici, à notre connaissance du moins, pour la probabilité conditionnelle, est une définition indirecte : la probabilité que l’événement E se produise si la variable aléatoire Y a la valeur y est une fonction F(y) telle que l’on ait, si

G(y)= Pr {Y<y}, 23 —0 Pr.)EeY<y) = | F(y)dG(y).

Si l’on connaît

D) = IP : HÉCIN Er Ÿ

et G(y), F est définie par une équation intégrale

On peut donc modifier arbitrairement F (y) sur un ensemble de valeurs de y sur lequel faG (y )= 0. En particulier, soit y, une

valeur de continuité de G(Yy); considérons l'événement E, ainsi défini (Si Y < Fo; E, est identique à E;

SN = Es se produit certainement:

et la fonction F,(y) égale à F(>) pour y Yo, à 0 pour y — Yo.

Nous avons alors

sa Fo(y)d6(n = f ‘F(N 46),

Pr CNE Ph Pre EC 7:

et de même

Donc F,(y) peut être considéré comme probabilité conditionnelle de E, quand Ÿ — y, bien que pour Ÿ — y, Fo(Y0) = 0, et que { YŸ — yo} implique logiquement E,.

En revenant à X,(£), nous voyons donc qu’en définissant l’indépendance par (2), nous pouvons considérer cette fonction comme étant à accroissements indépendants presque cerlainement nuls, en considérant deux variables comme indépendantes lorsque la fonction de répartilion conditionnelle de l’une d’entre elles, au sens indiqué plus haut (p. 80), estindépendante de la valeur prise par l’autre; c’est-à-dire, avec les notations de la page 91 : X, et X, sont indépendantes lorsque ®,(X,; z,) ne dépend pas de X,, ou encore lorsqu’on peut poser

P:(X1; da) = p(æe).

M. Paul Lévy est d’avis de distinguer entre l'indépendance ci-dessus, qu’il propose d’appeler indépendance presque certaine, et l'indépendance proprement dite, définie directement (P. Lévy, [1], p. 3).

Notre discussion se place uniquement sur le terrain de M. Kolmogoroff; la conclusion peut être différente en suivant le point de vue de M. Paul Lévy.

Les remarques précédentes montrent qu’il est impossible, étant

donnée une fonction aléatoire à accroissements indépendants, de démontrer qu’elle est presque certainement continue, si l’on ne se donne rien d’autre que la loi de répartition des accroissements. Considérons en effet X,(#), la fonction aléatoire définie dans le paragraphe précédent, et soit X(t) une fonction aléatoire quelconque à accroissements indépendants. Supposons X,({) indépendante de X(£) : la fonction aléatoire X(4) + X, (4) sera à accroissements indépendants, et ses accroissements suivront la même loi que ceux de X(4); mais X(4) + X,(4) est presque certainement discontinue puisque X,(#) admet un point de discontinuité.

Le seul résultat que l’on puisse, sans hypothèse supplémentaire, établir sur la continuité de X(4) est qu'elle est équivalente stochastiquement (p. 92) à une fonction continue. C’est ce qu’établit en particulier M. Paul Lévy pour les courbes aléatoires à accroissements indépendants suivant la loi de Gauss ( P. Lévy, [A], p. 172).

Nous allons abandonner ces questions de principe, et appliquer la formule de la ruine des joueurs à des cas plus concrets.

4. Cas de Chapmann-Kolmogoroff. [S.(X) ne dépendant que de X(T)]. — Nous allons généraliser l'étude du cas de Bernoulli (p- 87), en nous plaçant dans les hypothèses suivantes :

I. S;(X) ne dépend que de X(r). En d’autres termes, il existe une fonction s(t,æ) telle que

(7) ST(X) = s[*7, X(+)].

IT. X(&)—X(t4),(t: > 11) ne dépend pas des valeurs de X(#) pour t <£,. De sorte que nous avons une relation de la forme (8) PR X(E) IR) EX (Cri, To, 1, to) (A <ee)

La fonction F satisfait alors à l’équation de Chapmann- Kolmogoroff (Hostinsky, [1], p. 59).

Le=+o

F(x:;, , la, la) = (ze; T3, lo, t3) dF(x1, To, li, Lo) (9) =»

(th Lt Lt3)

et les conditions (a), (b), (c), (d), imposées à S.(X), se traduisent pour s(t, æ) par les conditions

(a”) HO =

(8) s(tæ)>20 (e20):

(co (vérifiée d’elle-même );

(a) (ti, &o) = fie, æ) de F(Zo, &, ste) (tit),

et enfin la formule de la ruine des joueurs devient

(10) Pr. {B. sup.s[t, X(t)]2X1}S 5e

ÿ. Borne supérieure stochastique. — Même dans le cas du paragraphe précédent, l’inégalité (10), nous l’avons vu, peut être mise en défaut (p. 98). Nous allons la remplacer par une inégalité moins stricte, et faire une hypothèse supplémentaire. X étant déterminée, la fonction de t

peut être considérée comme obtenue à parur de X(£) par une transformation Y(#) —T{[X(#)]. Nous supposerons que la foncuon aléatoire Y(£) — T[X(#)] est une fonction stochastiquement

continue (Slutsky, [1]), c’est-à-dire que, quels que soient t, E=0,n =0;iléxiste Tr —o'tel que pour |’ —{|<T,on ait

(12) Pr. HRCES ONE ES Dans ces conditions, soit {ti} une suite dénombrable partout dense sur l’axe des t; la variable aléatoire LB Sup-Y(t;)

est une variable aléatoire dont la fonction de répartition, si elle existe, est indépendante de la suite dense que l’on a choisie. En

effet, soit Y(#) la fonction de t :

Y (4) = Tim Y(#;).

I quel que soit {. Si

| 1 = donc nous considérons une autre suite { 4! } et la variable Z/ cor-

Slutsky a montré que P } Y(4)— Y(t) respondante, nous aurons Pre { Z'= B. sup. Y(+) = jt,

et par conséquent Pr. 2.

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