Cas où » est un arc de grand cercle
Les notions de côté concave et de côté convexe de v disparaissent. Mais la construction déduite du théorème de Bobillier est toujours valable (fig. 15). Appelons } celui des deux centres de courbure sphériques de y en M qui est tel
Er Vog"e
URSS : RS Pi D T que sur le cercle l supposé orienté comme précédemment, on ail SM, Su oc
Supposons encore que v soit matérialisé du côté situé par rapport à M dans le sens négatif de T. Nous sommes alors ramenés aux conditions du cas général avec la seule particularité :
De
L’arc y doit vérifier la condition :
tg « sin 4 — sin À cos À > 0, laquelle doit être satisfaite, en particulier, lorsque À — 0 : elle suppose donc +: 0. Conclusion.
Si 4 est > 0, y doit être matérialisé du côté situé par rapport à y dans le sens négatif de l, et vérifier :
tg « sin ÿ — sin À cos À > 0; Si d est 0, v doit être matérialisé de l’autre côté, et vérifier : tg « sin — sin X cos À < 0.
Exemple. — Supposons que la surface N soit un plan passant par O
(dentures droites taillées aux couteaux Gleason), et soit 5 — l'angle aigu sous
lequel il coupe P (+ est donc l’angle de pression). Enfin, supposons à positif,
Fig. 18
par exemple. La condition à laquelle v doit satisfaire (tg « sin 9 — sin À cos À > 0) est évidemment remplie si À est 0; supposons donc À> 0 et cherchons sa Jimite.
Soit J le point où le cercle C est coupé par l'arc de grand cercle v (fig. 18). Dans le triangle sphérique IMJ, on a :
(1) sin & — sin + cos À.
En remplaçant d par sa valeur dans l'inégalité précédente, celle-ci devient :
(2) Sins À — sin À + tg « sin + > 0.
Tr La formule (1) montre que À reste (+ +) Etudions les variations de la fonction :
y = à — x + tg z Sin ©.
i à rte in À É ’est-àquand x varie de O0 à cosy. La dérivée Fra annule pour sin À — TE c'est-Ë
; : er T dire pour À, — 35016, valeur qui appartient toujours à l'intervalle 0 (F— e), car y n'excède guère 20°.
Donc, si le minimum de la fonction y est positif, c’est-à-dire si l’on a :
Os 3V3sin o
la condition (2) est toujours satisfaite. Au contraire, $i l’on a tga =— =; la courbe représentative de ya 3V3sin o la forme indiquée à la figure 19, et la condition (2) devient :
y SIL A EE LCA A AE
Fig. 19
x, étant l’abscisse du point le plus proche de 0 où la courbe coupe ox, et À l’angle aigu dont le sinus est x.
Appelons e l’angle JSM (fig. 18). La condition imposée à À se traduit simplement en fonction de s; on a en effet dans le triangle sphérique IJM :
sin € sin À
(3) Sin ccos ve soit, en tenant compte de (1) :
(4) sin € — tg\tg o.
La relation (4) transforme la condition : ÀX, en : sin € € tg LU tg 9,
qui définit la portion utile de la surface N.
D re Application numérique :
Supposons : 9 — 20° et à tel que : tg « sin o& — . (a — 21° 45”).
x T et donc Nr
On aalors + — 3 6
