II - TUBES EN FORME DE SECTEUR
D tt ot et te nt ct pt, nt mt at ne ot D te D D D ot po ne De ne en mé D M moe ie om mt De ns De done pe ne Dot on Dot Do ee ee
Un tube en forme de secteur est constitué par deux parois latérales nee les parois supérieures et inférieures étant horizontales
19) Calcul de la fonction de répartition
eue ons ont pu mg ue met c=0 out 8 me un out dns: eit 108 4 008 2+0 ane mu m0 NUS SUN NS Du Out ous né ouf ouf mn put on ou: ons
Dans le cas d'une suspension homodts pensée} la
fraction sédimentée est, d'après ROMWALTER et VENDL (82) Ke = Sa Het st d'où, en remplaçant X par sa valeur 4e * site nee -2su°t)
expression qui permet de calculer 8,
Dans le cas d'une suspension hétérodispersée, l'équation générale 13 devient:
co AC Bed D 280 TE Do 'Fdide +1) —#—# (1-e )F(s)ds (14) Fa o À -B
que nous pouvons écrire sous la forme:
b£ S 28 u 1 -p =Q + TRTEU CA TES AS NTM lE) D sh 0
avec les conventions ‘suivantes:
A/B eut D Ln A/B
2 a Le Nous additionnerons alors l'équation 15 et ses deux
premières dérivéss par rapport à S, multipliées respective-
ment par 28 et 1/2 S%, et aboutirons ainsi à l'équation 16:
d'aprés l'équation 12.
2 2 a CLSC TE nue CREME 6 Q + mer S GTR Le (p+25 äS te 5 RE ) (15)
en négligeant toutefois le terme:
2 8 2 -2aà | —— [Tia + 88 +2 ae S {r(s)as (17)
Dire 9 ©
La solution de l'équation différentielle 15 est:
A 6 hp RSR s LR ) 8% las (18) ht À LE Re à LA 2 ‘ ie 5 (e] ds ue où M a pour valeur # —.
L'équation 18 serait difficile à utiliser sous a # à ô :
cette forme; par intégration il est possible d'en donner deux expressions équivalentes:
Le La: TS S | . M(3-ü) .M,d M, F 13 M-1 1 = 5 DE 3 S a + sl-1) (1-2) ci Jrs das (19) 10 = p+is (20)
L'équation 19, analogue à l'équation de Robison et Martin, est directement utilisables le terme se peut être
évalué graphiquement et l'intégrale calculée avec une très bonne précision au moyen de la.rêgle de SIMPSON,
LA Q ° L'équation 20 sera envisagée ultérieurement comme point de départ de solutions simplifiées,
Gre)
20) Conditions de validité
Le coefficient M, ayant pour valeur ee L ne
“a dépend que des caractéristiques géométriques de Se occupé par la suspension, Le rapport A/E peut varier en théorie de 1 à +, mais les solutions 19 et 20 n'étant que des solutions approchées il convient de déterminer entre quelles limites du rapport A/8 elles resteront valables,
A) Examinons tout d'abord le cas limite où A/B = 1, M prend alors la valeur 2 et les deux équations 19 et 20 se réduisent à
ee t Dole
Cervcas Limite a une signification physiques.pour une hauteur À - B donnée de la suspension, le fait que 1e rapport A/B tende vers 1 suppose que À et B tendent tous les deux vers oo. laîs alors plusieurs conséquences en découlent:
- les trajectoires tendent à devenir parallêles, - le gradiant qu champ d'accélération tend vers o.
Ce sont là les caractéristiques de la sédimentation sous l'action de la pesanteur,
Or, l'équation donnant Q dans la sédimentation par Dai accomplie dané un tube parallélépipédique, est galement
de telle sorte que les équations 19 et 20 sont exactes à la limite inférieure A/B = 1,
B) Envisageons maintenant le cas général où A/B est supérieur #1:
L approximation effectuée est représentée par l'expression 17, mais ne peut être évaluée que dans certains cas: particuliers, Posons :
à S A TR NS Li", M NOUS Ru
Cette expression, où a, s et S sont des grandeurs positives, est toujours négative, de même que sa dérivée DAPPFENOOEL Ua S
unes — c <> se A
Tr
Y ést donc une fonction décroissante, mais comme elle est négative, sa valeur absolue croît avec s et &ans l'intervalle de o à S elle est maxima pour s = S,
Envisageons donc les deux cas particuliers suivants:
a) La quantité Fs) est constante dans l'intervalle o - S; l'approximation aura pour valeur
ie S) E = Q—5— J vds D -1 (e) où après intégration 5) + E ik F 7 " + =) Q b'-1
Nous appellerons E l'erreur moyenne.
b) La quantité F(s) est nulle dans l'intervalle o - 8 sauf pour une valeur particulière s, l'approximation est ce cas:
