Ondes hélicoïdales

Étant donné un circuit hélicoïdal illimité, on peut se proposer d'examiner s’il est susceptible de guider une onde électromagnétique possédant la même symétrie. On recherche donc une solution des équations de MAxwELL, satisfaisant aux conditions aux limites sur la surface des conducteurs, se propageant parallèlement à l’axe Oz et invariante par (4€) au faeteur de propagation près.

En coordonnées semi-polaires, chacune des composantes du champ sera alors de la forme :

(IV-1) f(r, 0,2) = e—i8z g(r, z/h — 6) la vitesse de phase comptée parallèlement à Oz, étant :

uv» pe = ff.

Fixant z, l’uniformité de la solution autour de Oz entraîne que la fonction g(r, u) est périodique en w et de période 27. Il est alors naturel d'exprimer cette fonction sous forme de série trigonométrique :

+oo

(VI-3) f(r, 0,2) = e—18# D

an(r) ei (z/h — 0).

Les composantes du champ seront donc des développements de la forme :

+0oo

BE e—ipz à An (r) eintz/h—t)

E = e—iêz » ne E, = el: D Cn(r) eittalh—1

H, = e—iê: à LA

Hi = Si e—ifz 2 Ma H, = eiê: à N,(r) e

CO On est ramené à la détermination des fonctions de la seule variable r : a,(r),.…., Nr).

r) eirt/h—t )

") eirte/h=t

r)'eleteR

JP (2/R—6)

er ="

Éd

bot Er,

NRPREURE ENS ere.

Écrivons que les expressions (4) satisfont aux équations de MAxweLr :

rot E =—-jouH, .

rot H =jweE.

Le calcul est purement formel et on ne soulèvera pas, pour l'instant, de difficulté relative à la convergence des développements ou de leurs dérivées. Le détail de ce calcul n’apporte rien de nouveau par lui-même. Donnons simplement les résultats. Éliminant le champ magnétique, on trouve que les fonctions aA(r) et b(r) satisfont au système homogène :

dn + anfr —[y2 + (n? + 1)/rt] an = — 2j n bar?

(IV-5) br + bfr —[y + ( n? + 1)/r?] b — 2ina,fr?

avec

(IV-6) a, + anfr Fe nbnfr + j(n/h—$)c =

y représente la quantité :

(IV-7) Yi = (n/h dE B)° — 2

qui s’introduit dans le calcul et dont le rôle sera

essentiel dans la suite.

On peut résoudre (5) en remarquant que les fonctions au(r) + j bar) et au(r) — jba(r) sont respectivement solutions des équations :

uw” + ufr —[y?+(n—1)?/r?]u = 0 Hya u” + ufr —[y£ + (n+1)?/r?] u = 0

de sorte que :

(IV-9) an (r) = An ln (Ynr) + Br Tn+1(Ynr) AE Cr Kn-1(Ynr) + Dh Kn+1(Ynr) (IV-10) ÿ bar) = An ln (Ynr) — Bn lat (Ynr) + Cr Kn-1 (Ya r) = Di Kn+: (Yn r) puis d’après (6) :

Cn(r) = j

Je r) —(C. n) An(Yar)]:

nfh— 5 [An n+ Bn) In(Ynr) (Cn+ Da) Kn(Ynr)]

Revenant au champ magnétique, en posant

pour abréger :

OVAD = (mh—pf+E,

on obtiendra :

(IV-13) L,(r) = 1/2j œu(n/h —f) B) {Aa Ur + VE na (Va r)] — Ba[Ya ln1 (Var) + + Calvi Kn-1 (nr) + Yi Kat (vnr)] — Da[y8 Kn-x (var) + V2 Knta)]}

Vrèn=1 1 1\Yar) Yn Ve lnrs (Ynr)]

Gta at bleuets a pe 3. Expressions générales des coefficients a,, ba. NN, . " À ne

— Ya lnta (var)]— Bn[Yà 1n-1(yar) — Ye lnta (ar) Sr Cnl[v£ Kn 1 (ynr) — YÉ Kn+1(Ynr)] a Dali Kn-1 (Yar) ES 17 Kat: (Yn r)]

(IV-15) Nr) = yn/ou [(An — Ba) In (ynr) Gi (Cn — Dh) KA (Ynr)].

Le champ électromagnétique est ainsi entièrement exprimé au moyen seulement de 4 suites de constantes d'intégration : A,, B,, C, D,.

I] fait intervenir les fonctions de Besse modifiées /, et K, réelles en même temps que les quantités Y». Si éventucllement certaines de ces quantités devenaient imaginaires, il suffirait de revenir aux fonctions de BEsseL et de HanKxeL :

M 7 = ia (a)

Remarque. — On pourrait exprimer la solution du problème au moyen de deux vecteurs de HERTz parallèles à Oz: Px et Pr, suivant les formules (1-2) et (I1-3) rappelées au début du chapitre II. Il suffirait de prendre :

(IV-17) EE D RS CLÉ B) [(An + Bn) In(ynr) — (Cn + Dn) Kn(ynr)] eirtrh—0) (IV- à

Px = DE te DE 1

Bn) In (var) — (Cr — Dh) Ke (Yn r)] ein(z/h—0),

D'où une décomposition de la solution en solution (E) et solution (H) comme dans la théorie des guides ordinaires, mais ne présentant pas le même intérêt du fait que les solutions partielles, ne pouvant satisfaire séparément aux conditions aux limites, n’ont pas d’existence autonome.

Remarque. — Le champ qu’on vient d’étudier conduit à quelques résultats qu’il peut être intéressant de mentionner ici, bien qu’on n’ait pas à les utiliser. Les composantes du champ électrique par exemple, satisfont en coordonnées semi-polaires aux relations :

244 D DE AE, + (em) TD —— æ ET IV-19) RE 2 2E AB+R—S)E=—: SG AE,+kRE, = {0}

Introduisons un symbole 1 = + j distinct de j (cf. [41]) de façon à former la quantité :

(IV-20) E,+ ils = F(r, 0,3) = er ®(r,u) ; (u = z— 0h).

La fonction F'satisfait à l'équation de propagation:

210F 1 (IV-21) AF + ÈS À (e- 3) F=0

RE n'es j | We | EH. ROUBINE à À Ka

NP SES Se

RD MT TO 2(i6+i; als + (e-p-:)0-0

qui peut être comparée à l'équation de GoLDSTEIN, laquelle intervient en mécanique des fluides dans ’étude de l’hélice [45]. Bien que ces résultats soient purement formels ils montrent cependant qu’on peut tenter de ramener à un problème scalaire, un problème d’électromagnétisme.

La résolution éomplète du problème nécessite la détermination de la constante de propagation $ et des constantes d'intégration. On utilise pour cela des conditions aux limites (champ électrique normal aux conducteurs, raccordement de solutions).

Des conditions de régularité conduisent dans les applications à partir d'expressions plus simples que celles qu’on vient d’établir. Ainsi l’étude d’un problème (intérieur », celui du guide cannelé par exemple, se fera au moyen des expressions :