I 2 (LT

= Fr € # 4 AAA AO =] 25ŒF(X) (0=>0)

La fonction sous le signe f étant non négative, nous pouvons interverüir l’ordre des intégrations, ce qui montre que (19) est vérifiée. Il reste à satisfaire à (15), et en particulier, en rempla-

çant, pour une raison de commodité, o(4) par o(t) VE à

(21) lim s{t, o(4) 26] =.

Prenons pour F(À) une fonction dérivable, soit FO, et choisissons f nulle pour À<0o, décroissante pour À =—>0. Nous aurons alors

CS ae FA + 2 HR à FC) À =1,

et la première des conditions (15) est vérifiée. Passons à (21). Nous avons, pour + = 0,

ae eat :

(a2 fe "Sytazy() |

— 2, Ti GE [ —u?

2e a M Ca,

Or, il est bien connu qu’on peut trouver une constante telle

que pour «a > 0 ui entdu < Kere,

d’où pour s(#, æ) l’inégalité

a) / FE) 4/2 (E).

Le raisonnement se poursuit à partir de cet instant comme dans le cas de Bernoulli (p. 90). Si la fonction croissante o(é)

: : dt 7 rend convergente l’intégrale for et si Wée-?{t), est pour {

suffisamment grand, une fonction croissante, on peut trouver f (À) telle que

Por ee

lim s[ é, o(é) vo — ©,

Donc : toute fonction o(t) croissante, rendant convergente Da sa0 = : :

l'intégrale [gee et telle que Vie soit croissante pour t

suffisamment grand, est une fonction limite stochastique , XCUE SMESE (p- 104) pour la courbe aléatoire G), où XX Lt) est une courbe V2c

aléatoire dont la loi de probabilité est définie par (18).

Nous démontrons ainsi en ne faisant appel qu’à des considérations élémentaires de probabilité un théorème dû à Petrowsky; la démonstration de ce dernier utilise la théorie de l’équation de la

chaleur (Petrowsky, [1],

8. Plus grande valeur. — Dans certaines études on s'intéresse particulièrement aux plus grandes valeurs prises par une suite de variables aléatoires. Nous ne traiterons qu’un cas schématique, et chercherons à trouver une fonction limite inférieure de la plus grande; ce sera un résultat nouveau.

Soient RS CHRIS 0

des variables aléatoires indépendantes, ayant toules même fonction de répartition. Considérons la suite des maxima de la suite { X;}. C’est une suite de variables enchaînées

où Var Lex, Xi

Soit F;(y) la fonction F;(y) = Pr. l NOT j»

connaissant Ÿ,, Yo, ..., Yi 4. Si nous supposons que

Pr Xe = No ret),

nous aurons j 5% pour y > Yi; (1) F7)

(Ecy pour y < Y;-4.

Remplaçons la suite discrète { Y;} par une suite continue, c’est-à-dire par une fonction aléatoire Y(4), telle que pour t

entier, on ait | SAONE UE

Remarquons que F;(3) ne dépend que de Ÿ;,; si nous calculons la fonction de répartition de Y; connaissant Y;} seul, nous obtenons une fonction nulle pour yY<Yi x et égale à y* pour Y > Yi. Nous sommes donc amené, pour Y(#), à faire l’hypothèse, compatible avec la précédente :

Pr VE H0) Sy Y() = = (70) MI),

avec û our U ; (2) HEC u, = 17 PRE 0, pour y < u.

Avec les notations de la page 88, nous avons ait Our To > T1:

P(z1, Te, li, u)=| F è P L 0, pour æo < æ1.

L’équation (9) est vérifiée, ainsi que l’on s’en assure par simple substitution. Cherchons une solution de l'équation (d') (p-. 1071),

qui s’écrit ici à

SC »0)= | S(t2, Y) dy F(y, Yo; t— 4) (rt) Ou, en posant ti — #, {2 — 3 —0, Yo—=Y, y — u, et en explicitänt :

(3) s(t, Y}=pÎs(t+ 8, y) +8 (l s(t+ 6, u)u0—1 du. ve

s(t, y) doit être >o; de plus, nous devons avoir SO JET, ce qui donne

(4) a (Es, Pr,

Supposons s dérivable, et différentions (3) par rapport à y; il

vient (5) dy s(t, J)= y» d,s(t+8, y).

Nous en déduisons que sis satisfait à une équation aux dérivées partielles, cette dernière sera de la forme S dy = y tp(y), ce qui nous amène à chercher pour s une fonction de la forme

(6) Ur) — p(u)u-t du.

% Nous prendrons p(w)2 0 pour être sûr que s2 0; on vérifie sans peine que la solution (6) satisfait bien à (3); quant à (4), nous en

birons

se DIEM ©

Cherchons maintenant une fonction o(t) telle que l’on ait Y(#)2œ(6),

à partir d’une valeur de £ presque certainement finie. Remarquons que s(t, y) définie par (6) est une fonction décroissante de y. En raisonnant comme au paragraphe B (p. 102), nous verrons que si nous pouvons déterminer s(£, y) telle que la fonction s[{, o(+)] tende vers l'infini avec t, il sera démontré que, si nous nous donnons une suite partout dense {t;}, la borne supérieure des valeurs de t; pour lesquelles (7) n’a pas lieu est presque certainement finie. Remarquons que nous n’avons besoin ici que de considérer les valeurs entières de t; donc le résultat précédent sera

satisfaisant (*).

(:) Par ailleurs, si o(#) est croissante, comme Y(£) est non décroissante, Y(£,) 2 o(é,) pour #,> #, implique Y(£) > w(t) pour t > ts.

Pour trouver à quelle condition doit satisfaire ® pour que p puisse être ainsi définie, nous allons raisonner d’abord d’une manière peu rigoureuse; nous démontrerons ensuite rigoureusement la proposition à laquelle nous serons amenés. Si £ est grand, ut décroît très rapidement; nous poserons

(8) s(#, nero ta DE |

Faisons y — o(t) dans le second membre, nous obtenons une fonction f(t)