PA LES

On appelle habituellement centre de courbure sphérique de v en M l’un des deux points où la sphère est coupée par la droite polaire associée à M. Pour éviter toute confusion, je conviendrai d'appeler ainsi celui y de ces deux

points qui est tel que l’angle MSy soit inférieur à Ainsi, à tout point M

dev correspond un centre de courbure sphérique qui est unique pourvu que le plan osculateur en M ne passe pas par S.

Au cours de l’engrènement du cône À et de la roue plate, la courbe v enveloppe une courbe cosphérique et liée à JS: le point caractéristique M de » est tel que le grand cercle T passant par I et M soit orthogonal à v.

Prenons comme axes : IX tangente à C. IY perpendiculaire à P et située par rapport à P dans la même région que À. Nous supposerons Larc v tel que la tangente [x à T' fasse avec IX un angle aigu Ÿ gardant un signe constant pendant toute la durée de l’engrènement de v.

Soit O le centre de courbure sphérique du cercle K, et p’ ‘le centre de courbure sphérique en M de l’enveloppe de v: le théorème de Bobillier relatif aux enveloppes des courbes sphériques donne la construction de y’ : soit U un point commun au grand cercle passant par I et normal à T et au grand cercle passant par p et normal à C (fig. 15); le grand cercle passant par U et O coupe au point y” le demi-cercle T qui est partagé par M en deux arcs égaux.

Remarquons que si l’on désigne par O;, M;, m, U:, 11, les perspectives des points O, M, y, U, p’, effectuées sur le plan XIY de S comme point de vue, les grands cercles ont pour perspectives des droites; par suite, la construction sphérique de sw a pour perspective une construction plane qui est précisément (fig. 16). celle qui a été déduite du théorème de Bobillier dans le plan.

La recherche de la portion utile de la courbe v et du côté de cet arc à matérialiser pourra, grâce à cette remarque, être déduite des calculs correspondants faits à propos du taillage d’une roue cylindrique par crémaillère.

Appelons côté concave de l’arc v en M la portion de surface sphérique qui se trouve du même côté que y par rapport au plan du grand cercle tangent à v en M, l’autre côté étant dit convexe.

L’arc utile de v doit alors satisfaire aux conditions suivantes : il doit traverser le plan P; si y est matérialisé du côlé convexe, w doit être situé entre M et p, sinon y doit être silué en dehors de l'arc de grand cercle My.

Le cerete T étant orienté comme la tangente Ix, posons :

SRE

Si, SM = 1; SI, Su — 9 ; IM, — ln O0 (fig. 17), et soit « le demi-angle au sommet du cône À.

On a alors :

l R, gi igo=itge——..

Supposons, par exemple, que y soit matérialisé du côté convexe : alors y” doit être situé sur le petit arc My. La parallèle à Ix menée par S partage T

sue

en deux demi-cercles I, et l,; M étant supposé sur T:, si p est aussi sur fn, pour que soit sur le petit arc My, il faut et il suffit que sa perspective y” Soit sur le vecteur M, c’est-à-dire que l’on ait, d’après le résullat obtenu au Chapitre Il (S 14) :

R,(m —l)sntg—-ml>0.

c’est-à-dire :

tg a (tg 6 — tg À) sin Ÿ — tg60tgx > 0.

ri . .

Si p est sur L,, ps, doit être extérieur au vecteur M, y, par suite, le premier

sY

Fig. 17

membre de la dernière condition doit être négatif. Mais il suffit de multiplier les deux membres par cos 0 pour avoir finalement la condition unique :

tg « sin (0 — X) sin Ÿ — sin 0 sin À > 0.

De plus, la portion utile de N devant couper P, cette inégalité doit être vérifiée pour À—0, ce qui exige que l’on ait alors 060, c’est-à-dire pd > 0 = s (en posant SM, Su — p).

Conclusion.

Si pY est > 0, v doit être matérialisé du côté convexe et vérifier : tg « sin (6 — À) sin ÿ — sin 0 sin À > 0;

Si py est Lo, v doit être matérialisé du côté concave et vérifier :

tg « sin (6 — À) sin ÿ — sin 0 sin À < 0. s