PO E ETC OI
ot—1 T
Supposons o continue croissante, variant deo à 1 quand { varie de o à w, et soit £ — (0) la fonction inverse de o(t). Posons
JLée)I= Ce), d'où f(é)=YLe(r)].
Il faut que lim 4 9(0)] =
lim D(D) = 0.
Donnons-nous alors une fonction croissante Y(v), telle que Y(9)—œ quand o->1, et déterminons po. Nous tirons de (9)
MOIOT ES
Xe è
To
es
Si nous posons £ — {(®) dans le second membre, p(?) est déterminé, et nous avons
LiCp)—1]b(e)rrt,
1 — pélp}1
e” Il faut que f p du —1. © variant de o à 1, intégrons le second
membre de (11), par rapport à o. Négligeons le facteur , qui
mn Cr
croît lentement quand 6 ->1. Il vient de =pide [é=t(e)].
Supposons que le coefficient de de soit une fonction croissante de , et intégrons par parties entre o et 1, en posant
D =NOR = © 1— oi
Il vient (t—1)9/? do + pti Loge 24 1 — pi"
du —
d’où, en supposant o! monotone,
fe de sera sûrement convergente si lim ot 1 et si l’intégrale
T—\œ I "E IEACE dt converge. Remarquons que cette dernière condition entraîne la première, puisqu'elle implique que lim 4! — o, si g' est PES
une fonction monotone à partir d’une certaine valeur de #.
Nous obtenons ainsi, par un raisonnement intuitif, mais peu
rigoureux, la proposition suivante, que nous démontrerons plus loin :
Soit o(t) une fonction croissante continue, ainsi que la . . . I # fonction to!', telle que o! soit monotone et que [ 4 log: dt soit - ‘ convergente. Soit Y(t) la fonction aléatoire définie par (2) (p: 108); l'inégalité Y Z>o(t) aura lieu constamment à partir d'une valeur de t presque certainement finte.
Démonstration. — Supposons que lim o(t) == 1, et 9(0)— 0,
ce qui ne restreint pas la généralité de l'hypothèse; soit £(o) la fonction inverse de la fonction o(#), et considérons la fonction
C’est une fonction croissante, puisque ot est une fonction croissante de {; considérons l'intégrale
5 p1(p) do
et faisons-y le changement de variable o — (+). Elle devient
à SA — +1 IE = = vo to % dt 5h ? os d+ f ?
ue : : É 1 La première intégrale est convergente puisque f qi bog > dt
converge. La seconde converge évidemment. Donc f'p. do a une
valeur finie. Nous pouvons prendre p(u) croissante telle que
[et du =, RO)
u—1 pi(u)
Si nous considérons maintenant ST) = f u—tp(u) du, “à
nous aurons, puisque p(w) est croissante,
s(é, Y)> e(y) 1 ut du — DE - | (+)
sé, 9()]> 2) moe us D(I— pitt)
et, quand {— 0, ; S[é, p(t)] +; en effet, on déduit de la convergence de fe Log: que la fonction
(supposée monotone) o! a pour limite o quand # ne Nous pouvons considérer, au lieu |! d’une inégalité de la forme Y >, une inégalité de la forme
ce qui nous donnera, en posant 9 -— AE une condition suffi-
sante pour que Ÿ(/) soit une fonction limite supérieure stochas- : 7 I I d tique de £{(1— Y). Dans f log - dt, log - est comparable à eto!
à eŸ, ce qui donne pour 4 la condition :
el Da ee y, dt + L intégrale [ de e doit être convergente.
? x LA 4 A , * , ’ D'une manière plus précise, évaluons le rapport des éléments différentiels, il a pour logarithme :
I \ Log (y e—Ÿ :) — Log (' Log =
= Log® — DL — Logt — 1 Log (: — à — Log Log
ul ( I — DE VE L3 . on 12 \ = + + 2 + ONE RS SE DOTE x ot 31 ) : > UP 5 A ns Si nous supposons que lim = = lim ? — 0, les éléments diffé- TOUR T0
rentiels sont équivalents pour les grandes valeurs de £. Comme nous cherchons à prendre pour 4 une fonction qui croisse le plus
1 BE d2 () lentement possible, les conditions FF 0, ; >0 ne sont pas
génantes. On voit sans peine que Ÿ doit croître plus rapidement que LogLog£ et peut croître plus lentement que Logt. Il faut naturellement s'assurer que les conditions secondaires imposées à © sont vérifiées (monotonie de 2 et s!, croissance de #9).
