Réalisation d’un engrenage gauche à roues coniques

Soient D, et D, les axes d’un engrenage gauche. Coupons-les par un

plan Q qu'ils percent en S; et S:. Soient Ji, et Ji deux cônes de révolution

d'axes respectifs D, et D, el situés de part et d'autre de leur plan tangent

commun Q. Supposons que di, et hi, tournent autour de leurs axes avec les —+

vilesses Q, et @, de mesures vw, et w,; appelons « et « leurs demi-angles au sommet. Soient enfin [P;, N,] et [P:, N:] deux roues plates dont les primitifs

P, et P, glissent sur Q et roulent sans glisser respectivement sur Ji, et h, avec lesquels ils se raccordent le long des droites A; et A, (fig. 2h)

Remarquons, tout d’abord, qu’il n’est pas possible, comme dans le cas de lengrenage gauche à roues cylindriques, de choisir les surfaces N, et N, de telles façons qu “elles restent en coïncidence au cours de leur mouvement relatif: en effet, soient 9’, et Q, les composantes normales à Q de Q, et 9, ; les roues plates [P;,, N,;] et [P:, N;] fonctionnent comme un engrenage à axes parallèles dont les vecteurs rotations sont Q. el Q,. Si I est le centre instantané de rotation dans le mouvement P;/P,, la perpendiculaire IA à Q est la génératrice de contact des cylindres primitifs de cet engrenage (/ig. 24). Cela posé, si N; et N, restaient en coïncidence, elles seraient de révolution autour de A, ce qui est impossible, car À n’est pas fixe par rapport à P; ou à P:.

Remarquons encore que si les vecteurs Se @, et rs: Q, sont situés d’un même côté de Q, I est à l'extérieur de SE S:, et Je mouvement relatif P,/P, est celui d'un engrenage intérieur (fig. 24). Si 510 ets, a Q, étaient de part et d'autre de Q, I serait situé entre S, et S, et l’engrenage P;/P, serait extérieur.

Supposons donc les surfaces N, et N, telles qu’elles s’enveloppent l’une l’autre et soient 9, et ®, leurs enveloppes par FAPRe à À, et À, respectivement.

On pourra affirmer que les surfaces ®, et ®, sont tangentes si les trois caractéristiques D,/N;; N,/N:; N:/%, sont no Cest par erreur que l'on a pu croire qu’il en était ainsi quelle que soit N, pourvu que N, soit son enveloppe dans le mouvement relatif P;/P, (#1).

Soit en effet J le point commun à A, et A. Pour que les trois caractéristiques énoncées soient concourantes, il faut et il suffit qu'à un instant quelconque de son mouvement d’engrènement, la surface N; admette une normale rencontrant à la fois AÀ;, A, et A. Cette condition impose à la dite normale :

— ou bien d’être située dans le plan Q et de passer par 1: N,; est alors une surface quelconque, mais coupant P, orthogonalement (solution sans intérêt pratique, à cause de graves et inévitables interférences) ;

— ou bien d’être située dans le plan (A, J) et de passer par J.

Cherchons les solutions relatives au second cas.

Dans son mouvement par rapport aux plans P, et P,, le plan (A, J)

enveloppe deux cylindres de révolution c, et c,; ayant pour axes $, @ et S, ©,

IS, (/ig. 25). Le rapport des rayons de c; el €, est égal à+ FE ; done, si l’on suppose

que c, et c, sont liés respectivement aux plans P, et P,, et qu'un plan © glissant sur le plan (A, J) roule sans glisser sur ces deux cylindres, de mouvement relatif P;/P, est bien celui qui est défini par les deux vecteurs 2’, et SA

Cela posé, la surface N, doit être telle que l’on puisse, dans le te 5, lui mener une normale passant par J: cette condition suggère de prendre

(1) Voir par exemple M. PÉRIGNON (B. 16, p. 9) et (B. 17, t. I, p. 52).

comme surface N, une surface moulure engendrée par une courbe Ë arbitrairement choisie dans s et liée à 5. N, et N, sont alors les deux surfaces motilures engendrées par & et ayant pour noyaux € et ©. Les dentures %, et ®, liées aux cônes À, et À, sont alors tangentes au point M, pied d’une normale abaissée de J sur £. La courbe d’engrènement d’un tel engrenage est donc située dans le”plan (A, J).

82. Conditions pratique auxquelles doit satisfaire l'engrenage gauche que nous venons de définir.

Les deux roues plates [P;, N;] et [P:, N;] fonctionnent théoriquement

comme un engrenage à axes parallèles et à développantes, mais avec les particularités suivantes :

1° La normale au point de contact des dentures conjuguées ®, et ®, doit passer J, et cela pour les deux faces de chaque dent. Par suite, si l’on coupe une dent de roue plate par son primitif, les sections de ses deux faces sont nécessairement deux arcs de développantes parallèles (fig. 26).

Donc les sections de deux faces conjuguées des roues plates en prise sont deux arcs de développantes tournant leur concavité dans le même sens; le point de contact de ces deux arcs est alors à l'extérieur du segment ju ju, #4 et pe étant leurs centres de courbures. Et si l’on veut que le point J appartienne effectivement à la ligne d’engrènement, ce point devra être situé à l'extérieur du segment ju fre.

20 La figure 26 représente, couverte de hachures, la trace de la partie pleine d’une dent de la roue plate [P,, N;] sur son primitif; cette trace est limitée par deux arcs de développantes dont le centre de courbure est 1. Les deux faces de cette dent sont en contact avec deux faces en regard de la roue

age

plate [P;, N;] et celles-ci ont pour traces deux arcs de développantes dont le centre de courbure est ,. Soient m et m’ les points de contact : la figure 26 montre avec évidence que le contact n’est pas matériellement réalisable à la fois en m et m’. L’interférence est donc inévitable entre les dentures des roues plates matérielles. C’est là une grosse difficulté, mais la condition d’emboîtement des roues plates matérielles est une condition suffisante, et non nécessaire pour qu'il n’y ait pas interférence entre deux roues conjuguées. Par suite, en donnant à l’un des cônes %, et J, un demi-angle au sommet assez petit, on pourra éviter l’interférence. On aura intérêt à rendre aussi voisins que possible les rayons de courbure en m et m’ et, par conséquent, à prendre le point J assez loin du vecteur ju pe.

30 IL semble, a priori, que l’on puisse faire fonctionner les deux roues plates soit comme un engrenage intérieur, soit comme un engrenage extérieur; en fait, le souci d'éviter les interférences de denture commande de les faire engrener intérieurement : en effet, dans le cas contraire, la droite IJ est une tangente commune intérieure à €, et c©:, et alors les deux arcs de développaates tangents en m (fig. 27) et représentant les traces sur Q des surfaces conjuguées N, et N;,, sont tels que leurs rayons de courbure varient en sens contraire quand on s’écarte de m: il en résulte un accroissement certain des risques d'interférence.