C. TI880T

iotégrate s'oblient iiisémflnt en substiliianl à cos2 ni sinanï leurs valeurs en exponentielles.

On trouve

' 3^mï(|t' — v'){|i»-4-n»)

Le facteur entre parenthèses reste toujours inférieur à valeur maximum

Si n et [JL sont suffisamment petits par rapport à m, ce cteur sera négligeable, et l'on pourra prendre simplelent

Nous supposerons que cette condition soit réalisée.

Ce sera à l'expérience de montrer dans quelles limites Ile est satisfaite. Nous oonsidéreroni donc l'sfTet intéral électrique comme représenté par l'expression

, ^ J^iif

• 32mH[<'-v')((Ji> + v«) ui est la partie principale de l'intégrale I. En revenant aux variables a, b, a, ^, il vient

ar m^ peut être considéré comme égal à ab dans les mites d'approximation adoptées.

Si l'on remplace alors a^ b, a, ^ par leurs valeurs en

fbnclion de :c, X, y, 5, on Ei

'-(si^) y6;(v\

Au même degré d'approximation, c'est-à-dire p

on peut mettre l'effet tl)«rmi(^ue soUs la forme

Pour obtenir une relation propreà être utilisée en p tique, on cherchera à réduire le nombre des paraiiiétr

Remarquons d'abord que, dans leâ applications, conservera, en général, invariable l'un des syslèmes présence, le résonateur, par exemple, vl l'on fera var progressivement la période de l'autre système (de l'ost lateur) à partir de la valeur ^ = X.

Alors X et S auront des valeurs constantes, et x ei seront fonctions de la variation de période (3; — X},

On supposera que cette variation de période est as: faible pour que (x — X)* soit négligeable vis-à-vis de !

On remplacera X", y et x^ par les dév.eloppements

cAp* ^ JloJ -^ Ai\ - — Y I

Y =ïo +T. — JT-' «» =X» -h3Xî(:e — X},

bornés aux termes du premier degré en [x — X), Xg, X, ; Y01 1» ', X, X| sont des facteurs constants. H est commode d'introduire un paramètre w ^= '^

égal à la valeur moyenne des décréments de l'oscillats

tfl du résonateur. On verra que ce paramètre peut êi

fourni par des mesures directes.

posera '

a c|ue (i) est assez petit par rapport à an:

laisse négliger w* vis-à-vis de (2«)*.

islitutions, l'expression de I, prend la clion rationnelle.

ur est du premier degré en (x — X) et le lu second degré en (x — X).

w'X'+Ti'S{a: — X)

nation importante peut encore être apportée

arquer que le terme

[2iaÊX + e'(37-X)](a^ — X)

ar est d^un ordre de grandeur inférieur à ) termes

é, en elTet, que (a; — X)* est négligeable '. D'autre part, e est du même ordre de

it ce terme, ce qui revient à supposer e nul le, à considérer que le décrément ■]■ conconstante y,,), on obtiendra une première

i simplement

,, ,, <o»X' + ir>S(^-Xj

' • <o>X'-+-ïr'(3^- X)i

ré d'approximation, l'expression de l'effet le la même Torme.

upposé que l'on observait les eiFets produits tenr à l'aide du bolométre, c'esl-à-dire à

RÉSONANCE RES SYSTÈMES d'aNTENHES. 1

l'aide d'un instiumcnt dont les déviations^ sont prop tionnelles à I^.

Si l'on désigne par Y la valeur de y qui correspt à I^, on aura

.îX'-l-Tr'(a;

Si t'oQ porte en abscisses les périodes x du sysLè variable (l'oscillateur dans l'bypolhèse faite ici) et ordonnées les dévialions^)', on obtient une courbe rem quable que Bjerknes a nommée courbe de résonance.

Fig. ij.

En cbassant le dénominateur, on met aisément l'éq tion sous la forme

qui montre que la courbe de résonance est une cou algébrique du troisième degré.

Cette courbe est une cubique unicursale dont le pc double est à l'infini, et qui admet l'axe des x pour asyr tote. Elle présente un maximum dans le voisinage de 1' scisse ar ^ X.

L'équation de la courbe peut s'écrire, en ordonnant rapport aux puissances de (x — X), (19) itV(^-X)>-:t»SY(a;-X) + <u«X»(7-Y) = o.

^ point

larlienl à la combe.

I se trouve dans le voisinage du maximom, mais ne

iicide pas en général avec lui.

îjerknes lui a donné le nom de point d' isochronisme .

La snbslitutiony = Y dans l'équalion donne la relation

montre que S représente \b longueur d'une corde hoi'iitale passant par te point d'isoehronisme.

Joupons la courbe par une parallèle à l'axe des iC, et lignons par œ, et Xi les abscisses des points de renilre de cette parallèle avec la courbe.

X, — X) et (a?a — X.) sont racines de l'équation rî^frr -X)'- Tr'SY(a:— X) + lo'X'f^ - Y) = o.

l'on a les relations suivanlus l'iiLro les cocfficicnls cl les ines

((3^,-X) (^i^Xj^-'^""

U quantité i[{3;, — X)+{a:, — X)] ou îl^t^ X )résente lu distance entre le milieu de la corde mn ta droile a; = X qui est l'ordonnée du point d'isochro- ;me. Si l'on désigne cette distance par 5, on a ç SY ^ constante.

A insif le lieu des milienxdes cordes parallèles à l 'axe

t X est une hyperbole équilatère.

Les asymptotes de cette hyperbole sont l'axe des x et

droite ^ =^ o ou :c =X,

La corde mn rencontre l'asymptote de l'hyperbole

KÉSO;<*MCE DFS SYSTÈMES d'aNTENMES.

en un poÎDtp. Ce point/» divise la corde enasegme

mp = { ^] —'X )=!(!,

"pn = {xi— X) = b, en valeur absolue et l'ordonnée du point d'isocliror en 2 segments

etï valeur absolue,

montre que c'est-à-dire

'on a

-^ = îi/=^-

liC tracé graphique d'une courbe de résonance, d minée expérimentalement par points, permet ainsi ( tenir la valeur w, c'est-à-dire la moyenne aritbmél des décréments de l'oscillateur et du résonateur.

L'utilisation de la mélhode de la courbe de réson n'est limitée en principe que par les conditions suivat

oj suffis

petit par rapport à M.it, iffisammerit pelil par rapport à

Bjerkn,

iné une théorie plus complète que

ia4 c, TissoT.

]iie nous avons exposée, en calculant les correclions qui 'ésulteraient des termes qui ont été négligés au cours de ;e calcul.

Il a établi que ('application de la méthode est légilîme a que l'approximation fournie parles relations précédentes !st suffisante lorsque la valeur moyenne des décréments iemeure inférieure à i .

Celte assertion se trouve confirmée par les recherches ■écentes de Lagergreen et de Kiebitz.

Le meilleur critérium que l'on puisse avoir de l'exactiude des résultats fournis par la méthode est l'aspect de la :ourbe déterminée expérimentalement.

Tant que cette courbe n'est pas aplatie au point que la )osition du maximum soit mal déterminée, le tracé de 'hyperbole demeure net ainsi que celui de l'asymptole, et 'on peut avoir confiance dans les déterminations.

La courbe de résonance fouruit simplement tii ^ ■

1 est possible d'obtenir les valeurs de i- et 5 séparément )ar une seconde détermination expérimentale.

Supposons que l'on modifie seulement l'un des deux dé-. :rémeois, par exemple S, en lui donnant une valeur S,,

Le tracé d'une nouvelle courbe de résonance avec le ésonateur modifié fournira une valeur W| ^ — - ■— •

La courbe qui a été obtenue avec la valeur S a donné la /aleur w=; l^Ll.

Pour obtenir une troisième relation entre ■<(, S et S), ionsidérons l'expression (i5)

Kï)"

VS[(YX-H8a7)'-H4Tr'(i-X)»j'

le l'effet thermique intégral.

Quand les systèmes se trouvent en résonance, on a ^^=X ;l par suite

RÉSONANCE DES SYSTÈMES D ANTENNES. I

OU

rYB(Y-i-Sl = const.

D'ailleurs, si l'on considère la déviation Y qui corr pond à la résonance, cette déviation est proportionne à 1\ de sorte que l'on a

(i3) . Y-ïS(f + S) = consl.

Pour utiliser cette reialion, on opérera les détermii lions de w et de w, en conservant une valeur parfaitemi constante à l'intensité des émissions de l'oscillateur et 1' observera les déviations Y et Y,.

On aura alors <M) ïf8(7 + S)=YifS,(Y + S,).

La modification de S en S( entraîne à la vérité un chi gement dans la période. Les déterminations ne s( valables que lorsque ce changemenL est peu important.

Bjerknes a donné d'ailleurs la valenr corrigée Y' q l'on doit introduire dans la relation (cas des mesures th miques) quand la période X, de résonance obtenue at ,1e résonateur 8, diffère de X,

On a donc les trois relations suivantes pour détermii les décréments

{ YyS(y + S) = Y.ï8i(ï'+.

Ces relations fournissent les valeur!

- Y,uj, *

Le procédé que noue avons employé pour obtenir la léterminatioD des périodes des antenaes fournit imméliatement les éléments qui permettent le tracé des courbes

Fig. î5.

le résonance. Un résonateur cairé MNPQ(de jo^^de côté m général) est excité par t'aiilenne disposée parallèleneut au côté MP et agit par induction sur un petit ircuit fermé distinct qui contient le bolomèire (dispoitif 1). Un condensaleur à lames d'air, de capacilé valable, est intercalé en AB dans le cadre.

Dans un autre dispositif seul pratiquement utilisable , bord des bâtiments, on remplace le bolomètre par m thermique sensible (milli-ampÈremètre Hartmann et îrown, ou Carpeiilier) directement intercalé dans le ésonateur. Nous verrons que c'est ce dernier dispositif, [ui se rapprocbe davantage des conditions que suppose la béorie de Bjerknes, qui convient le mieux aus détcrmîlatîons des amortissements.

Mais le premier, qui est beaucoup plus sensible, est usceptible d'être utilisé à grande dislance et permet l'obtenir certains renseignements intéressants.

RÉSONANCE DES SYSTÈMES d'àNTKNNES. 12^

Dans tous les oas, on conserve rémission rigoureusement constante (résultat assez facile à obtenir pour des

Fig. 26.

ûî