AVANT-PROPOS

La théorie des surfaces réglées a pour suite logique l'étude des formes engendrées par des courbes, planes ou gauches, d'ordre supérieur au premier.

Le domaine où nous allons pénétrer, est d'une étendue considérable et les géomètres s'en sont relativement peu occupés. On peut prévoir que les méthodes d'investigation actuellement connues suffiront à peine pour les cas les plus simples, à savoir ceux où les courbes génératrices sont des coniques ou des cubiques gauches.

Toutes les coniques de l'espace sont en nombre oo*. Celles de ces courbes qui satisfont à i conditions forment une multiplicité de l'ordre fx == 8 — i. Nous excluons d'abord les cas où l'on a /^ > 2; il se peut que ces cas présentent de l'intérêt; ce seraient des généralisations de la théorie des complexes de droites; mais ils ne peuvent entrer dans le plan que nous nous sommes proposé.

Quant aux systèmes doublement infinis de coniques, ils n'engendrent pas une figure, dans le sens ordinaire du mot; mais leurs plans enveloppant une surface. Dans une Note présentée à l'Académie royale de Belgique, nous avons déterminé la classe de cette surface, lorsque les courbes génératrices sont assujetties à

s'appuyer sur des directrices rectiligries ou autres et nous avons indiqué quelques conséquences relatives à des systèmes simplement infinis de coniques. Le contenu de cette Note, remanié et condensé, nous fournira la matière de notre Chapitre I,

Quelques cas particuliers de systèmes simplement infinis de coniques seront traités avec plus ou moins de détails dans le Chapitre II.

Pour les cubiques gauches, des considérations analogues à celles qui précèdent peuvent être formulées. Mais le nombre des cas possibles est beaucoup plus grand; d'autre part, la difficulté croissante du sujet nous oblige à restreindre beaucoup le champ à explorer. Nous nous bornons, dans le Chapitre III, à considérer un système spécial de oc* cubiques et à examiner quelques formes qui prennent naissance quand on soumet ces courbes à une condition de plus.

Nous croyons que ces matières doivent tirer leur principal intérêt des méthodes utilisées pour les étudier. Nos trois chapitres correspondent à des procédés de recherche différents et, pour ne point trop allonger ce travail, nous avons renoncé à tirer de ces procédés tout ce qu'ils peuvent donner, nous contentant de les illustrer, en quelque sorte, par des exemples.

Qu'il nous soit permis de remercier Messieurs les Professeurs C. Servais, J. Neuberg et A. Deraoulin pour l'appui bienveillant qu'ils nous ont prêté pendant la rédaction du présent travail.