UNS OC X
Les fonctions 51 (Xi), S2(X°), Sc SEX)
satisfont aux conditions (p. 83) du jeu discontinu, relativement aux variables aléatoires X,, X,, ..., X,. Nous avons donc
d’où nous déduisons immédiatement l’inégalité (13). La formule de la ruine des joueurs devient donc vraie dans le cas de Chapmann-Kolmogoroff, en introduisant la notion de borne supérieure stochastique et l'hypothèse de Slutsky, et s'écrit
(14) Pr.) B.sup.sss[é, X(4)]2 à}
LA
6. Recherche de fonctions limites. — Poursuivant toujours l’analogie avec le problème traité dans le cas de Bernoulli, soit o(t) une fonction non aléatoire. Supposons que nous ayons trouvé une fonction s(£, æ) satisfaisant aux conditions (a), (b'), (c'), (d'), et telle que, en outre
SCA TES CE, ri), pour, % > €),
QD) | lim ste, e(0)]= 2.
to)
Nous ne supposons pas que Y(#)-—s[/, X(t)]est stochastiquement continue. Soit maintenant {{;} une suite dénombrable partout dense; soit {, une valeur de #, désignons par À la borne
inférieure de s[ti, g(ti)] pour l; 2 to: S0ientif, 1024000 6, les n premiers termes de {{;} quissont >#; supposons-les rangés par ordre de grandeur croissante. Si nous posons
X1 = X(G), X:— X(62), ….) Xn— X (0% )k:
= te (T1) S(01, di), Satr) —5(02, æ2)
nous vérifierons facilement que cette suite 55, 51: :.., $n définit un jeu écuitable discontinu (p. 83). Donc, nous avons
Pr.{,B.sup. s[6, X(b:)]2 È = n 0
RU PERS et, en faisant tendre » vers l'infini,
(16) PE: B. SM CUENEES
Reportons-nous aux conditions (15). Nous déduirons de (16) que Pire À X(&)<op(ti) pour #:2t j 21—
Où que, si nous désignons par T la borne supérieure des valeurs de t; pour lesquelles X(4) > o(ti), nous avons
Test presque certainement fini. o(t) sera alors appelée une fonction limite supérieure stochastique de X(t).
T. Cas où X(1+ 0) — X(4) est une variable obéissant à la loi de Gauss. —— Quand la fonction HAS TE >) est de la forme Pia =, a), la fonction X(4) est dite une intégrale à éléments aléatoires indépendants ou fonction aléatoire à accroissements indépendants (P. Lévy). Si la fonction X(4) aléatoireæst de plus continue (avec probabilité égale à 1) F(xa 2, 3, l) est une fonction de répartition suivant la Loi de Gauss, que l’on peut mettre, en faisant au besoin un changement de variables pour é, sous
lmformeF (z3—:x,, 6, — 7, ), avec
8 Des VE (8) oise 1 du.
