CHAPITRE I

Sur les plans coupant un système de lignes de l'espace en six points d'une conique.

1. L'étude des coniques qui s'appuient, par plus de cinq points, sur

un système de lignes de l'fspace, apparaît comme une extension de la

théorie des plarisécantes des systèmes de courbes gauches.

Les étapes naturelle» de cette recherche sont les suivantes.

1» Soient des lignes c», Cn>, ... dont l'ordre total est w; on cherche

l'enveloppe des plans des coniques qui passent par i points de £«, par «'

points de c«/, •••, »-|~* ~1 étant égal à 6. Lorsque m est égal ou

supérieur à six, ces courbes sont en nombre doublement infini et leurs plans enveloppent une surface.

2" Si m > 7 et si » -f *' -1 = ^» ^®^ coniques en nombre simplement

infini engendrent une surface et leurs plans enveloppent une développable.

3" Si m > 8 et i -|- *' "i~ •• • = ^> ^® nombre des coniques satisfaisant aux conditions énoncées est fini.

4° Si »» > 9 1 1 1 + i' -| =9, il n'y a pas, en général, de coniques

satisfaisant aux conditions imposées, mais, lorsqu'il en existe, cette circonstance établit uce liaison entre les courbes directrices données.

Nous ne traiterons ici que le premier de ces quatre cas. De plus, les lignes donnée»^ seront, par hypothèse, des courbes algébriques et même, sauf une exception, des courbes rationnelles.

S. Supposons, en premier lieu, que le système se réduise à une courbe unicursale unique Cm. Soit tt un plan qui la coupe en m points dont six sont sur une même conique c». Par cette conique et par quatre points A, B, C, D, pris à volonté dans l'espace, on peut mener une quadrique S> qui coupe Cm en 2m points dont six sont dans un même plan. Récipro-

quement, si uae quadrique Sj passant par A, B, C, D coupe Cm en 2m pointa dont six sont dans un même plan tt, cette quadrique contiendra toute la conique Ci menée par cinq de ces six points et par suite, cette courbe c« passera aussi par le sixième point; à moins que S2 ne dégénère en deux plans dont l'un sera i: et dont nous appellerons l'autre tt'. Mais, si A, B, C, D ne sont pas dans un même plan, dans le cas exceptionnel que nous venons de signaler, un de ces quatre points, au moins, sera dans le plan tt et les autres dans le plan Tt'.

Cherchons la classe de la surface enveloppée par les plans tels que TT, ou cherchons combien de plans pareils passent par une droite d prise à volonté, mais ne rencontrant aucune des droites AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Nous devons donc déterminer combien de groupes de six points de Cm sont, à la fois, dans un {)lan passant par d et sur udc quadrique non dégénérée passant par A, B, C, D.

Les quadriques S2 menées par A, B, C, D forment un système linéaire quintuplement infini et marquent, sur la courbe rationnelle Cm, une involution I^'", tandis que les plans menés par d y marquent une involution I*". Le nombre des groupes de six points communs à ces deux involutions est, d'après un théorème de M. Le Paige, (^m-b ^ Q,n-\ ^ (2m — 5) C^-^

C* représentant le nombre de combinaisons simples de k lettres i à i.

Mais, dans chacun des quatre plans (^A), {dB}, {dC), (db), il j a C^ groupes de six points situés sur une quadrique dégénérée et, d'après une remarque antérieure, ces groupes doivent être écartés, de sorte que le nombre des sextuples de points répondant à la question est

Tel est aussi le nombre des plans v: que l'on peut mener par d.

Les plans des coniques reposant^ par six points, sur une courbe unicursale c» enveloppent une sur/ace dont la classe £St {2m — 5) C'^'-^ — 4C'«.

Corollaires. L Si w =• 6, on a v = 3.

IL Une sextique unicursalc étant de rang 10, les plans des coniques qui touchent la sextique en un point et la rencontrent encore en quatre autres enveloppent une développable dont la classe est 30.

III. Comme la développable osculatrice à la sextique rationnelle est de classe 12, il y a 36 coniques ayant, avec la sextique, un contact triponctuel et la rencontrant encore en trois autres points.

S. Soit un système composé d'une droite^ et d'une courbe unicursale Cm. Par le raisonnement du n" 2, on voit que, si Ton cherche les quadriques non dégénérées passant par ç et par deux points A et B de l'espace et coupant Cm en des groupes de m points dont cinq sont dans un plan mené par une droite d, le nombre obtenu est la classe de l'enveloppe des plans des coniques qui s'appuient une fois sur ff et cinq fois sur Cm-

Un calcul, en tout pareil à celui du n° précédent, donne le résultat que voici.

Les plans des coniques qui ont tm point sur une droite donnée et cinq points sur une courbe rationelle Cm enveloppent une sur J ace dont la classe est

Corollaires. I. Les coniques dont le plan passe par un axe af3 et qui reposent, par cinq de leurs points, sur une courbe c« engendrent une surface dont l'ordre est v.

II. Si î» = 5, on a V = 4, pourvu que la droite^ ne rencontre pas d; car, pour chaque intersection de g et de Ct, la classe se réduit, en général, d'une unité.

III. Les plans des coniques touchant Cs et la rencontrant encore en trois points et s'appuyant de plus sur ^ enveloppent une développable de classe 32. Ou encore, les coniques dont le plan passe par un point et qui reposent, sur c«, par cinq points dont deux coïncidents engendrent une surface dont l'ordre est 32. Si, au lieu de passer par un point, ces plans enveloppent une surface de classe p, les coniques engendrent une surface dont l'ordre est 32u.

IV. Il y a 36 coniques ayant un contact triponctuel avec c», reposant encore sur la courbe par deux points et rencontrant de plus une droite^. Ou encore, les coniquea ajant un contact triponctuel avec Cs et la rencontrant encore en deux points forment une surface du 36* ordre.

4. Si le système se compose d'une conique Ct et d'une courbe unicur* sale Cmt on fait passer les quadriques Ss par d et par un point A de l'espace; on trouve ce théorème :

Les plans des coniques qui reposent, par deux de leurs points sur une conique et par quatre autres points sur une courbe Cm enveloppent une surface dont la classe est

Corollaires. I. Si Ct est le cercle imaginaire de Tinfîni, v est la classe de la surface enveloppée par les plans des cercles qui ont quatre pointe sur Cm.

II, Si w = 4, on a v = 4.

III. Les plans des cercles qui touchent la courbe rationnelle c« et la rencontrent encore en deux points enveloppent une développable de classe 24. Il y a 24 cercles osculateurs de c« qui rencontrent encore la courbe, etc.

5. Si le système se compose de deux droites g et g' et d'une courbe Cm, on mène les quadriques S2 auxiliaires par g et g' (sans autre point fixe) et l'on trouve ce résultat :

Les plans des coniques qui coupent Cm en quatre points et deux droites données chacune en un point enveloppent une surface de classe

Corollaires. I. Les coniques qui reposent, par quatre points, sur Cm, et par un point sur une droite g, et dont le plan passe par un axe fixe a/3 engendrent une surface dont l'ordre est v.