Les conditions pour que l'équation du n
{uaa'a") — w [ n& t'a") + {uab'a") -^-Xuan'b")]
+ co^ Kubb'a") + {lùa'b") + [uab'b")} — w' {ubb'b") = 0
soit vérifiée pour toute valeur de (o, c'est-à-dire pour que la cubique gauche dégénère en une conique (ou un couple de droites) dans un plan u, plus une droite, sont exprimées par les relations
{uin'a") = 0, {ubi'a") + unb'a") -f {ma'b") = 0, {ubh'a") + {ub l'b") -{- {nab'b") = 0,
{ubb'b") = 0.
La première et la quatrième montrent que le plan u doit passer par les points A et B.
A X {àb'a'a") =
En éliminant les u entre les relations précédentes, on a la condition générale pour que la cubique dégénère :
I {aa'a"), {ba'a"),-\-{ab'a"u-h(aa'b")i
{bb'a")i'{-{ba'b")i~\-{ab'b")i {bb'b")t \ = 0.
Le premipr membre est un invariant simultané des formes a,a',a", b, b', b"; on doit donc pouvoir l'exprimer sous forme d'une somme de produits de déterminants à quatre lignes.
En décomposant les termes de la seconde et de la troisième colonne, on a une somme de neuf déterminants, dont l'un sera par exemple
^=\{aa'a")i {ba'a")i (bb'a"h [bb'b")i\.
Pour le transformer, multiplions-le par {bb'a'a"), en appliquant la règle de la multiplication des déterminants; nous aurons
{baii'a") 0 0 0
{b'aa'a") {b'ba'a") 0 0
0 0 [a'bb'a") {a'bb'b")
0 0 0 ia'Wb") ou encore
A X {bb'a'a") = {baa'a") {b'ba'a") {a'bb'a") {a"bb'b"),
A = — {baa'a") {a'bb'a") {a"bb'b").
On trouve des expressions analogues pour les huit autres déterminants.
La somme de ces neuf quantités s'annule quand Ih cubique dégénère. Si alors, on introduit, dans l'équation, les coefficients a, a', a", tous les termes contiendront c*.a.'cf." en facteur commun, puisque chacun des produits tels que A contient un des déterminants {pia'a''). {b'aa'a"), {b"aa'a").
Après suppression du facteur commun, l'équation est du troisième
degré en a, a', a"; donc quand on remplace ces paramètres par r-'
Dx
— f 77, ' on ft u"6 égalité du sixième ordre. D'après le n° 46 elle o« bx
représente une quadrique et une surface du quatrième degré engendrées par des cubiques dégétiérées de la gerbe Q.
THÈSES ANNEXEES.
La Géométrie, en appliquant la théorie de l'élimination entre deux équations algébriques, n'utilise guère que la condition d'existence d'une seule racine commune. Les conditions pour que les équations aient plus d'une racine commune peuvent aussi donner des résultats géométriques intéressants.
La construction de la sphère osculatrîce à une cubique gauche est un problème du second degré.
Si ttj = 0, h']. = Qi représentent des surfaces d'ordres respectifs m et «, les équations
représentent une courbe gauche. Cette figure n'a été étudiée que dans le cas de w = n = 1. Pour w = 2etw = l,on a une ligne du septième ordre; quelques uncj de see propriétés se déduisent immédiatement des équations ci«dessu8.
Dans tout connexe (l, ») de l'espace, la surface relative à un point quelconque est unicursale.
